多級(jí)適應(yīng)性休假的兩部件系統(tǒng)及其優(yōu)化應(yīng)用

劉仁彬(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶400054)

多級(jí)適應(yīng)性休假的兩部件系統(tǒng)及其優(yōu)化應(yīng)用

劉仁彬
(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶400054)

研究一個(gè)包括4個(gè)特殊模型的兩部件可修系統(tǒng).修理設(shè)備在每個(gè)忙期前需要一段隨機(jī)長(zhǎng)度的啟動(dòng)時(shí)間,且在修理過程中可能故障需要更換.修理工執(zhí)行空竭修理多級(jí)適應(yīng)性休假.建立了狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)微分方程組并得到了其解.求出了可用度,失效頻度,平均休假期,平均更新周期,平均啟動(dòng)期和更換頻度等可靠性指標(biāo).數(shù)值算例驗(yàn)證了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)主要可靠性指標(biāo)的影響,表明在帶有啟動(dòng)時(shí)間、更換時(shí)間和休假的兩部件冷貯備、溫貯備和并聯(lián)系統(tǒng)中,兩部件冷貯備系統(tǒng)具有最優(yōu)的性能.最后,給出了本文模型的一個(gè)最優(yōu)化應(yīng)用實(shí)例.

兩部件系統(tǒng);休假;啟動(dòng);更換;可靠性指標(biāo);最優(yōu)利潤(rùn)

1　引　言

兩部件可修系統(tǒng)是可靠性理論和應(yīng)用中的一類重要模型.比如醫(yī)院里為預(yù)防意外停電而準(zhǔn)備的蓄電池和醫(yī)院的供電廠(具有優(yōu)先使用權(quán))可看成兩部件冷貯備系統(tǒng);汽車行駛過程中一個(gè)運(yùn)行的輪胎和其備用輪胎可看成兩部件溫貯備系統(tǒng);由兩個(gè)工作站并行工作的某些零件加工生產(chǎn)線可看成兩部件并聯(lián)系統(tǒng)等.近年來,修理工可休假的兩部件冷貯備、溫貯備和并聯(lián)可修系統(tǒng)及其可靠性問題已成為研究的熱點(diǎn).如文獻(xiàn)[1,2]分別討論了單重休假兩部件冷貯備可修系統(tǒng)的退化模型和Poisson沖擊模型;文獻(xiàn)[3]運(yùn)用幾何過程理論研究了單重休假兩部件溫貯備系統(tǒng)可靠性;文獻(xiàn)[4]則考慮了多重休假且?guī)Ю滟A備部件的Gaver并聯(lián)系統(tǒng)并求出了主要的可靠性指標(biāo).文獻(xiàn)[5]分析了離散時(shí)間條件下單重休假的兩部件并聯(lián)可修系統(tǒng)模型及其可靠性.但目前的研究,大多都假設(shè)了修理設(shè)備隨時(shí)可用于修理故障部件,并且修理工只進(jìn)行單重或多重休假,而實(shí)際系統(tǒng)中修理設(shè)備常常采取閑時(shí)關(guān)閉和忙時(shí)開啟,并且修理前需要一段隨機(jī)長(zhǎng)度的啟動(dòng)時(shí)間用來預(yù)熱,而在修理過程中失效時(shí)需要更換后再繼續(xù)余下的修理等[6-8],都說明修理設(shè)備不一定隨時(shí)都可用于修理.另外,如果修理工通過休假的方式從事其他兼職業(yè)務(wù)來增加系統(tǒng)收益,則應(yīng)兼顧系統(tǒng)達(dá)到一定的可用度,以保持系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn).因此,除了單重和多重休假外,必須尋求可同時(shí)兼顧效益和使系統(tǒng)達(dá)到一定可用度的休假策略,給系統(tǒng)管理者合理安排空閑修理工的兼職工作提供更多的決策選擇.最后,現(xiàn)有文獻(xiàn)一般只討論了系統(tǒng)可用度、故障頻度以及休假概率等可靠性指標(biāo),而系統(tǒng)更新周期、修理工的休假期以及修理設(shè)備的不可用度和更換頻度等重要指標(biāo)則一般都沒討論,并且很少涉及相關(guān)模型的實(shí)際應(yīng)用,如根據(jù)可靠性指標(biāo)建立利潤(rùn)函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)最優(yōu)利潤(rùn)分析和最優(yōu)休假策略研究等.

