六階微分方程組次特征值的定量估計

黃振明

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六階微分方程組次特征值的定量估計

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

運用Sturm-Liouville特征值定性理論，對六階微分方程組廣義低階特征值進行估計，獲得用主特征值來估計次特征值上界的顯式不等式，其估計上界與所論區(qū)間的長度有關(guān)，而與區(qū)間在數(shù)軸上的具體位置無關(guān).

Sturm-Liouville特征值定性理論；六階微分方程組；廣義低階特征值；次特征值

1 問題提出

19世紀30年代，法國巴黎大學教授斯圖姆和法蘭西學院教授劉維爾共同研究了熱傳導的微分方程，創(chuàng)造了逐次逼近法，隨后他們研究了更一般的二階微分方程，以及確定帶邊界條件的常微分方程的特征值與特征函數(shù)的問題，直接從方程本身入手，研究解的存在性及解的性質(zhì)，得到了一系列重要結(jié)論，如特征值問題的零點比較、特征函數(shù)的零點個數(shù)、特征函數(shù)族的完備性及特征值的漸進公式等，形成了比較系統(tǒng)的斯圖姆－劉維爾理論體系，這個理論在應(yīng)用數(shù)學中十分重要，尤其是在使用分離變量法求解偏微分方程. 近年來，一些學者利用上述經(jīng)典的特征值定性理論，對廣義特征值問題進行分析和研究，在特征值定量估計方面取得了豐碩的成果[1-7]，其中文獻[1]討論了某類六階微分方程的廣義特征值估計問題，文獻[2]討論了一類六階微分方程組常義下的特征值估計問題. 本文在此基礎(chǔ)上，進一步考慮如下由個函數(shù)、個方程構(gòu)成的六階微分方程組廣義低階特征值的估計問題

其中(,)ì是一個有界開區(qū)間，p()?3[,]，q()?[,]，s()?2[,]，且滿足p()=p()， q()=q()，s()=s(),=1,2,…,. 為方便推導，引入下列函數(shù)矩陣和向量的記號：P()=(p())′，Q()=(q())′，S()=(s())′，u=(1,2,…,y)T，首先將上述方程組寫成如下等價的矩陣形式

且滿足如下條件：對任意x=(1,2,…,)T有

1|x|2≤xTP()x≤2|x|2(2)

1|x|2≤xTS()x≤2|x|2(3)

xTQ()x≥0 (4)

上述,(=1,2)均為正常數(shù).

問題(1)的廣義特征值估計結(jié)果可視作是文獻[1,2]結(jié)論的進一步推廣，在許多經(jīng)典的數(shù)學物理問題、量子物理學問題中有著一定的參考作用[8-10].

2 預備知識

設(shè)對應(yīng)于問題(1)的主特征值1的特征向量為u，且滿足

由問題(1)、式(3)和(5)得，再由式(6)和(2)，得

設(shè)試驗函數(shù)j()=(-)u，式中常數(shù)，根據(jù)的定義和式(5)得

則j與u廣義正交，且滿足奇次邊界條件j(k)()=j(k)()=0 (=1,2). 由廣義Rayleigh-Ritz定理得

因此

根據(jù)上式和(9)得

3 主要定理及證明

在上述準備工作之下，可得到如下一系列引理及定理.

引理1 設(shè)>>0，函數(shù)()?[,]，￠()?2[,]，且滿足() =()=0，則有

引理2 設(shè)u是問題(1)對應(yīng)主特征值1的特征向量，則(Ⅰ)；(Ⅱ)； (Ⅲ)(其中>0).

證明：利用式(6)、分部積分和Cauchy-Schwarz不等式、式(3)和(7)得

化簡上式即得引理2(Ⅰ).

即得引理2 (Ⅱ).

利用P()的正定性、式(2)、(3) 、(6)和帶的Young不等式，得

即得引理2 (Ⅲ).

引理3 設(shè)1是問題(1)的主特征值，則

證明：利用分部積分和j的定義，計算可得

引理4 對于上述定義的j與1，則不等式成立.

證明：利用分部積分和j的定義得

整理即得引理4.

最后，可獲得本文的主要結(jié)果：用主特征值來估計次特征值上界的不等式，且估計上界與所論區(qū)間的長度()有關(guān)，而與區(qū)間在數(shù)軸上的具體位置,無關(guān).

定理 設(shè)1,2分別是問題(1)的主、次特征值(0<1<2)，則

證明：根據(jù)引理3和引理4，并選擇0<≤4/3，利用引理2(Ⅰ)，從式(10)，可得

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(責任編輯：饒 超)

Quantitative Estimate of Second Eigenvalue for Sixth-order Differential Equations

HUANG Zhenming

(Department of Mathematics and Physics, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)

With the help of classical Sturm-Liouville’s eigenvalue qualitative theory, estimate of generalized lower-order eigenvalue for sixth-order differential equations is considered. The explicit inequality of the upper bound of second eigenvalue is estimated from the first one. The estimated upper bound is relevant to the length of the interval, but not to its location on the axis of coordinates.

Sturm-Liouville’s eigenvalue qualitative theory; Sixth-order differential equations; Generalized lower-order eigenvalue; Second eigenvalue

O175.1

A

2095-4476(2016)02-0005-04

2015-11-23

黃振明(1962— ), 男, 江蘇蘇州人, 蘇州市職業(yè)大學數(shù)理部副教授.