多維正相依再保險(xiǎn)條約中最優(yōu)自留向量的確定

張節(jié)松,肖慶憲(.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093;2.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽淮北235000)

多維正相依再保險(xiǎn)條約中最優(yōu)自留向量的確定

張節(jié)松1，2,肖慶憲1
(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093;
2.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽淮北235000)

為了探尋多維正相依風(fēng)險(xiǎn)在再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)中的最優(yōu)自留額,應(yīng)用條件極值理論,得到了依凸序最優(yōu)自留向量滿足的一般形式的方程組.在2維情形下,進(jìn)一步應(yīng)用單側(cè)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,給出了最優(yōu)解的顯式表達(dá)式,并發(fā)現(xiàn)其可能取值的矩形域必為平面上的一個(gè)點(diǎn).針對(duì)更高維情形,在自留損失方差最小與期望指數(shù)效用最大這兩個(gè)特定準(zhǔn)則下,假定索賠額分布屬于對(duì)數(shù)正態(tài)分布族并依隨機(jī)序正相依或者通過一個(gè)共同的指數(shù)分布正相依,分別給出了更易于求解的方程組.最后通過算例表明了所提方法的可行性與有效性.

相依風(fēng)險(xiǎn);巨災(zāi)再保險(xiǎn);自留向量;效用;依隨機(jī)序正相依

1　引　言

在保險(xiǎn)精算理論中,索賠額相互獨(dú)立是一個(gè)重要的假設(shè),經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型以及許多推廣形式都建立在這一假定之上.然而,該假定與保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境存在較大差異,因?yàn)楸ｋU(xiǎn)實(shí)務(wù)中的索賠風(fēng)險(xiǎn)往往是相依的.例如,由傳染病所引起的醫(yī)療保險(xiǎn)或生命保險(xiǎn)、大霧天氣中的汽車保險(xiǎn)、汽車保險(xiǎn)與第3方責(zé)任險(xiǎn)以及位置相鄰的房屋保險(xiǎn)等.由于受共同因素或類似環(huán)境的影響,洪水、颶風(fēng)以及地震等巨災(zāi)索賠風(fēng)險(xiǎn)則具有更為明顯的正相依特征,這些相依風(fēng)險(xiǎn)往往會(huì)帶來(lái)大額乃至巨額索賠,如一次輸細(xì)管爆炸同時(shí)產(chǎn)生的企財(cái)險(xiǎn)、車險(xiǎn)、工程機(jī)械設(shè)備綜合險(xiǎn)以及意外傷亡險(xiǎn)的索賠,累計(jì)可達(dá)幾百萬(wàn)元甚至幾千萬(wàn)元;一次地震的發(fā)生則可能引起高達(dá)十多億元的各類賠付保險(xiǎn)金.如果能充分考慮風(fēng)險(xiǎn)之間的相依關(guān)系,恰當(dāng)?shù)匾栽俦ｋU(xiǎn)的方式分散風(fēng)險(xiǎn),則不僅能減輕政府財(cái)政負(fù)擔(dān),減少經(jīng)濟(jì)損失,還能增加保險(xiǎn)公司的業(yè)務(wù)量,提高承保能力[1].因此,正相依風(fēng)險(xiǎn)下,最優(yōu)再保險(xiǎn)策略以及相應(yīng)參數(shù)的確定,具有重要的研究意義.