基于上述問題,本文推廣了文獻(xiàn)[9]提出的兩部件系統(tǒng)基本模型,假設(shè)修理設(shè)備開始修理前有一段隨機(jī)長(zhǎng)度的啟動(dòng)時(shí)間,在修理故障部件過程中可能失效而需要更換后再繼續(xù)修理.另外,引入了田乃碩[10]提出的多級(jí)適應(yīng)性休假策略.不同于過去的兩部件系統(tǒng)分析,本文的創(chuàng)新在于對(duì)故障到達(dá)為非Poisson過程的多級(jí)適應(yīng)性休假兩部件可修系統(tǒng),首次借助補(bǔ)充變量法建立了表征系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行的狀態(tài)概率微分方程組.而以前研究的多級(jí)適應(yīng)性休假系統(tǒng)均是Poisson或Bernoulli到達(dá)的單服務(wù)員(可修)排隊(duì)系統(tǒng),運(yùn)用的都是嵌入馬氏鏈法[10,11]和概率分解法[12](對(duì)非Poisson(Bernoulli)到達(dá)(故障)系統(tǒng)分析一般較難進(jìn)行);其次,構(gòu)造了一個(gè)帶有限個(gè)吸收狀態(tài)的Markov過程,通過求平均吸收時(shí)間分析了修理工的平均休假期和實(shí)際休假次數(shù),而這些指標(biāo)在以前的休假系統(tǒng)可靠性分析中一般都沒討論,但對(duì)系統(tǒng)的決策管理是非常重要的.值得指出的是,所建的模型具有很強(qiáng)的綜合性:(1)模型結(jié)構(gòu)包括了兩同型部件冷貯備、溫貯備、并聯(lián)系統(tǒng)和n同型部件（n-1）/n/（G）表決系統(tǒng);(2)修理設(shè)備具有一般概率分布的啟動(dòng)時(shí)間和故障更換時(shí)間;(3)休假策略包括了單重、多重、有限重休假和計(jì)劃休假次數(shù)服從幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布等情形.通過求解模型的狀態(tài)概率方程組,得到了可用度、失效頻度、平均更新周期、平均啟動(dòng)期、平均閑期、平均忙期和更換頻度等主要可靠性指標(biāo).數(shù)值算例驗(yàn)證了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)主要可靠性指標(biāo)的影響,表明在帶有啟動(dòng)時(shí)間、更換時(shí)間和休假的兩部件冷貯備、溫貯備和并聯(lián)系統(tǒng)中,兩部件冷貯備系統(tǒng)具有最優(yōu)的性能.最后,應(yīng)用本文模型及其得到的可靠性理論結(jié)果模擬分析了一條加工生產(chǎn)線的最優(yōu)利潤(rùn),突出了理論研究的實(shí)際應(yīng)用,為系統(tǒng)管理者合理安排空閑修理工的兼職工作并兼顧系統(tǒng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)提供了理論指導(dǎo)和實(shí)際參考.

2　系統(tǒng)假設(shè)

1)系統(tǒng)由1臺(tái)修理設(shè)備,1名修理工和2個(gè)同型部件構(gòu)成.t時(shí)刻系統(tǒng)失效部件數(shù)N（t）滿足條件概率

系統(tǒng)失效當(dāng)且僅當(dāng)兩部件均失效.失效部件按先壞先修接受修理,修理時(shí)間具有一般分布,其分布函數(shù),密度函數(shù),危險(xiǎn)率函數(shù)和有限均值分別為G（·），g（·），μ（·）和E［~G］.修理工運(yùn)用修理設(shè)備一次只能修理一個(gè)失效部件,部件修復(fù)如新;

