基于羅爾定理的兩個(gè)積分中值問(wèn)題

許宏文

(牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江牡丹江157012)

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基于羅爾定理的兩個(gè)積分中值問(wèn)題

許宏文

(牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江牡丹江157012)

以變上限積分函數(shù)為紐帶,建立了微分中值問(wèn)題與積分中值問(wèn)題的聯(lián)系,構(gòu)造相應(yīng)輔助多項(xiàng)式,應(yīng)用羅爾定理,證明兩個(gè)帶有二階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題.

羅爾定理； 輔助多項(xiàng)式； 變上限積分函數(shù)； 積分中值問(wèn)題

1　引　　言

積分不等式的建立與積分估計(jì)是一元函數(shù)積分學(xué)部分的重要問(wèn)題之一，在分析學(xué)中有著重要意義，這是因?yàn)樵诤瘮?shù)空間框架下的一些范數(shù)估計(jì)都與各種積分不等式的建立、積分估計(jì)相關(guān).而建立相應(yīng)的積分中值問(wèn)題恰好是積分估計(jì)的有效方法，多年來(lái)積分中值問(wèn)題在研究生入學(xué)考試試題中一直備受關(guān)注，2010年南京大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析第九題涉及如下的積分中值問(wèn)題，記為定理1

定理1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù), 則存在ξ∈(a,b)使得下式成立

(1)

特別地，若f(a)=f(b)=0，則存在ξ∈(a,b)使得

(2)

在文獻(xiàn)[1]中第242頁(yè)有如下帶有二階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題，本文記為定理2

(3)

(4)

事實(shí)上借用變上限積分函數(shù)及其性質(zhì)(見(jiàn)文獻(xiàn)[2]296頁(yè))，上述兩個(gè)帶有二階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題分別與下面兩個(gè)帶有三階導(dǎo)數(shù)的微分中值問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，分別記為命題1和命題2.

命題1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有三階導(dǎo)數(shù)，則存在ξ∈(a,b)使得

當(dāng)f′(a)=f′(b)=0時(shí)，結(jié)論變?yōu)?/p>

命題2設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有三階導(dǎo)數(shù)，則存在ξ∈(a,b)使得

另外，2011年吉林大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析第四題涉及用定理3刻畫(huà)的積分中值問(wèn)題，如下

定理3設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo), 則存在ξ∈(a,b)使得下式成立

特別地，若f(a)=0，則存在ξ∈(a,b)使得

與定理3對(duì)應(yīng)的恰好是泰勒定理([2]定理5.3.2)，本文不再列出.

除前文列出的這樣相互對(duì)應(yīng)的三組積分中值問(wèn)題與微分中值問(wèn)題外，還有很多帶有更高階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題與微分中值問(wèn)題相互對(duì)應(yīng)，這里不再一一列舉.變上限積分函數(shù)作為連接微分學(xué)與積分學(xué)的紐帶和橋梁，搭建了微分與積分的關(guān)系.微分中值定理作為處理微分中值問(wèn)題的有效工具，同時(shí)也成為了處理積分中值問(wèn)題和積分估計(jì)的有效手段，可見(jiàn)文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4].本文應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中證明微分中值問(wèn)題的輔助多項(xiàng)式法，應(yīng)用羅爾定理分別給出定理1和定理2的巧妙的證明.

2　兩個(gè)帶有二階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題的證明

綜觀文獻(xiàn)[5]中證明微分中值問(wèn)題的輔助多項(xiàng)式法可知，想構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助多項(xiàng)式應(yīng)用羅爾定理來(lái)證明微分中值問(wèn)題，可實(shí)現(xiàn)的前提是知道欲研究的函數(shù)在某些特定點(diǎn)的函數(shù)值或?qū)?shù)在某些點(diǎn)的值.但對(duì)定理1和定理2的一般情形，欲研究函數(shù)的信息過(guò)少，所以構(gòu)造輔助多項(xiàng)式是困難的.本文，我們首先來(lái)證明定理1與定理2的特殊情形，即(2)式與(4)式成立，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)來(lái)證明其一般情形(1)式與(3)式成立.

證令

此時(shí)欲證明的積分中值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了微分中值問(wèn)題

由變上限積分函數(shù)的性質(zhì)可知，F(xiàn)三次可導(dǎo)，且有

F(a)=F′(a)=F′(b)=0.