自留額的確定是再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的核心之一,由于險(xiǎn)種的多樣化,每一險(xiǎn)種又有其自身的特點(diǎn),不同險(xiǎn)種自留額的高低也有所不同［2］.如果再考慮到風(fēng)險(xiǎn)的相依性,這將是一項(xiàng)非常復(fù)雜的工作.文獻(xiàn)[3]研究了索賠次數(shù)通過共同Poisson分布相依的雙險(xiǎn)種模型的最優(yōu)超額賠款再保險(xiǎn),得到了最大化期望指數(shù)效用和調(diào)節(jié)系數(shù)下的最優(yōu)自留額;文獻(xiàn)[4]考慮了以相同方式相依的兩風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn),得到了VaR標(biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)保留值及其存在條件;文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步研究了動(dòng)態(tài)環(huán)境中兩相依風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)再保險(xiǎn)問題;與文獻(xiàn)[3–5]中索賠次數(shù)的相依關(guān)系有所不同,文獻(xiàn)[6]研究了稀疏相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)超額賠款再保險(xiǎn),并在兩個(gè)經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)的假定下,給出了相應(yīng)的最佳自留額.然而,上述模型中兩種風(fēng)險(xiǎn)以及索賠額相互獨(dú)立的假定與實(shí)際仍難以吻合.由于數(shù)學(xué)處理上的困難,討論索賠額相依條件下更高維再保險(xiǎn)問題的文獻(xiàn)目前并不多見.其中,文獻(xiàn)[7]在n維風(fēng)險(xiǎn)下(n≥2),以依隨機(jī)序正相依(positively dependent through the stochastic ordering, PDS)的概念刻畫索賠額的相依性,證明了超額賠款條約為一個(gè)統(tǒng)一優(yōu)化準(zhǔn)則下的最優(yōu)再保險(xiǎn)形式,并指出,因?yàn)橄嘁里L(fēng)險(xiǎn)的復(fù)雜性,要獲得統(tǒng)一的n維風(fēng)險(xiǎn)模型中自留向量的顯式表達(dá)式比較困難,于是就n=2的情形給出了方差最小與期望指數(shù)效用最大這兩個(gè)準(zhǔn)則下的最優(yōu)自留額.

考慮到汽車保險(xiǎn)、旅游保險(xiǎn)、意外保險(xiǎn)、健康保險(xiǎn)以及財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)等多維風(fēng)險(xiǎn)的存在性(實(shí)際上,如果進(jìn)一步細(xì)分,一家保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)可達(dá)上百種),并注意到文獻(xiàn)[7]中求2維自留向量的方法難以推廣到n＞2的情形,本文應(yīng)用條件極值理論,在嚴(yán)格驗(yàn)證前提條件的基礎(chǔ)上,通過Lagrange乘子法,得到了n維自留向量所滿足的n個(gè)方程,從理論上解決了文獻(xiàn)[7]所述模型在一個(gè)統(tǒng)一優(yōu)化準(zhǔn)則下最優(yōu)再保險(xiǎn)條約中最優(yōu)自留向量的一般性方程組表示問題,同時(shí)應(yīng)用單側(cè)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]關(guān)于2維風(fēng)險(xiǎn)下最優(yōu)自留向量的結(jié)論.還在索賠額分布屬于常見的對(duì)數(shù)正態(tài)分布族時(shí),給出了依隨機(jī)序正相依的一個(gè)簡(jiǎn)單判斷條件,在方差最小的優(yōu)化準(zhǔn)則下,對(duì)n維自留向量所滿足方程組給予了進(jìn)一步推導(dǎo),得到了更易于求解的表示形式.考慮到風(fēng)險(xiǎn)相依常常是由于受到共同因素的影響所致,又特別假定索賠額通過一個(gè)共同的指數(shù)分布相依(此時(shí)必然依隨機(jī)序正相依),分別在方差最小與期望指數(shù)效用最大的優(yōu)化準(zhǔn)則下,對(duì)自留向量所滿足的方程組進(jìn)行了更為明確的表示,使之更便于獲得顯式解或應(yīng)用智能算法搜索近似解,并給出了具體示例,應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法,得到了自留向量的數(shù)值結(jié)果,以說(shuō)明所提方法的可行性.

2　再保險(xiǎn)模型

本文主要討論文獻(xiàn)[7]提出的n（＞2)維情形下超額賠款再保險(xiǎn)條約中最優(yōu)自留向量的確定問題,具體的模型表述見文獻(xiàn)[7]的第1節(jié)和第2節(jié),這里只做必要的分析介紹.

假定保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)n種業(yè)務(wù),由業(yè)務(wù)k產(chǎn)生的損失(索賠)為連續(xù)型隨機(jī)變量Xk,k=1，2，...，n,總損失記為Sn=X1+X2+···+Xn.為了應(yīng)對(duì)潛在的巨額損失,保險(xiǎn)公司對(duì)業(yè)務(wù)k應(yīng)用再保險(xiǎn)策略lk,自留風(fēng)險(xiǎn)為lk（Xk）,再保險(xiǎn)公司承擔(dān)剩余損失,其中函數(shù)lk（x）在x≥0上遞增且滿足0≤lk（x）≤x,k= 1，2，...，n.于是,原保險(xiǎn)公司自留總損失為

其中I=（l1，l2，...，ln）稱為n維再保險(xiǎn)條約.