2)失效部件均修復(fù)后,修理工立即關(guān)閉修理設(shè)備(關(guān)閉時(shí)間忽略不計(jì),關(guān)閉后修理設(shè)備處于冷貯備狀態(tài)),接著開始多級(jí)適應(yīng)性休假,即他計(jì)劃連續(xù)休假H次?H為一隨機(jī)變量,有概率分布Pr｛H=j｝=cj，j= 1，2，...和概率母函數(shù)H（z），|z|＜1?,休假時(shí)間序列｛Vi｝獨(dú)立同分布,有分布函數(shù)V（·）,密度函數(shù)v（·）,危險(xiǎn)率函數(shù)r（·）和有限均值E［~V］.一次休假返回若發(fā)現(xiàn)失效部件立即花一段時(shí)間啟動(dòng)修理設(shè)備,設(shè)備啟動(dòng)結(jié)束后開始修理直到修復(fù)所有失效部件.否則,若無失效部件且連續(xù)休假次數(shù)小于H,則進(jìn)行另一次休假;若無失效部件且連續(xù)休假次數(shù)等于H,則修理工空閑,直到系統(tǒng)中部件失效并立即開始一個(gè)啟動(dòng)時(shí)間,然后進(jìn)行修理.待所有失效部件修理完畢后立即關(guān)閉修理設(shè)備,接著又開始進(jìn)行多級(jí)適應(yīng)性休假.假設(shè)啟動(dòng)時(shí)間服從一般分布,有分布函數(shù)Q（·）,密度函數(shù)q（·）,危險(xiǎn)率函數(shù)θ（·）和有限均值E［~Q］;

3)在修理失效部件過程中修理設(shè)備可能以Poisson失效率α失效,失效后修理工立即更換一個(gè)同樣的修理設(shè)備,其更換時(shí)間服從一般分布,有分布函數(shù)B（·）,密度函數(shù)b（·）,危險(xiǎn)率函數(shù)β（·）和有限均值E［~B］.設(shè)備更換后繼續(xù)余下的修理,失效部件已修理過的時(shí)間依然有效;

4)開始時(shí)刻,具有2個(gè)新部件的系統(tǒng)開始工作,修理設(shè)備處于冷貯備狀態(tài),修理工空閑直到首個(gè)失效部件出現(xiàn)并立即啟動(dòng)修理設(shè)備,設(shè)備啟動(dòng)結(jié)束后開始修理,待首個(gè)忙期結(jié)束后關(guān)閉修理設(shè)備(關(guān)閉后修理設(shè)備又處于冷貯備狀態(tài)),接著開始多級(jí)適應(yīng)性休假.所有的隨機(jī)變量相互獨(dú)立.1

3　狀態(tài)概率方程組及其求解

首先定義t時(shí)刻系統(tǒng)的可能狀態(tài)如下:

狀態(tài)0:N（t）=0,修理工空閑,修理設(shè)備關(guān)閉(處于冷貯備狀態(tài));

狀態(tài)1:N（t）=1,失效部件正在等待修理,修理工正在啟動(dòng)修理設(shè)備;

狀態(tài)2:N（t）=2,2個(gè)失效部件正在等待修理,修理工正在啟動(dòng)修理設(shè)備;

狀態(tài)3:N（t）=1,失效部件正在修理;

狀態(tài)4:N（t）=2,1個(gè)失效部件正在修理,另一個(gè)失效部件正在等待修理;

狀態(tài)5:N（t）=1,失效部件正在等待修理設(shè)備完成其剩余修理,修理工正在更換修理設(shè)備;

狀態(tài)6:N（t）=2,1個(gè)部件在等待修理,另一部件在等待完成其剩余修理,修理工正在更換修理設(shè)備;

狀態(tài)ij:N（t）=0,修理工計(jì)劃連續(xù)休假i次,實(shí)際正在第j次休假,i=1，2，...；j=1，2，...，i;

狀態(tài)ij1:N（t）=1,修理工計(jì)劃連續(xù)休假i次,實(shí)際正在第j次休假,i=1，2，...；j=1，2，...，i;

狀態(tài)ij2:N（t）=2,修理工計(jì)劃連續(xù)休假i次,實(shí)際正在第j次休假,i=1，2，...；j=1，2，...，i.

