二階半環(huán)生成的簇

張　可,任苗苗,邵　勇

(西北大學 數學學院,陜西 西安　710127)

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·數理科學·

二階半環(huán)生成的簇

張可,任苗苗,邵勇

(西北大學 數學學院,陜西 西安710127)

該文研究一些二階半環(huán)生成的簇，先分別解決了這些簇的字問題, 進而證明這些簇是有限基底的, 并且給出了這些簇的方程基底。 然后, 解決了由所有這些二階半環(huán)所生成的簇的字問題, 進一步, 給出了此簇的方程基底。

半環(huán); 等式; 基底; 簇

設K是一個代數類。若K對子代數, 任意直積和同態(tài)像封閉, 則稱其為簇。由Birkhoff定理知一個代數類是簇當且僅當它是滿足某個等式集的代數的全體。設V是簇,如果存在V滿足的一個有限等式集Σ使得V滿足的每一個等式可由Σ演繹, 則稱V是有限基底的(簡稱FB)。否則, 稱V是非有限基底的(簡稱NFB)。設A是代數。若A生成的簇HSP(A)是FB[NFB],則稱A是FB[NFB]。例如,每一個二元素的代數,有限的群,有限的環(huán), 有限的格, 可換半群都是FB。第一個NFB的有限半群的例子是由Perkins在文獻[1]中給出的。Dolinka在文獻[2]給出了第一個有限的NFB半環(huán)的例子。

設(S,+,·)是(2,2)-型代數。若S滿足下列條件:

1)(S,+)是可換半群;

2)(S,·)是半群;

3)?a,b,c∈S) a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·a，

則稱(S,+,·)是半環(huán)。易見,半環(huán)的全體作成一個簇,記為SR。設X是一個可數無限集,X+是X上的自由半群,X*是X上的自由含幺半群。顯然,可將半環(huán)等式記作如下形式u≈v,其中

u=u1+u2+…+uk,

v=v1+v2+…+vl,ui,

vj∈X+,1≤i≤k;1≤j≤l。

設S是半環(huán)。若對于任意的代換φ:X→S,φ(u)=φ(v),則稱S滿足u≈v,記為Su≈v。

許多學者對半環(huán)進了研究[2-13]。文獻[10]引入了半群的閉子半群的概念，進而給出了所有乘法半群是帶, 加法半群是半格的半環(huán)作成的簇的自由對象的模型。其后,文獻[3, 5-6]證明了上述簇的子簇格是分配格,且有78個元素,此外,每一個子簇都是有限基底的,并且是有限生成的。文獻[10]證明所有加法半群是半格的二階半環(huán)生成的簇有64個子簇,且每個子簇都是有限基底的。Shao和Ren證明了由二元素分配格和三元素環(huán)生成的簇是有限基底的[9]。本文研究一些二階半環(huán)生成的簇。解決了這些簇的字問題,并且證明這些簇是有限基底的,進一步,給出了這些簇的基底。

1　預備知識

為了解決由二階半環(huán)生成的簇的字問題,我們引入以下概念。設u∈X+,則

·稱u中出現的全體為u的容量,記作c(u);

·稱第一個在u中出現的變量為u的首字母,記作h(u);

·稱最后一個在u中出現的變量為u的尾字母,記作t(u);

·稱出現在u中的所有變量的個數為u的長度(重復出現的變量也計數), 記作l(u)。

設u=u1+u2+…+uk，則

·集合∪{c(ui)| i=1,2,…,k}為u的容量,記作C(u);

·集合∪{h(ui)| i=1,2,…,k}為u的首部,記作H(u);

·集合∪{t(ui)| i=1,2,…,k}為u的尾部,記作T(u)。

設u=x+xyz+zty+sxyx+x，則

C(u)={x,y,z,s},H(u)={x,z,s},

T(u)={x,y,z}。

以下給出一些二階半環(huán)的運算表和基底。其中,L1,R2,M2,D2,N2,T2的基底在文獻[10]中已給出,Z1,Z2的基底將在下文中給出。

文中沒有給出的概念和符號可以參考文獻[14-15]。

2　主要結果

引理1設u≈v是非平凡半環(huán)等式, 其中

u=u1+u2+…+uk,v=v1+v2+…+vl,

ui,vj∈X+,1≤i≤k;1≤j≤l,則

1)L2u≈v當且僅當H(u)=H(v);

2)R2u≈v當且僅當T(u)=T(v);

3)M2u≈v當且僅當C(u)=C(v);

4)D2u≈v當且僅當

(?ui∈u,vj∈v)(?up∈u,vq∈v)

c(vq)?c(ui),c(vp)?c(uj);

5)N2u≈v當且僅當{ui∈u| l(ui)=1}={vj∈v| l(vj)=1};

6)T2u≈v當且僅當

{ui∈u| l(ui)≥2}≠?,

{vj∈v| l(vj)≥2}≠?；

7)Z1u≈v當且僅當

(?x∈X) u≠x, v≠x;

8)Z2u≈v當且僅當m=n=1且C(u1)=C(v1),或m,n≥2。

表1　運算表

證 明1)-6)的證明參見文獻[7,10]。

7)的證明 (?)Z1u≈v。不妨假設存在x∈X,使得u=x,v≠x。取x為1,其余變量為0,則有1=0,矛盾。對偶地,可以得到對于任意的x∈X,u≠x,v≠x。