文獻(xiàn)[7]使用一個(gè)統(tǒng)一的優(yōu)化準(zhǔn)則

其中u為凸函數(shù),并在索賠向量（X1，X2，...，Xn）依隨機(jī)序正相依時(shí),證明了超額賠款再保險(xiǎn)最優(yōu),即存在（d1，d2，...，dn）∈Rn,使得

值得注意的是,依隨機(jī)序正相依的概念對(duì)相依風(fēng)險(xiǎn)建模很有意義.實(shí)際上,在相依風(fēng)險(xiǎn),尤其是巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)中,損失的發(fā)生一般受到共同因素的影響,因此可視為同單調(diào)(comonotonic)的,另外,若已知任意k種經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)的損失較大(1≤k≤n）,則任意一種經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)損失較大的可能性也大,因此可視為條件遞增(conditionally increasing,CI)的,而依隨機(jī)序正相依包含了同單調(diào)及條件遞增等情形.直觀上說(shuō),如果某經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)損失已知的條件下,其他經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)損失大于任意給定值的可能性與已知值正相關(guān),則風(fēng)險(xiǎn)是依隨機(jī)序正相依的.關(guān)于依隨機(jī)序正相依(PDS)的精確數(shù)學(xué)定義可參見文獻(xiàn)[7–9]等.

不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)u（x）=x2,u（x）=eβx以及u（x）=-U（x）(β＞0,U（x）為凹效用函數(shù))均為凸函數(shù),可見優(yōu)化準(zhǔn)則(1)包含了自留損失的方差最小、期望指數(shù)效用最大以及凹期望效用最大等優(yōu)化準(zhǔn)則,所以式(2)意味著在這些準(zhǔn)則下,超額賠款再保險(xiǎn)條約都是最優(yōu)的.

至此,一個(gè)自然的問題是超額賠款條約中的自留向量該如何確定.實(shí)際上,為了確保保險(xiǎn)企業(yè)的財(cái)務(wù)穩(wěn)定性及其償付能力,許多國(guó)家將再保險(xiǎn)的自留額列為國(guó)家管理保險(xiǎn)業(yè)的重要內(nèi)容[10].然而,文獻(xiàn)[7]在確定最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的同時(shí),指出由于相依風(fēng)險(xiǎn)的復(fù)雜性,要獲得多維相依風(fēng)險(xiǎn)下自留向量的表達(dá)式比較困難,并就兩經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)(即n=2)的情形,分別給出了方差最小與期望指數(shù)效用最大準(zhǔn)則下自留向量的顯式表達(dá)式.研究發(fā)現(xiàn),2維風(fēng)險(xiǎn)下求自留向量的方法難以推廣到n＞2的場(chǎng)合.這主要是因?yàn)?在n=2的情形下,自留向量形如（d1，d2）,而由期望保費(fèi)原理知d2可看成d1的函數(shù)L（d1）,此時(shí)式(2)左邊的目標(biāo)函數(shù)退化為E［u（X1∧d1+X2∧L（d1））］,是d1的單變量函數(shù).于是,文獻(xiàn)[7]根據(jù)其右導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)判斷優(yōu)化目標(biāo)隨d1變化而遞增或遞減的趨勢(shì),從而獲得了最優(yōu)解的顯式表達(dá)式.顯然,該方法在n＞2的情形下不再適用.考慮到已知最優(yōu)策略為超額賠款條約,即那么尋求相應(yīng)準(zhǔn)則下的自留向量就相當(dāng)于在此約束下求解的最小值點(diǎn),從實(shí)際角度出發(fā),又知最小值必然存在.此時(shí),Lagrange乘子法是解決此類問題的有效方法之一,且不受變量維數(shù)的限制,同時(shí),可將問題轉(zhuǎn)化為由n個(gè)方程所構(gòu)成的方程組的求解.進(jìn)一步,在所得方程組難以獲得顯式解時(shí),還可結(jié)合現(xiàn)代智能優(yōu)化算法獲得數(shù)值解.