上述定義中,狀態(tài)0,1,3,5,ij和ij1是系統(tǒng)工作狀態(tài),而狀態(tài)2,4,6和ij2是系統(tǒng)故障狀態(tài).其次定義X（t）為時(shí)刻t修理設(shè)備已用去的啟動(dòng)時(shí)間,y（t）為時(shí)刻t失效部件已用去的修理時(shí)間,Z（t）為時(shí)刻t修理設(shè)備已用去的更換時(shí)間,γ（t）為時(shí)刻t修理工已度過的休假時(shí)間,則｛N（t），X（t），y（t），Z（t），γ（t），t≥0｝為一向量Markov過程.設(shè)S（t）表示t時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài),定義時(shí)刻t的狀態(tài)概率如下:

這里Pr｛D｝表示事件D的概率,x，y，z，ω分別是X（t），y（t），Z（t），γ（t）的取值.最后定義

由系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移和概率分析,可得到穩(wěn)態(tài)下狀態(tài)概率滿足的微分方程組如下

邊界條件為

正則條件為

為解上述方程組,記非負(fù)函數(shù)U（t）的拉普拉斯變換為

解方程(2),得

類似求解得到

現(xiàn)在需要確定P0，P1（0），P2（0），P3（0），P4（0）和Pij（0），i=1，2，...；j=1，2，...，i的值.將式(23)和式(27)分別代入式(17)和式(18)得到

于是可得

聯(lián)立式(1),式(27)和式(33)得

借助式(35),式(28)和式(34),從式(11)得

同理,由式(12),式(29)和式(34)得到

最后,由式(13)和式(14)得到

于是由式(38)和式(39)得到

再由式(36)和式(40)得

另外,由式(21)～式(29)可計(jì)算得到

于是正則條件式(20)化為

將式(40)和式(41)代入式(42)中,解得

至此,穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)狀態(tài)概率的值和πi,i=1，2，...，9均已求出.2設(shè)λ1=λ，λ0=λ+λ＇（0≤λ＇≤λ）,則當(dāng)λ＇=0時(shí),由注1知模型變?yōu)樾蘩砉ざ嗉?jí)適應(yīng)性休假且修理設(shè)備需啟動(dòng)和更換的兩同型部件冷貯備系統(tǒng),其中運(yùn)行部件壽命服從參數(shù)為λ的負(fù)指數(shù)分布.在這種特殊情形下,設(shè)則易得

4　系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)

定理11)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度,即穩(wěn)態(tài)下,系統(tǒng)正常工作的概率為

2)根據(jù)文獻(xiàn)[13]的頻度公式,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)失效頻度,即穩(wěn)態(tài)下,單位時(shí)間系統(tǒng)失效的平均次數(shù)為

其中P3（0）由式(43)確定.

注意到修理工開始休假的時(shí)刻是系統(tǒng)再生點(diǎn),定義相鄰兩次開始休假時(shí)刻之間的時(shí)間長(zhǎng)度為系統(tǒng)更新周期LR.在一個(gè)更新周期內(nèi),定義修理工空閑和休假的時(shí)間長(zhǎng)度分別為修理工的閑期LI和休假期LV;定義修理設(shè)備的啟動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)度和修理失效部件的時(shí)間長(zhǎng)度分別為修理設(shè)備的啟動(dòng)期LS和廣義忙期LB,其中廣義忙期LB等于失效部件的實(shí)際修理時(shí)間和修理設(shè)備的更換時(shí)間之和.

定理21)穩(wěn)態(tài)下,修理工處于閑期和休假期的概率PI、PV,修理設(shè)備處于啟動(dòng)期和廣義忙期的概率PS、PB分別為

2)穩(wěn)態(tài)下,修理設(shè)備更換的概率(不可用度)ξ和單位時(shí)間修理設(shè)備的平均更換次數(shù)(更換頻度)η分別為

證明由文獻(xiàn)[13]的頻度公式即得η.其余概率值由其定義和系統(tǒng)假設(shè)及第3節(jié)結(jié)果計(jì)算即得.證畢.

定理3設(shè)E［LV］和E［J］分別為修理工的平均休假期長(zhǎng)度和實(shí)際休假的平均次數(shù),則

令第3節(jié)的向量Markov過程｛N（t），X（t），y（t），Z（t），γ（t），t≥0｝的狀態(tài)空間中除休假狀態(tài)外其余狀態(tài)均為吸收狀態(tài),則得一新Markov過程,對(duì)此過程的狀態(tài)概率仍用第3節(jié)狀態(tài)概率的符號(hào)表示,則此過程的狀態(tài)概率滿足下列微分方程組

