一類三次微分系統(tǒng)的分段光滑擾動

李志鵬,　水樹良

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華　321004)

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一類三次微分系統(tǒng)的分段光滑擾動

李志鵬,水樹良

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華321004)

考慮了一類具有二次不變曲線的平面三次微分系統(tǒng)在分段三次多項(xiàng)式擾動下的極限環(huán)個數(shù)問題.利用一階Melnikov函數(shù),證明了從該系統(tǒng)的周期環(huán)域可以分支出8個極限環(huán).結(jié)果表明:分段三次多項(xiàng)式擾動此類三次微分系統(tǒng)比其相應(yīng)的三次多項(xiàng)式擾動可多產(chǎn)生4個極限環(huán).

極限環(huán);不變曲線;一階Melnikov函數(shù)；分段光滑系統(tǒng)

0　引　言

眾所周知,Hilbert第16問題的后半部分是非常困難的公開問題,即便是Arnold給出的弱化形式也只解決了一些特殊情形[1].近年來,人們考慮如下形式的平面系統(tǒng):

(1)

系統(tǒng)(1)中:ε是小參數(shù);P(x,y),Q(x,y)是n次多項(xiàng)式;C(x,y)是m次多項(xiàng)式且C(0,0)≠0.當(dāng)ε=0時,C(x,y)=0是系統(tǒng)(1)的不變代數(shù)曲線.在區(qū)域Ω={(x,y) |C(x,y)≠0}內(nèi),系統(tǒng)(1)的等價系統(tǒng)為近Hamilton系統(tǒng)

(2)

當(dāng)ε=0時,系統(tǒng)(2)有一族閉軌Lh={(x,y) |H(x,y)=x2+y2=h},h∈(0,+∞).

最近,對于光滑系統(tǒng)(1)的分支現(xiàn)象研究得比較多,但對于分段光滑微分系統(tǒng)

(3)

的研究少見報道.文獻(xiàn)[7]利用一階平均理論,給出了“當(dāng)C(x,y)=1+x時,系統(tǒng)(3)有5個極限環(huán)”的結(jié)論,比相應(yīng)的光滑微分系統(tǒng)多分支出3個極限環(huán).本文利用一階Melnikov函數(shù),研究了當(dāng)C(x,y)=(1-x)2時系統(tǒng)(3)的極限環(huán)個數(shù)問題.

考慮如下分段光滑三次微分系統(tǒng):

(4)

系統(tǒng)(4)中:

易知未擾系統(tǒng)(4)在x>0和x≤0時具有相同的首次積分H(x,y)=x2+y2.

本文的主要目標(biāo)是計算從未擾系統(tǒng)(4)|ε=0原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的個數(shù).所用的方法是文獻(xiàn)[8]中介紹的一階Melnikov函數(shù).

定理1當(dāng)|ε|>0充分小時,系統(tǒng)(4)經(jīng)擾動后從未擾動系統(tǒng)的周期軌分支出8個極限環(huán).

文獻(xiàn)[8]考慮了平面分段近Hamilton系統(tǒng)

(5)

系統(tǒng)(5)中:0<ε?1;H±∈C∞;f±(x,y)∈C∞;g±(x,y)∈C∞.對系統(tǒng)(5)作以下假設(shè)：

(H1)存在區(qū)間J=(h1,h2),系統(tǒng) (5)|ε=0有一族順時針周期軌道L(h):H(x,y)=h,h∈J;

(H2)各周期軌道交y軸于不同的兩點(diǎn)A(h)=(0,a(h))和A1(h)=(0,b(h)),其中a(h)>0,b(h)<0.

在假設(shè)(H1)和(H2)下,根據(jù)文獻(xiàn)[8]定理1.1和文獻(xiàn)[9]引理2.2,可以得到系統(tǒng)(5)的一階Melnikov函數(shù)為

(6)

此時,確定系統(tǒng)(5)的極限環(huán)個數(shù)就轉(zhuǎn)化為求一階Melnikov函數(shù)M(h)孤立零點(diǎn)個數(shù)(重根按重數(shù)計算)的問題.

1　定理1的證明

在證明定理1之前,先給出一個引理.