3　最優(yōu)自留向量的確定

對(duì)任意固定的ω∈Ω,ξ（ω，t1）關(guān)于t1的右導(dǎo)數(shù)存在,且

引理2函數(shù)φ有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

引理2是易見的,故略去其證明.

由引理1和引理2,用Lagrange乘子法,在約束條件的極小值,進(jìn)而得到結(jié)論如下.

其中

定理1的證明沒有用到（X1，X2，...，Xn）依隨機(jī)序正相依的條件.這表明無(wú)論各險(xiǎn)種之間具有怎樣的相依關(guān)系,就超額賠款再保險(xiǎn)條約的最優(yōu)自留向量而言,定理1總是成立的.如果Xk的分布已知,且各險(xiǎn)種間的相依結(jié)構(gòu)滿足依隨機(jī)序正相依的假定,根據(jù)文獻(xiàn)[7],在優(yōu)化準(zhǔn)則(1)下,超額賠款再保險(xiǎn)條約最優(yōu),而由定理1可得最優(yōu)自留向量所滿足的方程組.特別地,分別令u（x）=x2,eβx,-U（x）,其中β＞0，U＇＇（x）≤0,即可分別得到在保險(xiǎn)公司自留總損失方差最小、期望指數(shù)效用最大以及期望凹效用最大的優(yōu)化準(zhǔn)則下,最優(yōu)自留向量滿足的一般形式的必要條件,這就從理論上解決了文獻(xiàn)[7]所提出的多維正相依風(fēng)險(xiǎn)下自留向量的確定問題.后面的討論將進(jìn)一步表明,在給定索賠額的分布類型及相依結(jié)構(gòu)時(shí),方程組可進(jìn)一步具體化并可求解,這在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中是很有意義的.

文獻(xiàn)[7]定理4.4和定理4.5分別給出了n=2時(shí)自留損失方差最小與期望指數(shù)效用最大準(zhǔn)則下,最優(yōu)自留向量的顯式表達(dá)式,其中可能在一個(gè)矩形內(nèi)取值.與那里的證明方法有所不同,下面結(jié)合引理1并應(yīng)用單側(cè)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,說(shuō)明文獻(xiàn)[7]所述的矩形實(shí)際上為平面上的一個(gè)點(diǎn),并且該點(diǎn)與由定理1所得到的解是吻合的.

首先,當(dāng)保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)依隨機(jī)序正相依的兩業(yè)務(wù)并以穩(wěn)定性作為優(yōu)化目標(biāo)(即方差達(dá)到最小)時(shí),給出方差最小準(zhǔn)則下唯一最優(yōu)自留向量=的顯式表達(dá)式.

命題1設(shè)（X1，X2）是PDS的,滿足并對(duì)定義

則C（d1）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根且

證明由文獻(xiàn)[7]的引理4.1知,L（d1）連續(xù)可微,結(jié)合式(4)取u（x）=x2，n=2的情形,得到

式(13)用到了文獻(xiàn)[11]中定理2.4的(c).

因?yàn)镃（d1）連續(xù)且右導(dǎo)數(shù)大于零,由文獻(xiàn)[12]的定理1及其證明可知C（d1）關(guān)于d1嚴(yán)格遞增,并且由

然而,不難發(fā)現(xiàn)B（d1）=C（d1）,可見在n=2時(shí),命題1與定理1是相互吻合的.

當(dāng)n=2時(shí),在2維相依風(fēng)險(xiǎn)下,保險(xiǎn)公司要在超額賠款再保險(xiǎn)條約中實(shí)現(xiàn)效用最大化,即期望指數(shù)效用最大,由此得到唯一最優(yōu)自留向量的顯式表達(dá)式.有下列結(jié)論