邊界條件為

類似方程組(1)～(10)的求解,易得上述方程組解的拉普拉斯變換分別為

推論1系統(tǒng)的平均更新周期E［LR］,修理工的平均閑期E［LI］和修理設(shè)備的平均啟動(dòng)期E［LS］及平均廣義忙期E［LB］分別為

證明 注意到E［LV］+E［LI］+E［LS］+E［LB］=E［LR］，PV+PI+PS+PB=1即可得結(jié)論3)由于修理工開始休假的時(shí)刻是系統(tǒng)再生點(diǎn),根據(jù)文獻(xiàn)[13]的頻度公式和第3節(jié)中P3（y）的表達(dá)式,可得到穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)更新頻度κ=再由文獻(xiàn)[14]的命題3.3,得到系統(tǒng)的平均更新周期這種方法得到的結(jié)果和推論結(jié)果是一致的,同時(shí)也說明了定理3及其推論的正確性.更為重要的是,定理3提供了一種求休假可靠性系統(tǒng)平均休假期長(zhǎng)度和實(shí)際休假平均次數(shù)的方法,其結(jié)論在目前休假可靠性系統(tǒng)文獻(xiàn)中尚未發(fā)現(xiàn)有人討論.2)(特例)設(shè)H（z）=z，q（t）=θe-θt，v（t）=r e-rt（t≥0）,則當(dāng)θ→∞，r→∞，α→0時(shí),本文討論模型變?yōu)椴軙x華等的兩部件系統(tǒng)基本模型[9](即修理工不休假且修理設(shè)備無啟動(dòng)、無失效的本文模型),由第3節(jié)P3（0）的表達(dá)式和本節(jié)結(jié)果運(yùn)算化簡(jiǎn),可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度A、失效頻度W以及修理工(修理設(shè)備)的平均忙期E［LB］和平均閑期E［Ll］分別為

其中A與文獻(xiàn)[9]一致,其他為新結(jié)果..證畢.

5　數(shù)值算例

本節(jié)將運(yùn)用第3節(jié)和第4節(jié)的結(jié)果對(duì)修理工多級(jí)適應(yīng)性休假和修理設(shè)備的啟動(dòng)及更換對(duì)系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行數(shù)值分析.另外,作為模型特例,在相同條件下數(shù)值比較了修理工多級(jí)適應(yīng)性休假且修理設(shè)備需啟動(dòng)和更換的兩同型部件冷貯備、溫貯備和并聯(lián)系統(tǒng)的性能指標(biāo),分析了性能最優(yōu)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).為計(jì)算方便,假設(shè)修理工的休假時(shí)間、失效部件的修理時(shí)間、修理設(shè)備的啟動(dòng)時(shí)間和更換時(shí)間分別服從密度函數(shù)為v（t）=r e-r t的負(fù)指數(shù)分布、均值的定長(zhǎng)分布、密度函數(shù)q（t）=θ2t e-θt的2階Erlang分布和密度函數(shù)b（t）=0.4βe-βt+0.3（2β）e-2βt+0.3（3β）e-3βt的超指數(shù)分布.分以下幾種情形分析.

情形1設(shè)H=k，H（z）=zk，|z|≤1，k=0，1，3，5，...∞,即分別假設(shè)修理工不休假、單重休假,3次休假,5次休假和多重休假.選擇λ0=1.8，λ1=1.2，r=10，θ=8，α=0.25，β=12.考察修理工的計(jì)劃連續(xù)休假次數(shù)H對(duì)系統(tǒng)性能的影響,數(shù)值結(jié)果見表1;

情形2設(shè)H（z）=0.4z/（1-0.6z）,選擇λ0=1.8，λ1=1.2，θ=8，α=0.25，β=12,改變r(jià)的值考察修理工休假率對(duì)系統(tǒng)性能的影響,數(shù)值結(jié)果見表2;

情形3設(shè)H（z）=0.4z/（1-0.6z）,選擇λ0=1.8，λ1=1.2，r=10，α=0.25，β=12,改變?chǔ)鹊闹悼疾煨蘩碓O(shè)備的啟動(dòng)對(duì)系統(tǒng)性能的影響,數(shù)值結(jié)果見表3;

情形4設(shè)H（z）=0.4z/（1-0.6z）,選擇λ0=1.8，λ1=1.2，r=10，θ=8，α=0.25,改變?chǔ)碌闹悼疾煨蘩碓O(shè)備的更換對(duì)系統(tǒng)性能的影響,數(shù)值結(jié)果見表4;

情形5設(shè)H（z）=0.4z/（1-0.6z）,選擇λ1=0.8，λ0=λ1+λ＇（0≤λ＇≤λ1），r=10，θ=8，α= 0.25，β=12,改變?chǔ)耍У闹当容^修理工多級(jí)適應(yīng)性休假且修理設(shè)備需啟動(dòng)和更換的兩同型部件冷貯備(λ＇=0)、溫貯備(0＜λ＇＜λ1)和并聯(lián)(λ＇=λ1)系統(tǒng)的性能指標(biāo),數(shù)值結(jié)果見表5.

