施瓦茲《分布理論》探源

李　斐，袁　敏

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心, 陜西 西安　710127)

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·科學(xué)技術(shù)史·

施瓦茲《分布理論》探源

李斐，袁敏

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)史研究中心, 陜西 西安710127)

施瓦茲在1950—1951年出版的兩卷本《分布理論》是廣義函數(shù)理論的經(jīng)典著作。他1944—1948年間的三篇相關(guān)論文已經(jīng)奠定了《分布理論》的核心思想,在這三篇文章的基礎(chǔ)上,施瓦茲對(duì)其早期工作進(jìn)行補(bǔ)充和完善,完成了《分布理論》。對(duì)施瓦茲早期的這三篇文章進(jìn)行探究表明,他的主要研究思路是,從古典函數(shù)的運(yùn)算入手,將其表示成泛函的形式,進(jìn)而運(yùn)用對(duì)偶思想,得到分布的相關(guān)運(yùn)算。

施瓦茲;分布;卷積;傅里葉變換

“函數(shù)”是數(shù)學(xué)中的重要概念。自從德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯(K. Weierstrass,1815—1897)在1861年引入處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的例子之后,數(shù)學(xué)家開(kāi)始由規(guī)則的、充分光滑的函數(shù)轉(zhuǎn)向?qū)Πú灰?guī)則函數(shù)的更大范疇函數(shù)概念的研究。在函數(shù)概念的發(fā)展史上,廣義函數(shù)概念的引入無(wú)疑是一次突破性進(jìn)展。許多數(shù)學(xué)家以不同方式對(duì)這一概念進(jìn)行過(guò)引入。米庫(kù)辛斯基(J. Mikusinski)和萊特希爾(M.J.Lighthill,1924—1998)從函數(shù)序列的極限角度引入了廣義函數(shù)[1-2]，索伯列夫(S.L.Sobolev,1908—1989)把廣義函數(shù)定義為s階連續(xù)線性泛函[3]等。雖然許多數(shù)學(xué)家都曾引入過(guò)廣義函數(shù)的定義,但首次為它創(chuàng)建完整理論的數(shù)學(xué)家卻是施瓦茲(L.Schwarzt，1915—2002)。1945年,施瓦茲把廣義函數(shù)定義為基本函數(shù)空間上的連續(xù)線性泛函,并稱(chēng)其為分布[4]。隨后,他創(chuàng)建了分布理論。在施瓦茲分布論的基礎(chǔ)上,蓋爾范德(I.M.Gel′fand,1913—)和希洛夫(G.E.Shilov,1917—1975)推廣了已有理論,建立了急增函數(shù)的傅里葉變換,從而擴(kuò)大了該理論的應(yīng)用范圍[5]。

施瓦茲在其引入的分布概念的基礎(chǔ)上,以布爾巴基學(xué)派的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo),運(yùn)用對(duì)偶思想在分布空間上引入了序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)。他的這一研究思路在其1950—1951年的兩卷本著作《分布理論》中清楚地呈現(xiàn)了出來(lái),而該著作也成為廣義函數(shù)理論的奠基性工作。然而,在1944—1948年,施瓦茲已經(jīng)有3篇文章為他的著作《分布理論》奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但就筆者所知,目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于施瓦茲在分布方面工作的研究,其大都集中在他的《分布理論》著作上,而對(duì)這3篇文章的研究則少有涉及[6-9]。有鑒于此,筆者在研讀施瓦茲相關(guān)原始文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,對(duì)他在分布理論方面的最初貢獻(xiàn)進(jìn)行探析,進(jìn)而使人們能夠更加全面地了解施瓦茲關(guān)于分布理論的工作,以及他開(kāi)展科學(xué)研究工作的方式。

1　1944年的文章

1944年10月,施瓦茲在《法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)通報(bào)》上發(fā)表了文章《一些非基本連續(xù)函數(shù)族》(SurCertainesFamillesnonFondamentalesdeFonctionsContinues),該文章僅由一個(gè)定義和兩個(gè)定理構(gòu)成[10]。這篇文章是對(duì)蕭凱(G. Choquet,1915—)同年7月發(fā)表的《調(diào)和函數(shù)與多重調(diào)和函數(shù)的一些性質(zhì)》的推廣。