命題2設(shè)（X1，X2）是PDS的,滿足E［exp（β（X1+X2））］＜∞,其中β＞0,且（d1，d2）∈,記定義

則T（d1）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根且

與文獻(xiàn)[7]將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)優(yōu)化問題,并通過右導(dǎo)數(shù)研究目標(biāo)函數(shù)變化趨勢(shì)的方法不同,本文采用的Lagrange乘子法不再受維數(shù)限制,從而獲得了n＞2維情形下,自留向量所滿足方程組的一般性表示,在包含文獻(xiàn)[7]主要結(jié)果的同時(shí),有了進(jìn)一步拓展.另外,在2維情形下,本文采用單側(cè)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性從而獲得的最優(yōu)解(命題1,命題2)較文獻(xiàn)[7]采用隨機(jī)比較方法判斷函數(shù)單調(diào)性(見文獻(xiàn)[7]的式(4.6))從而獲得的最優(yōu)解(定理4.4,定理4.5),既相互吻合又有了明顯的改進(jìn).當(dāng)然,相依風(fēng)險(xiǎn)是復(fù)雜的, 在n＞2維情形下,由定理1一般仍難獲得形如在n=2時(shí)給出的自留向量的顯式表達(dá)式,必要時(shí)需結(jié)合適當(dāng)?shù)闹悄芩惴ㄒ垣@得數(shù)值解.

鑒于依隨機(jī)序正相依結(jié)構(gòu)一般不易直接判定以及定理1所述方程組可能存在求解上的困難,下面就兩類具體的常見索賠分布類型、相依結(jié)構(gòu)以及優(yōu)化準(zhǔn)則,給出依隨機(jī)序正相依的判定方法,并對(duì)最優(yōu)自留向量所滿足的方程組給出更為具體的表示.

首先,假定索賠額分布屬于保險(xiǎn)精算中常見的對(duì)數(shù)正態(tài)分布族,給出依隨機(jī)序正相依的一個(gè)簡(jiǎn)單判斷條件,并在自留損失方差最小的優(yōu)化準(zhǔn)則下,對(duì)自留向量所滿足的方程組予以具體表示.這有利于保險(xiǎn)公司根據(jù)索賠數(shù)據(jù)分析相依結(jié)構(gòu),且更便于最優(yōu)自留向量的確定.

命題3設(shè)Xi服從參數(shù)為μi和的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,i=1，2，...，n,記（ln X1，ln X2，...，ln Xn）的協(xié)方差矩陣及其逆矩陣分別為如果對(duì)任意i/=j,αij≤ 0,則（X1，X2，...，Xn）是PDS的,若要自留損失的方差最小,則超額賠款再保險(xiǎn)條約最優(yōu),并且自留向量滿足方程組

證明記yi=ln Xi,則yi服從參數(shù)為μi和的正態(tài)分布,i=1，2，...，n,（y1，y2，...，yn）服從n維正態(tài)分布.因?yàn)椤?1滿足αij≤0,若i/=j,由文獻(xiàn)[13]知（y1，y2，...，yn）是MTP2(multivariate totally positive of order two)的,由文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步知（y1，y2，...，yn）是PDS的.因?yàn)楹瘮?shù)ex遞增,于是又由文獻(xiàn)[14]的命題2.13知（X1，X2，...，Xn）是PDS的.此時(shí),根據(jù)文獻(xiàn)[7],在自留損失方差最小的優(yōu)化準(zhǔn)則下,超額賠款再保險(xiǎn)條約最優(yōu).

將式(18)代入方程組(17)即知方程組(16)成立.證畢.

其次,考慮到風(fēng)險(xiǎn)相依常因受共同隨機(jī)源的影響所致,現(xiàn)假定某隨機(jī)源服從指數(shù)分布,索賠額通過該指數(shù)變量相依,證明此時(shí)的索賠向量必然依隨機(jī)序正相依,并分別在方差最小與期望指數(shù)效用最大的優(yōu)化準(zhǔn)則下,進(jìn)一步明確自留向量所滿足的方程組.這對(duì)保險(xiǎn)公司為相依風(fēng)險(xiǎn),特別是巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)建立模型并在再保險(xiǎn)條約中確定最佳自留額提供了一種思路及求解辦法.

命題4設(shè)Z，Z1，Z2，...，Zn分別服從均值為1/θ，1/θ1，1/θ2，...，1/θn的指數(shù)分布且相互獨(dú)立,其中θ，θk＞0,k=1，2，...，n.若Xk=Zk+Z,則（X1，X2，...，Xn）是PDS的.此時(shí),若要自留損失的方差E最小,或者期望指數(shù)效用最大,β＞0,則超額賠款再保險(xiǎn)條約均為最優(yōu)策略,并且,

當(dāng)θk=θ時(shí),Xk服從Gamma分布,k=1，2，...，n.