表1和表2的數(shù)據(jù)表明,修理工計(jì)劃連續(xù)休假次數(shù)H增加或修理工休假率r減少,將使系統(tǒng)失效頻度W、平均更新周期E［LR］和平均休假期E［LV］均增加,而系統(tǒng)可用度A和修理設(shè)備忙的概率PB、不可用度ξ及更換頻度η均減少,但不影響修理設(shè)備的啟動(dòng)期E［LS］;從表3可看出,修理設(shè)備的啟動(dòng)時(shí)間變短(θ值變大),將引起系統(tǒng)可用度A和修理設(shè)備忙的概率PB、不可用度ξ及更換頻度η均增加,而系統(tǒng)失效頻度W、平均更新周期E［LR］和啟動(dòng)期E［LS］均減少,但不影響修理工的平均休假期E［LV］;從表4知,修理設(shè)備的更換時(shí)間越長(zhǎng)(β值越小),其不可用度越高,系統(tǒng)可用度越低,系統(tǒng)平均更新周期越長(zhǎng),但不影響修理設(shè)備的啟動(dòng)期和修理工的休假期.數(shù)值結(jié)果符合預(yù)期.

表1　修理工計(jì)劃連續(xù)休假次數(shù)H對(duì)系統(tǒng)主要性能指標(biāo)的影響Table1　Effectsof repairman’s planned successive vacation number H onmain system performance indices

表2　修理工休假率r對(duì)系統(tǒng)主要性能指標(biāo)的影響Table2　Effectsof repairman’s vacation rate r onmain system performance indices

表3　修理設(shè)備啟動(dòng)參數(shù)θ對(duì)系統(tǒng)主要性能指標(biāo)的影響Table3　Effectsof repair facility’s startup parameterθonmain system performance indices

表4　修理設(shè)備更換參數(shù)β對(duì)系統(tǒng)主要性能指標(biāo)的影響Table4　Effectsof repair facility’s replacement parameterβonmain system performance indices

表5　帶啟動(dòng)、更換和休假的兩同型部件冷貯備、溫貯備和并聯(lián)系統(tǒng)主要性能指標(biāo)的比較Table5　Main performance index comparisons for two-identical-unit cold-standby,warm-standby and parallel systemswith startup,replacementand vacations

在部件、修理設(shè)備和修理工相同的條件下,表5數(shù)據(jù)比較了修理工多級(jí)適應(yīng)性休假且修理設(shè)備需啟動(dòng)和更換的兩同型部件冷貯備系統(tǒng)(λ＇=0)、溫貯備系統(tǒng)(0＜λ＇＜0.8)和并聯(lián)系統(tǒng)(λ＇=0.8)的系統(tǒng)性能,由表5可知,3種系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中,兩部件冷貯備系統(tǒng)的系統(tǒng)可用度最大,平均更新周期最長(zhǎng),修理工休假期最長(zhǎng),而系統(tǒng)失效頻度和修理設(shè)備的不可用度、更換頻度及忙的概率都最小,因此具有最好的性能,兩部件溫貯備系統(tǒng)性能次之,兩部件并聯(lián)系統(tǒng)性能最差.另外,對(duì)兩部件溫貯備系統(tǒng),部件的貯備失效率λ＇越大,系統(tǒng)可用度越低,但不影響修理設(shè)備的啟動(dòng)時(shí)間.