在這篇文章中,施瓦茲想要做的事情就是將蕭凱的文章推廣到任意常系數(shù)微分算子上。正是在這種動(dòng)機(jī)之下,他開(kāi)始研究微分方程的廣義解。首先,他引入系數(shù)不全為零的常系數(shù)偏微分方程的廣義解:

“若連續(xù)函數(shù)U在緊集上是系數(shù)不全為零的常系數(shù)偏微分方程

通常意義下解的一致極限,則稱(chēng)函數(shù)U為上述偏微分方程的廣義解?！盵10]

接著,他指出雙曲型偏微分方程有不同于通常意義下的解,并證明連續(xù)函數(shù)在進(jìn)行平移、位移變換之后必為微分方程的廣義解。隨后,他還提出并證明了迭代拉普拉斯方程的廣義解為多重調(diào)和函數(shù)的論斷。這些工作是施瓦茲在分布方面的起始性工作,1944年的這篇文章可以看作是他引入分布概念的源頭。對(duì)此,施瓦茲在著作《分布理論》第一卷的引言中這樣寫(xiě)道:

“1944年的文章出現(xiàn)在我的分布理論之前,它是我引入分布概念的源泉。”[11]

2　1945年的文章

1945年,施瓦茲在《格勒諾布爾大學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了文章《函數(shù)、微商、傅里葉變化概念的推廣及其在數(shù)學(xué)物理中的應(yīng)用》(GénéralisationdelaNotiondeFonction,deDérivation,deTransformationdeFourieretApplicationsMathématiquesetPhysiques),這篇文章基本涵蓋了他的分布理論的主要思想和概念[4]。

2.1分布概念的引入

物理學(xué)中海維賽德函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù),即狄拉克函數(shù),以及數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要均暴露出古典函數(shù)概念的局限性,經(jīng)典函數(shù)概念亟需推廣。正是在恢復(fù)函數(shù)概念靈活性的驅(qū)使下,施瓦茲才在1945年引入分布概念。在1945年這篇文章的引言中,施瓦茲這樣寫(xiě)道:

“自從海維賽德(O.Heaviside,1850—1925)引入符號(hào)運(yùn)算法則之后物理學(xué)家運(yùn)用它取得了普遍成功,盡管它沒(méi)有在數(shù)學(xué)上得到嚴(yán)格證明。”[4]

為了通過(guò)引入新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)沖破經(jīng)典分析學(xué)中存在的局限性,施瓦茲先對(duì)分析學(xué)中最基本的概念——函數(shù)進(jìn)行了推廣;然后在此基礎(chǔ)上建立了一套新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言?，F(xiàn)在先來(lái)看他是如何推廣函數(shù)概念的。

首先,施瓦茲重新定義了測(cè)度。測(cè)度在過(guò)去被定義為關(guān)于集合的完全可加函數(shù),也就是說(shuō)測(cè)度把集合與被稱(chēng)為該集合的測(cè)度的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái),這其實(shí)就是一個(gè)泛函。由此,施瓦茲把測(cè)度重新定義為在有限區(qū)間外為零的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間上的泛函,并指出該泛函是連續(xù)線性的。值得注意的是,在《分布理論》中他對(duì)測(cè)度的泛函定義做了適當(dāng)修正,讓函數(shù)空間中的元素是“在緊集外為零”而不是這里的“在有限區(qū)域外為零”的連續(xù)函數(shù)[11]。

然后,他論證測(cè)度是古典函數(shù)概念的推廣。他證明了可以將在有限區(qū)間內(nèi)可和的函數(shù)f與密度為f且滿足μ(φ)=?…∫f(x)φ(x)dx的測(cè)度μ一一對(duì)應(yīng)起來(lái),從而測(cè)度是在有限區(qū)間內(nèi)可和函數(shù)類(lèi)的推廣。在《分布理論》中,他用“緊集”替換了這里的“有限區(qū)間”。