證明設(shè)ζ服從均值為1/δ的指數(shù)分布,密度函數(shù)記為g（·）.由文獻(xiàn)[15]知,對(duì)任意的δ＞0,g（·）為PF2 (P′olya frequency sequenceoforder2)函數(shù).由此可見,n維隨機(jī)向量（Z1，Z2，...，Zn）和（Z，Z，...，Z）的邊際密度均為PF2的.由PDS的定義,易知（Z1，Z2，...，Zn）和（Z，Z，...，Z）分別是PDS的,且顯然彼此獨(dú)立,于是由文獻(xiàn)[8]的定理5.2知（Z1+Z，Z2+Z，...，Zn+Z）,即（X1，X2，...，Xn）是PDS的.因此,根據(jù)文獻(xiàn)[7],在自留損失的方差最小與期望指數(shù)效用最大的優(yōu)化準(zhǔn)則下,超額賠款再保險(xiǎn)條約均為最優(yōu)策略.

根據(jù)（Z，Z1，Z2，...，Zn）的獨(dú)立性及連續(xù)型變量的全概率公式,有

將式(22)代入方程組(21)即知1)成立.

根據(jù)（Z，Z1，Z2，...，Zn）的獨(dú)立性及連續(xù)型變量的全概率公式,有

將式(24)代入方程組(23)即知2)成立.證畢.

如果保險(xiǎn)公司對(duì)n個(gè)依隨機(jī)序正相依的保單分別再保險(xiǎn),上述結(jié)論仍然成立.

4　算例與分析

由命題1和命題2可知,在2維情形下,命題4的方程組(19)和方程組(20)的唯一解存在顯式表達(dá)式,但對(duì)更高維的情形,一般很難得到.由此可以推知,定理1所給出的方程組并不總是存在顯式解的,有時(shí)需要結(jié)合智能算法試求數(shù)值解.為說(shuō)明數(shù)值解的可實(shí)現(xiàn)性,即更高維情形下利用定理1確定最優(yōu)自留向量的可行性,本部分針對(duì)5維情形,就命題4進(jìn)行示例,給出具體的數(shù)值結(jié)果.通過該示例,還可以觀察到最優(yōu)向量最小化方差與最大化指數(shù)效用的實(shí)際效果.

設(shè)保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)5種經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù),即在命題4中取n=5.以百萬(wàn)元為單位,設(shè)（Z，Z1，Z2，...，Z5）的均值向量為（4，2，5，6，8，10）,β=1/20.記（x1，x2，...，x5）=（86，112，131，172，213）,則對(duì)任意的k=1，2，...，5, Pr（Xk＞xk）≤10-9.據(jù)此并考慮到dk＞0的假定,給定dk,k=1，2，...，5的范圍分別為

如果所有業(yè)務(wù)均實(shí)施全額再保險(xiǎn),且安全附加系數(shù)為0.15,需要的分保費(fèi)為

假設(shè)原保險(xiǎn)公司愿意支付的費(fèi)用為30,即自留風(fēng)險(xiǎn)的期望值固定于

在上述給定參數(shù)下,觀察對(duì)應(yīng)的式(19)和式(20)發(fā)現(xiàn),這兩個(gè)方程組一方面可看成兩個(gè)難以獲得顯式解的優(yōu)化問題,可以借助智能算法搜索近似解,另一方面又都較為復(fù)雜,尤其是含有大量的積分運(yùn)算,需要一種能快速迭代的算法加以實(shí)現(xiàn).此時(shí),若綜合考慮尋優(yōu)效果及尋優(yōu)速度,粒子群智能優(yōu)化算法是一種較好的選擇,因?yàn)樗菀讓?shí)現(xiàn)、收斂快且精度較高,還可通過當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值尋找全局最優(yōu)解以防止局部最優(yōu)情形的出現(xiàn).因此,下面引入這一算法,其中適應(yīng)函數(shù)選定為相應(yīng)方程組中各個(gè)方程兩邊之差的絕對(duì)值之和.運(yùn)用MATLAB R2012a,運(yùn)行求解程序50次1為進(jìn)一步防止局部最優(yōu)點(diǎn)的出現(xiàn),確保所得結(jié)果為最值點(diǎn),這里選擇較多次運(yùn)行.,在總誤差0.01下得到數(shù)值解

此時(shí)自留損失的方差為19.0436.同樣運(yùn)用MATLABR2012a,在總誤差0.02下得到數(shù)值解

此時(shí)自留損失的期望指數(shù)效用為-3.5517.