6　模型的一個(gè)最優(yōu)化應(yīng)用實(shí)例

已知一條加工生產(chǎn)線由2個(gè)相同工作站(比如2個(gè)工作站出自同一廠家的同一批且有相同的性能指標(biāo)參數(shù)等)并行工作構(gòu)成,工作站對(duì)某種型號(hào)的工件進(jìn)行加工.當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)工作站內(nèi)工件加工異常(工作站出現(xiàn)故障)時(shí)需立即停止該工作站的運(yùn)行,由1名維修人員負(fù)責(zé)修理.維修前有一段隨機(jī)長(zhǎng)度的準(zhǔn)備時(shí)間(如預(yù)熱或啟動(dòng)修理器械等).當(dāng)兩個(gè)工作站內(nèi)的工件都出現(xiàn)加工異常時(shí)則按“先壞先修”原則維修工作站.如修理器械在修理時(shí)故障則立即由該名維修人員更換同樣的修理器械然后繼續(xù)接著修理.當(dāng)工作站修復(fù)后整個(gè)生產(chǎn)線又開始運(yùn)行,維修人員接著維修余下的故障工作站(如果有的話).為了增加該生產(chǎn)線的效益,當(dāng)兩個(gè)工作站正常工作較長(zhǎng)時(shí)間后,打算讓該名維修人員連續(xù)從事輔助業(yè)務(wù)創(chuàng)收.假定工作站的故障過程是強(qiáng)度為λ=0.1的Poisson過程,其故障維修時(shí)間服從參數(shù)為2的2階Erlang分布;維修前的準(zhǔn)備時(shí)間服從參數(shù)為1的3階Erlang分布;維修過程中修理器械具有0.15的Poisson失效率,其更換時(shí)間服從均值為0.5的定長(zhǎng)分布.整個(gè)生產(chǎn)線正常工作單位時(shí)間的平均收益為fA=800,系統(tǒng)每故障一次的平均損失為fW=300,維修人員從事輔助業(yè)務(wù)的單位時(shí)間收益為fV=1 500,維修人員在閑期、維修準(zhǔn)備期和忙期(負(fù)責(zé)維修和更換)產(chǎn)生的單位時(shí)間費(fèi)用分別為fI=15、fS=20和fB=50,每更換1次修理器械的平均損失為fη=150.問

1)如果每次從事輔助業(yè)務(wù)的時(shí)間服從均值為2.5的負(fù)指數(shù)分布,則該維修人員計(jì)劃連續(xù)從事輔助業(yè)務(wù)的次數(shù)K為多少時(shí),才能使整個(gè)生產(chǎn)線以不低于0.8的可用度獲得單位時(shí)間最大平均利潤(rùn)?

2)如果計(jì)劃連續(xù)從事輔助業(yè)務(wù)的次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布Nb（2，2/3）,且每次從事輔助業(yè)務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)度為固定整數(shù)時(shí)間u,則u為多少時(shí),才能使整個(gè)生產(chǎn)線以不低于0.8的可用度獲得單位時(shí)間最大平均利潤(rùn)?

為求解上述最優(yōu)化問題,用本文模型模擬該生產(chǎn)線(取λ0=2λ，λ1=λ,每次從事輔助業(yè)務(wù)的時(shí)間看成休假時(shí)間).基于第4節(jié)的可靠性指標(biāo),建立平穩(wěn)狀態(tài)下整個(gè)生產(chǎn)線單位時(shí)間的平均利潤(rùn)為

其中A，W，E［LR］，E［LI］，E（LS），E［LB］，E［LV］和η分別由第4節(jié)定理1～定理3和推論1給出.

將具體參數(shù)值代入上述最大值問題,運(yùn)用探試法并借助MATLAB軟件編程計(jì)算T（K）和A,具體數(shù)據(jù)見表6.

表6　在不同的計(jì)劃連續(xù)輔助業(yè)務(wù)次數(shù)K下加工生產(chǎn)線的可用度A和單位時(shí)間平均利潤(rùn)T（K）Table 6　Availability A and average profitper unit time T（K）of a processing production line for different planned successive ancillary businessnumber K

由表6可見,計(jì)劃連續(xù)從事輔助業(yè)務(wù)的次數(shù)K*=4時(shí),整個(gè)生產(chǎn)線以不低于0.8的可用度獲得單位時(shí)間最大平均利潤(rùn)為1399.9.

類似問題(1)的處理,對(duì)T（u）和A編程計(jì)算,數(shù)據(jù)結(jié)果見表7.由表7可見,每次從事輔助業(yè)務(wù)的固定整數(shù)時(shí)間長(zhǎng)度u*=6時(shí),整個(gè)生產(chǎn)線以不低于0.8的可用度獲得單位時(shí)間最大平均利潤(rùn)為1559.7.