(?)設?x∈X,u≠x,v≠x。則?φ: X→Z1,有φ(u)=φ(v)=0。因此Z1u≈v。

8)的證明(?)設Z2u≈v,假設m=1,n≥2,取所有變量都為1,則有1=0,矛盾。由對偶原理可得m=n=1或m,n≥2,當m=n=1時,由于(Z2,·)是半格,故C(u)=C(v)。

(?)當m=n=1且C(u)=C(v)時,由于(Z2,·)是半格,從而有

Z2u≈v。

當m,n≥2時,由于(Z2,+)是零半群,故

Z2u≈v。

設Σ是一個半環(huán)等式集。 以下將由Σ確定的半環(huán)簇記為[Σ]。

定理1

設S2=HSP(Z1)∨HSP(Z2),則

1)HSP(Z1)=[x+y≈z+t,xy≈x+y];

2)HSP(Z2)=[x+y≈z+t,xy≈yx,x2≈x];

3) S2=[x+y≈z+t,xy≈yx,x2y=xy];

證 明1)容易驗證Z1x+y≈z+t，xy≈x+y]。從而HSP(Z1)?[x+y≈z+t,xy≈x+y]。以下只需證明Z1滿足的每一個等式可由x+y≈z+t, xy≈x+y和SR的基底演繹。設Z1=u≈v，其中

u,v≠x, x∈X。由等式xy≈x+y可將u和v演繹為有限個變量的和。再利用等式x+y≈z+t可將左右兩邊是有限個變量的和的等式演繹為平凡等式。

2)容易驗證Z2可以演繹出等式

x+y≈z+t, xy≈yx, x2≈x。

設Z2u≈v,由引理1結論7)知只需討論下列兩種情況:

·m, n≥2。則由等式x+y≈z+t有

u=u1+u2+…+um≈v1+v2+…+vn=v。

故HSP(Z2)是由等式x+y≈z+t,xy≈yx,x2≈x所決定的。

3)容易驗證B2x+y≈z+t,xy≈yx,x2y≈xy。

設B2u≈v。只需討論下面兩種種情況:

當m, n≥2。則由等式x+y≈z+t有

u=u1+u2+…+um≈v1+v2+…+vn=v。故S2是由等式x+y≈z+t,xy≈yx,x2≈x所決定的。

定理2

設B8=HSP(L2, R2, M2, D2, N2, T2, Z1, Z2)。則B8是由等式(1)～(9)確定的半環(huán)簇

x2y≈xy;

(1)

xy2≈xy;

(2)

xyzt≈xzyt;

(3)

x+yz≈x+yz+xz;

(4)

x+yz≈x+yz+yx;

(5)

x+yz≈x+yz+x2;

(6)

x+yz≈x+yz+xyz;

(7)

x+yz≈x+yz+yzx;

(8)

x+y≈x+y+y;

(9)

證 明容易驗證,B8滿足等式 (1)～(9)。以下只需證明B8滿足的每一個等式都可由等式(1)～(9)和SR的基底演繹。設B8u≈v,其中u=u1+u2+…+uk,v=v1+v2+…+vg,ui,vj∈X+,1≤i≤k;1≤j≤g,只需討論下列兩種情況。

·m=n=1且C(u)=C(v)。由于L2，R2，T2u≈v,所以H(u)=H(v), T(u)=T(v), l(u)≥2, l(v)≥2。從而由等式(1)～(3)可推出u≈v。

·m, n≥2。由等式(9)可將u≈v演繹為u≈u+vj, 1≤i≤k, v≈v+ui, 1≤j≤g。另一方面, 由以上k+g個等式可以得到u≈u+v≈v,故以下僅需要考慮如下形式的等式：u≈u+p,其中u=u1+u2+…+um, ui, p∈X+, 1≤i≤m, m≥2。分以下兩種情形:

1) l(p)=1。由N2u≈u+p可知，存在ui∈u，使得ui=p，從而由等式(9)和SR的基底可推出u=u+p。

2) l(p)≥2。設p=x1… xl, l≥2。

由L2，R2u≈u+p,

由M2u+p≈u可推出存在,其中。由D2u+p≈u可推出:存在us∈u使得c(us)?c(p)。由T2u+p≈u可推出存在uf∈u使得l(uf) ≥2。

因此, 不妨設

則

…+x1x2…xl+x1x2…xl

故B8是由(1)～(9)所決定的。證畢。

容易驗證,B8滿足

(10)

定理3B8是由等式(3)～(5),(9), (10) 所決定的。

證 明由式(10)，得

x3≈x6≈x4x2≈x2x2≈x4≈x2,

即

進一步，有

因此,等式(3),(10)可以演繹出(1)。同理可證(3),(10)可以演繹出(1)。

下證(1)～(5)，式(9)可以演繹出(6),(7),(8)。事實上,

因此, B8是由(3)～(5),(9),(10)所決定的。證畢。

致謝：作者感謝導師趙憲鐘教授的指導!

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(編輯亢小玉)

Varieties generated by some semirings of order two

ZHANG Ke, REN Miao-miao, SHAO Yong

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

In this paper the varieties generated by some semirings of order two are studied. The word problem for these varieties is solved, proving that they are all finitely based. Moreover, equational basis is given for each of them.

semiring; identity; equational basis; variety

2015-05-10

陜西省自然科學基金資助項目(2015JQ1210)

張可,女,陜西西安人，從事半群代數理論、半環(huán)研究。

O153.3

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-006