類似地,在給定μi，σi及ρij,i，j=1，2，...，n的條件下,方程組(16)也可以通過粒子群算法獲得數(shù)值解.

若將適應(yīng)函數(shù)修改為相應(yīng)方程組式(19)和式(20)中最后一個(gè)方程兩邊差的絕對(duì)值,即只要求滿足保費(fèi)原則,分別運(yùn)行程序20次,所得結(jié)果對(duì)應(yīng)的方差值均大于19.0436,有的達(dá)到199.6005;效用值均小于-3.5517,有的達(dá)到-4.9894,這進(jìn)一步表明式(25)和式(26)均為最優(yōu)解并且對(duì)于最小化方差和最大化效用具有顯著的效果,在保障巨額損失的同時(shí),有益于維護(hù)保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性與提高滿意程度.

從式(25)和式(26)可以看出,d1，d2，...，d5的取值都比較適中,這與本示例中自留風(fēng)險(xiǎn)的固定值,或等價(jià)地,原保險(xiǎn)公司愿意支付的分保費(fèi)接近全額再保險(xiǎn)所需費(fèi)用一半的約定相一致,同時(shí)易見,對(duì)相對(duì)較大的風(fēng)險(xiǎn),自留額也較大,這與自留風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)遞增的假定相吻合.

為了更直觀形象地說(shuō)明前述最優(yōu)自留向量確定方法和結(jié)論、智能算法和數(shù)值結(jié)果的合理性,以及在最小化方差、最大化滿意程度等方面的有效程度,最后,以2維情形為例,應(yīng)用MATLAB軟件分別繪制出期望保費(fèi)原則下,自留損失的方差與效用隨自留額變化的趨勢(shì)圖.

取ζ1，ζ2分別為上述示例中的X1，X2,即ζ1=Z1+Z,ζ2=Z2+Z,設(shè)自留風(fēng)險(xiǎn)的期望值固定于9.由此,先利用MATLAB軟件繪制出條件函數(shù)φ（d1，d2）的3維圖,記為G.記此條件下以自留向量為自變量的方差函數(shù)為g1（d1，d2）,利用MATLAB軟件繪制出g1（d1，d2）的3維圖G1.合并G和G1得如下圖1.

圖1　2維PDS風(fēng)險(xiǎn)與期望值分保費(fèi)下自留損失的方差Fig.1　Variance of retained lossunder two-dimensional PDS risksand expected reinsurance prem ium

類似地,記此時(shí)的期望指數(shù)效用為g2（d1，d2）,同樣利用MATLAB軟件繪制出g2（d1，d2）的3維圖G2.合并G和G2得如下圖2.

圖1、圖2中的豎直側(cè)面均表示G,另外兩個(gè)曲面分別為G1和G2,兩條相交的空間曲線的高度則分別表示著方差和指數(shù)效用的大小.由G可見自留額d2(或d1)隨著另一自留額d1(或d2)的增大而減少;由圖1可見G與G1相交曲線的高度,即方差,沿著G隨任一自留額di的增大先下降而后上升,并存在唯一最低點(diǎn),i=1，2.記此時(shí)的自留向量為）,這就是方差最小準(zhǔn)則下的最優(yōu)自留向量;由圖2可見,G與G2相交曲線高度,即指數(shù)效用,沿著G隨任一自留額di的增大先上升而后下降,并存在唯一最高點(diǎn),i=1，2.記此時(shí)的自留向量為,這就是指數(shù)效用最大準(zhǔn)則下的最優(yōu)自留向量.實(shí)際上,如果將方程組式(1 9)和式(20)退化到2維情形,同樣應(yīng)用粒子群算法,可得方差最小與效用最大準(zhǔn)則下的最優(yōu)自留向量分別為對(duì)應(yīng)的方差和效用分別為6.4534和-1.5804.不難發(fā)現(xiàn),圖1、圖2所顯示的直觀結(jié)果與命題1、命題2以及由本文提出的方程組表示并通過智能算法所實(shí)現(xiàn)的數(shù)值結(jié)果都是吻合的.另一方面,由圖1還知,在滿足保費(fèi)原則下,最優(yōu)自留向量能明顯地最小化自留風(fēng)險(xiǎn)的方差,使原保險(xiǎn)公司所面對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)最為穩(wěn)定;由圖2還知,最優(yōu)自留向量也能很好的最大化自留風(fēng)險(xiǎn)的期望指數(shù)效用,使保險(xiǎn)公司在超額賠款再保險(xiǎn)條約中獲得最大的滿意程度.