接著,他從物理角度出發(fā),引入了廣義函數(shù)概念。施瓦茲指出有必要定義物理學(xué)家早就在位勢(shì)理論中使用的比質(zhì)點(diǎn)更為復(fù)雜的概念——多層。他發(fā)現(xiàn)通過(guò)測(cè)度的泛函定義能夠把偶極子定義成關(guān)于函數(shù)φ的泛函,這里要求函數(shù)φ具有一階導(dǎo)數(shù)。由此,他意識(shí)到若要定義多層,就必須讓函數(shù)具有足夠多次的導(dǎo)數(shù)。因此,他引入由無(wú)限可導(dǎo)且在有界集外為零的函數(shù)構(gòu)成的集合Φ,且該集合的元素具有緊核;然后他稱(chēng)定義在函數(shù)空間Φ上的連續(xù)線性泛函為分布,即他引入的廣義函數(shù)概念;施瓦茲稱(chēng)所有分布構(gòu)成的向量空間為分布空間D。需要指出的是,《分布理論》中的“支集”就是這里的“核”,基本函數(shù)空間D就是由這里的集合Φ中的元素構(gòu)成的,分布空間D′就是這里的空間D[11]。

“任意分布是無(wú)限可微的,并且可以交換求導(dǎo)順序。……這就使得連續(xù)函數(shù)(甚至是在有界區(qū)域內(nèi)可積的函數(shù))無(wú)窮可微;通常情況下,它的微分既不是函數(shù)也不是測(cè)度,而是廣義函數(shù)。然而,通常意義下連續(xù)可微函數(shù)的微分與它的廣義函數(shù)微分是一致的?！盵4]

2.2分布空間的結(jié)構(gòu)

兩個(gè)分布可以相加,也可以用實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)與分布相乘,因此分布可以構(gòu)成向量空間。在引入分布及其微分定義之后,施瓦茲便開(kāi)始研究分布空間上的三大結(jié)構(gòu),即序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。正如他說(shuō)道:

“……因此,我們可以在分布空間上定義各種有趣的結(jié)構(gòu),研究它們的性質(zhì)。”[4]

從這句話可以看出,接下來(lái)施瓦茲想要做的事情就是研究分布空間上的結(jié)構(gòu)。首先,他定義了分布大于等于零的序結(jié)構(gòu),這即為《分布理論》中非負(fù)分布的定義。

然后,他研究分布空間上的代數(shù)結(jié)構(gòu),引入了分布的乘法、張量積和卷積運(yùn)算。他把分布與無(wú)窮可微函數(shù)的乘積定義為αT(φ)=T(αφ),其中函數(shù)φ是基本函數(shù)空間中的任意元素。顯然,他是通過(guò)對(duì)偶把分布與無(wú)窮可微函數(shù)的乘積轉(zhuǎn)換成基本函數(shù)空間上的元素與無(wú)窮可微函數(shù)之間的乘積,這一思想是他引入分布空間上各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本方法。注意到,這里施瓦茲用無(wú)窮可微函數(shù)與分布做乘法,而不是兩個(gè)分布相乘,對(duì)此他在這里沒(méi)有做出任何解釋。但是，在《分布理論》中,他明確指出、并說(shuō)明任意兩個(gè)分布為什么不能相乘。關(guān)于兩個(gè)分布之間的張量積,他通過(guò)對(duì)單變量函數(shù)張量積進(jìn)行推廣而得到任意兩個(gè)分布間的張量積,下面將看到定義張量積的主要目的在于定義卷積。施瓦茲在這篇文章中寫(xiě)道:

“但是,在整個(gè)分布理論中最重要的‘積’是‘合成積’。……合成積在分析領(lǐng)域中起著越來(lái)越重要的作用[4]。

合成積是施瓦茲分布理論中的核心內(nèi)容之一,對(duì)該代數(shù)運(yùn)算,他仍然從函數(shù)的情形出發(fā)、尋求啟示。他的研究思路是:先把函數(shù)看成分布,引入函數(shù)合成積的泛函定義;然后把函數(shù)合成積的泛函定義推廣到分布上;再通過(guò)分布的張量積、并借助富比尼定理來(lái)確定合成積的值。這里我們強(qiáng)調(diào),《分布理論》中的“卷積”就是這里的“合成積”。施瓦茲之所以稱(chēng)這種運(yùn)算為合成積,是因?yàn)樗艿巾f伊(AWeil，1906—1998)的影響和啟發(fā)。施瓦茲在其自傳《與時(shí)代拼搏的數(shù)學(xué)家》中寫(xiě)道:

“韋伊在其1940年的著作《拓?fù)淙荷系姆e分及其應(yīng)用》中研究了合成積,并對(duì)它進(jìn)行了廣泛的應(yīng)用?！瓘奈以?941年閱讀了韋伊的著作的那一刻起,合成積就在我的研究中有著至關(guān)重要的作用?！盵12]

毫無(wú)疑問(wèn),韋伊在《拓?fù)淙荷系姆e分及其應(yīng)用》中把“卷積”稱(chēng)作“合成積”。之所以我們現(xiàn)在用“卷積”代替“合成積”的名稱(chēng),是因?yàn)椤昂铣煞e”的概念太過(guò)模糊,從而在英語(yǔ)中用“卷積”來(lái)代替。

接著,施瓦茲研究分布空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在這篇文章第五節(jié)的開(kāi)始他寫(xiě)道:

“為了定義分布序列的收斂,在分布空間中引入拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是有利的。”[4]

也就是說(shuō),施瓦茲研究分布空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主要目的在于研究分布序列的收斂。通過(guò)分布的收斂定義他立刻給出分布求導(dǎo)的新定義,該定義是通常求導(dǎo)定義的推廣,從而分布的導(dǎo)數(shù)便是微分商的極限。另外,他指出求導(dǎo)是一種連續(xù)線性運(yùn)算,但在這里他并未給出論證,在《分布理論》中他對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)論證。

《分布理論》的第一部分是關(guān)于分布概念及其各種性質(zhì)的研究,第二部分對(duì)分布的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了探究,第三部分探討分布空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),第四、五、六部分分別討論了分布的張量積、乘法和卷積。通過(guò)上述考察、分析可知,這六部分均是在他1945年這篇文章基礎(chǔ)之上完成的,1945年的這篇文章基本涵蓋了他關(guān)于分布的所有內(nèi)容,除了分布的傅里葉變換之外。這就充分顯示出這篇文章的重要性和價(jià)值,數(shù)學(xué)家玻爾(H.Bohr,1887—1951)稱(chēng)這篇文章是他們那個(gè)時(shí)代中最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)論文之一[13]。

3　1948年的文章

1948年,施瓦茲又在《格勒諾布爾大學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇題為《分布論和傅里葉變換》(Théorie des Distributions et Transformation de Fourier)的文章,這篇文章主要探討分布傅里葉變換的問(wèn)題[14]。

在這篇文章的引言中施瓦茲給出了一系列概念,其中大部分是他在1945年那篇文章中引入的,但以下3個(gè)概念除外。其一,他明確提出函數(shù)空間D是由所有無(wú)窮可導(dǎo)且在緊集外為零的函數(shù)構(gòu)成的。其二,他引入名詞——支集,用它替代1945年那篇文章中的“核”。其三,他用記號(hào)D′取替1945年那篇文章中的廣義函數(shù)空間D。

傅里葉變換把一個(gè)n元函數(shù)變成另一個(gè)n元函數(shù),再通過(guò)反演變換又可得到原來(lái)的函數(shù)。但通常情況下傅里葉變換及其逆變換僅在一些非常強(qiáng)的限制條件下才有意義,這使施瓦茲慢慢地意識(shí)到不可能將任意一個(gè)分布的傅里葉變換定義成另一個(gè)分布,這里必須有一些限制,他在這篇文章第二節(jié)的最后一段中說(shuō)道:

“我們想定義一般的分布的傅里葉變換,并且給出和通常函數(shù)的傅里葉變化一致的定義及其反演公式。但是在一般的分布空間中定義其傅里葉變換是不可能的,我們必須在這里定義具有限制條件的分布空間,在該空間上可以定義其傅里葉變換?！盵14]

“傅里葉變換非常適合于研究常系數(shù)線性偏微分方程。如果記常系數(shù)線性偏微分方程為DT=0。由求導(dǎo)是一種卷積運(yùn)算可知該方程等價(jià)于卷積方程Dδ*T=0。若T為球形分布,則由卷積定理可知傅里葉變換把卷積方程Dδ*T=0轉(zhuǎn)化為乘積方程HV=0?！盵14]

毋庸置疑,這段話表明傅里葉變換能夠把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程,這就為求解微分方程提供了一條途徑。《分布理論》的第七部分是關(guān)于分布傅里葉變換的,那里的“緩增分布”就是這里的“球面分布”。施瓦茲之所以在《分布理論》中稱(chēng)球面分布為緩增分布,是因?yàn)樗迷鲩L(zhǎng)性對(duì)球面分布進(jìn)行了刻畫(huà)[11]。

4　結(jié)　語(yǔ)

施瓦茲在20世紀(jì)50年代初出版的《分布理論》是廣義函數(shù)的第一部專(zhuān)著,書(shū)中的很多重要結(jié)果和思想在當(dāng)今的學(xué)術(shù)研究中仍然具有很大的參考價(jià)值。著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家迪厄多內(nèi)(J.Dieudonné,1906—1992)評(píng)價(jià)說(shuō),施瓦茲對(duì)廣義函數(shù)理論所起的作用和牛頓、萊布尼茨在微積分歷史上所起的作用一樣[7]，這就再次印證了該著作的重要性和價(jià)值。然而,該著作的主要內(nèi)容和核心思想都體現(xiàn)在他1944—1948年的3篇學(xué)術(shù)論文中?！斗植祭碚摗肥窃谒跗诘倪@3篇文章基礎(chǔ)之上完成的,是對(duì)他初期發(fā)表的這3篇文章的進(jìn)一步補(bǔ)充和完善。另外,從施瓦茲早期的這3篇文章中可以窺視出他的研究思路:在古典函數(shù)概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)之上,應(yīng)用泛函及對(duì)偶的思想對(duì)其進(jìn)行推廣,從而得到相應(yīng)的分布的概念和運(yùn)算。這一研究思路體現(xiàn)出他的工作方式中蘊(yùn)含著“一般性”和“統(tǒng)一性”的思想,而這恰是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)之一,這為他的《分布理論》能夠取得如此大的成功提供了根本保障。因此,對(duì)施瓦茲早期的這3篇文章進(jìn)行探析,不僅為我們提供了一種可資借鑒的數(shù)學(xué)研究方法,而且為反觀20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特征提供了一條途徑。

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[14] SCHWARTZ L. Théorie des distributions et transformation de fourier[J].Annales de l′université de Grenoble, 1947-48, 23:7-24.

(編輯亢小玉)

Study on the source of Schwartz′s monographDistributionTheory

LI Fei, YUAN Min

(Center for the History of Mathematics and Science, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Schwartz′s bookDistributionTheorypublished in 1950 and 1951 is the first classical of the generalized function theory. However, his three articles published from 1944 to 1948 had already sketched out the outline of his monograph.DistributionTheoryis done on the basis of his earlier work and is the supplement and perfection of his earlier work. Based on the original materials, this paper studies Schwartz′s initial work toward generalized function theory, and reveals that Schwartz′s work has an important influence on his monograph. What′s more, this paper can help to understand better how Schwartz worked.

L. Schwartz; distribution; convolution; Fourier transform

2015-04-11

中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014T70932); 西北大學(xué)研究生自主創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(YZZ14080)

李斐,女,陜西西安人,西北大學(xué)博士生,從事近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究。

N091

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-028