表7　在不同的輔助業(yè)務(wù)時(shí)間u下加工生產(chǎn)線的可用度A和單位時(shí)間平均利潤(rùn)T（u）Table7　Availability A and average profitper unit time T（u）of a processing product line for differentancillary business time u

從這個(gè)應(yīng)用實(shí)例可以看出,在維持整個(gè)生產(chǎn)線較高可用度的前提下,為獲得最大利潤(rùn),決策管理者可根據(jù)相關(guān)效益和費(fèi)用情況等,當(dāng)已知每次從事輔助業(yè)務(wù)的平均時(shí)間時(shí),可計(jì)劃連續(xù)從事輔助業(yè)務(wù)的最優(yōu)次數(shù);當(dāng)已知計(jì)劃連續(xù)從事輔助業(yè)務(wù)的次數(shù)分布時(shí),可安排每次從事輔助業(yè)務(wù)的最優(yōu)時(shí)間長(zhǎng)短.

7　結(jié)束語

本文在已有模型的基礎(chǔ)上引入了文獻(xiàn)[10]提出的多級(jí)適應(yīng)性休假策略,同時(shí)考慮了實(shí)際系統(tǒng)中修理設(shè)備常常忙時(shí)開啟和閑時(shí)關(guān)閉,修理前有一段隨機(jī)長(zhǎng)度的啟動(dòng)時(shí)間及修理過程中失效需更換的情形.本文的模型具有較強(qiáng)的綜合性.借助補(bǔ)充變量的方法首次建立了系統(tǒng)狀態(tài)概率滿足的穩(wěn)態(tài)微分方程組并得到了其解,在此基礎(chǔ)上獲得了可用度、失效頻度和平均更新周期等主要可靠性指標(biāo),特別是通過構(gòu)造一個(gè)帶有限個(gè)吸收狀態(tài)的Markov過程獲得了修理工的平均休假期和實(shí)際休假的平均次數(shù).數(shù)值算例表明在帶有啟動(dòng)時(shí)間、更換時(shí)間和休假的兩部件冷貯備、溫貯備和并聯(lián)系統(tǒng)中,兩部件冷貯備系統(tǒng)具有最優(yōu)的性能.最后,基于本文模型及其得到的可靠性理論結(jié)果,模擬了一條由兩個(gè)工作站并行工作的零件加工生產(chǎn)線,建立了其利潤(rùn)函數(shù)并分析了其最優(yōu)利潤(rùn)和最優(yōu)休假策略,為系統(tǒng)管理者合理安排空閑修理工的兼職工作并兼顧系統(tǒng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)提供了理論指導(dǎo)和實(shí)際參考.鑒于目前休假可修系統(tǒng)模型的應(yīng)用研究方面文獻(xiàn)還不多,建立更貼近實(shí)際應(yīng)用的系統(tǒng)模型并加強(qiáng)模型的具體應(yīng)用研究,將是今后工作的一個(gè)重要方向.

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Two-unit system withmultip le adaptive vacations and itsoptim ization app lication

Liu Renbin
(SchoolofMathematicsand Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

This paper studies a two-unit repairable system,which includes four specialmodels.The repair facility needsastartup timewith random lengthsbeforeeach busy period andmay fail in the processof repair. The failed facility is replaced by a repairmanwho takesexhaustive repairandmultipleadaptivevacations.The steady-state differentialequations for the state probabilities are set up and their solutions are derived.Some reliability indices are derived,such as availability,failure frequency,mean vacation period,mean renewal period,mean startup period and replacement frequency,etc.Numerical examples are given to illustrate the effects of the system parameters onmain reliability indices,and show that the two-unit cold-standby system has optimal performance among the two-unit cold-standby,warm-standby and parallel systemswith startup time,replacement time and vacation.Finally,areal-world optimization application example of themodel is presented.

two-unitsystem;vacation;startup;replacement;reliability indices;optimalprofit

O213.2

A

1000-5781(2016)02-0274-13

10.13383/j.cnki.jse.2016.02.013

2013-10-24;

2014-03-06.

重慶市基礎(chǔ)與前沿研究資助項(xiàng)目(cstc2013jcyjA00008);重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(KJ1400940).

劉仁彬(1972—),男,四川自貢人,博士,副教授,研究方向:可靠性模型及其應(yīng)用,Email:liurb888@126.com.