圖2　2維PDS風(fēng)險(xiǎn)與期望值分保費(fèi)下自留損失的效用Fig.2　Utility of retained lossunder two-dimensional PDS risksand expected reinsurance prem ium

5　結(jié)束語(yǔ)

保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中尤其是巨災(zāi)環(huán)境下,保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)往往是相依的,對(duì)承保標(biāo)的大,風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)也大的保險(xiǎn)公司而言,相依風(fēng)險(xiǎn)往往還會(huì)帶來(lái)巨額損失,有必要實(shí)施再保險(xiǎn).然而,由于相依風(fēng)險(xiǎn)的復(fù)雜性,再保險(xiǎn)條約中的最優(yōu)自留向量一般難以確定.本文在文獻(xiàn)[7]提出的依隨機(jī)序正相依風(fēng)險(xiǎn)下,應(yīng)用相對(duì)極值理論,解決了超額賠款再保險(xiǎn)這一最優(yōu)再保險(xiǎn)形式中自留向量所滿足方程組的表示問題,同時(shí)應(yīng)用單側(cè)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,證明了2維情形下最優(yōu)解的取值范圍(矩形)為平面上的一個(gè)點(diǎn),解決了最優(yōu)解的唯一性問題.在索賠額分布屬于常見的對(duì)數(shù)正態(tài)分布族時(shí),文章給出了依隨機(jī)序正相依的一個(gè)簡(jiǎn)單判斷條件,同時(shí)考慮到相依風(fēng)險(xiǎn)的特征,在索賠額通過一個(gè)共同的指數(shù)分布相依時(shí),對(duì)自留向量所滿足的方程組給出了更為明確的表達(dá)式,使之更易于求解.研究表明,前述方程組在2維情形下的解具有顯式表達(dá)式,對(duì)更高維的情形,文章通過具體示例并應(yīng)用粒子群優(yōu)化算法,得到了有效數(shù)值解.由此可見,本文所述方法是可行的,為保險(xiǎn)公司在再保險(xiǎn)條約中合理確定自留額,維護(hù)公司經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性,以及盡可能提高再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的滿意度提供了一種思路與方法.

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Determ ination of optimal retention vector inmulti-dimensional positively dependent reinsurance treaty

Zhang Jiesong1，2,Xiao Qingxian1
(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai200093,China;
2.SchoolofMathematical Sciences,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei235000,China)

To explore the optimal retentions in reinsurance business with multi-dimensional,positively dependent risks,according to the theory of relative extreme value,a generalequations setwhich optim izes the retention vectorswith optimality through convex order isgiven.In the two-dimension case,by using one-sided derivative to judge themonotonicity of a function,the explicit expressions for the optimal solutions are obtained,and it is found that the rectangle region in which theymay locatemustbe ata pointon the plane.For the high-dimension case,equations easier to solve are given under two particular criteria ofminim izing the varianceormaximizing the expected exponentialutility of retained risks,assum ing that claim sizesare positively dependentthrough the stochastic orderingwhen the distributionsbelong to the fam ily of log normal,and that the claim sizes depending via a common exponential random variable,respectively.Finally,a numerical example is provided to illustrate the feasibility and validity of determ ining theoptimal retention vectorby the resulting equations.

dependentrisks;catastrophe reinsurance;retention vector;utility;PDS

F840,O211.9

A

1000-5781(2016)02-0214-13

10.13383/j.cnki.jse.2016.02.007

2014-10-23;

2015-12-24.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171221);安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目(gxyqZD2016104);安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究資助項(xiàng)目(KJ2014B18).

張節(jié)松(1981—),男,安徽安慶人,博士生,研究方向:金融風(fēng)險(xiǎn)管理,保險(xiǎn)數(shù)學(xué),Email:j s zhang@126.com;

肖慶憲(1956—),男,河南信陽(yáng)人,博士,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向:金融工程,過程統(tǒng)計(jì),Email:qxxiao@163.com.