引理1[10]如果函數(shù)F1,F2,…,Fn在實(shí)數(shù)R上是線性無關(guān)的,那么存在b1,b2,…,bn和β1,β2,…,βn,有

系統(tǒng)(4)等價于分段光滑近Hamilton系統(tǒng)

(7)

系統(tǒng)(7)有一族周期軌道L(h)=x2+y2=h,h∈(0,1).由式(6)知

(8)

式(8)中,

(9)

對于式(9),運(yùn)用Green′s公式可得

通過計算,M+(h)可以化簡為

(10)

式(10)中,

(11)

李麗送走師兄后，又想到畢業(yè)了的師兄師姐很多，而在自己畢業(yè)的時候，這些師兄師姐已經(jīng)工作很多年了，大部分都已經(jīng)是公司的中層領(lǐng)導(dǎo)了，到時候如果有他們的幫助，肯定能找到一份好工作。李麗很快找到了大部分師兄師姐的聯(lián)系方式，然后逐個去聯(lián)系。

用相同的方法得到

(12)

式(12)中,

(13)

C7G7(h)+C8G8(h)+C9G9(h)+C10G10(h).

(14)

式(14)中:

2　結(jié)　語

在系統(tǒng)(1)中,選取不同的C(x,y)會影響系統(tǒng)(1)的極限環(huán)的個數(shù).到目前為止,對此已經(jīng)有了一些研究成果.但對于分段光滑系統(tǒng)(3)的研究還不多,因此,可以選取不同的C(x,y)來研究系統(tǒng)(3)的分支現(xiàn)象.

[1]LiJB.Hilberts16thproblemandbifurcationsofplanarpolynomialvectorfields[J].IntJBifurChaosApplSciEng,2003,13(1):47-106.

[2]LlibreJ,RioJSPD,RodriguezJA．Averaginganalysisofaperturbedquadraticcenter[J]．NonliearAnal,2001,46(1)：45-51．

[3]LiuChao,HanMaoan.Thenumberoflimitcyclesofapolynomialsystemontheplane[J].AbstrApplAnal,2013,2013(2013):634-656.

[4]WangJing,ShuiShuliang.Poincarébifurcationoftwoclassesofpolynomialsystems[J].AbstrApplAnal,2013,2013(2013):1-12.

[5]YaoHY,HanMA．Thenumberoflimitcyclesofaclassofpolynomialdifferentialsystems[J]．NonlinearAnal,2012,75(1)：341-357．

[6]XiangGH,HanMA.Globalbifurcationoflimitcyclesinafamilyofmutiparametersystem[J].InternatJBifurChaos,2004,14(9)：3325-3335.

[7]李時敏,趙育林,岑秀麗.一類不連續(xù)平面二次微分系統(tǒng)的極限環(huán)[J].中國科學(xué):A輯 數(shù)學(xué),2015,45(1):43-52.

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[9]LiangF,HanMA.Limitcyclesneargeneralizedhomoclinicanddoublehomoclinicloopsinpiecewisesmoothsystems[J].ChaosSolitonsFractals,2012,45(4):454-464.

[10]LlibreJ,SwirszcaG.Onthelimitcyclesofpolynomialvectorfields[J].DynContinDiscreteImpulsSystSerA:MathAnal,2011,18(2):203-214.

(責(zé)任編輯陶立方)

Piecewise smooth perturbation for a class of cubic differential systems

LI Zhipeng,SHUI Shuliang

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was studied the number of limit cycles that bifurcated from the periodic solutions of a cubic differential system, when it was perturbed by piecewise cubic polynomials. By using first order Melnikov functions to this system, it was proved that 8 limit cycles were bifurcated from the period annulus. The result showed that piecewise cubic polynomials perturbation cubic differential system had 4 more limits cycles than corresponding cubic polynomials perturbation.

limit cycles; invariant curve; first order Melnikov functions; piecewise smooth systems

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.03.004

收文日期：2015-11-22；2015-12-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171309;11172269)

李志鵬(1988-),男,河南周口人,碩士研究生.研究方向:微分方程與動力系統(tǒng).

水樹良.E-mail: shuisl@zjnu.cn

O175.25

A

1001-5051(2016)03-0258-05