想構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)G(x)=F(x)-P(x)，其中P(x)為三次多項(xiàng)式，使得G(x)滿足

G(a)=G(b)=G′(a)=G′(b)=0,

(5)

則P(x)滿足P(a)=P′(a)=P′(b)=0，P(b)=F(b). 因P(a)=P′(a)=0，可令

P(x)=(x-a)2(Ax+B).

由P(b)=F(b)和P′(b)=0有

(b-a)2(Ab+B)=F(b),2(Ab+B)+A(b-a)=0,

解得

至此找到了需要的輔助多項(xiàng)式

輔助函數(shù)G(x)=F(x)-P(x)滿足(5)式，在區(qū)間[a,b]上對(duì)函數(shù)G(x)應(yīng)用羅爾定理,存在η∈(a,b)使得G′(η)=0，注意到G′(a)=G′(b)=0，對(duì)函數(shù)G′(x)在區(qū)間[a,η]和[η,b]上繼續(xù)使用羅爾定理有，存在ξ1∈(a,η)和ξ2∈(η,b)使

G″(ξ1)=G″(ξ2),

對(duì)函數(shù)G″(x)在區(qū)間[ξ1,ξ2]上使用羅爾定理有，存在ξ∈(ξ1,ξ2)使得

(6)

即

注意到(6)式，所構(gòu)造的輔助多項(xiàng)式的三次導(dǎo)數(shù)與問(wèn)題相關(guān)，而輔助多項(xiàng)式中的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)對(duì)問(wèn)題的解決是沒(méi)有影響的，待定常數(shù)B只與這些無(wú)關(guān)項(xiàng)相關(guān)，所以在計(jì)算過(guò)程中，只需計(jì)算出A的值，而無(wú)須計(jì)算B.

下面證明定理1的一般情形，即(1)式成立.

定理1(1)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù), 則存在ξ∈(a,b)使得

證令

顯然，g(x)在[a,b]上滿足g″(x)=f″(x)，g(a)=g(b)=0. 應(yīng)用證畢的結(jié)論有

(7)

而

(8)

聯(lián)立(7)與(8)有

下面證明定理2.依然先來(lái)證明其特殊情形(4)式.

且有

我們想構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)G(x)=F(x)-P(x)，其中P(x)為三次多項(xiàng)式, 使得G(x)滿足

(9)

則P(x)滿足

(10)

由(10)式可令

解得

G′(η1)=G′(η2)=0，

G″(ξ1)=G″(ξ2).

對(duì)函數(shù)G″(x)在區(qū)間[ξ1,ξ2]上使用羅爾定理有，存在ξ∈(ξ1,ξ2)使得

即

下面運(yùn)用定理2的特殊情形(4)式，來(lái)證明定理2的一般情形(3)式成立.

應(yīng)用(4)有

所以

對(duì)于本文給出的帶有一階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題，即定理3，讀者可用同樣的方法給出證明，證明過(guò)程中，只需構(gòu)造一個(gè)二次多項(xiàng)式即可.

3　總　　結(jié)

定理1和定理2的證明思路是引入變上限積分函數(shù)，把帶有二階導(dǎo)數(shù)的積分中值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶有三階導(dǎo)數(shù)的微分中值問(wèn)題，輔助函數(shù)選擇輔助多項(xiàng)式與變上限積分函數(shù)的差，反復(fù)應(yīng)用羅爾定理使問(wèn)題得證.值得注意的是，就定理1與定理2的一般形式來(lái)講，直接構(gòu)造由變上限積分函數(shù)與輔助多項(xiàng)式和的形式的輔助函數(shù)，應(yīng)用羅爾定理來(lái)證明是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的.本文的巧妙之處在于考慮定理1和定理2的特殊情形，引入變上限積分函數(shù)，此時(shí)變上限積分函數(shù)的信息足夠多，通過(guò)這些信息實(shí)現(xiàn)需要的輔助多項(xiàng)式的構(gòu)造.對(duì)于兩個(gè)更一般的積分中值問(wèn)題，即定理1與定理2的一般情形，作為特殊情形的推論，再構(gòu)造新的輔助函數(shù)，應(yīng)用特殊情形的結(jié)論加以證明.

[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京:高等教育出版社, 2006：242-243.

[2]陳紀(jì)修, 於崇華, 金露.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京:高等教育出版社, 2004：168-296.

[3]趙顯曾.兩個(gè)積分不等式[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2015,31(1): 78-80.

[4]鄭權(quán).基于微分中值定理證明微積分基本公式和積分中值定理[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2003,19(6): 78-80.

[5]陳飛翔,馮玉明,劉金奎.證明微分中值問(wèn)題的輔助多項(xiàng)式法[J].高等數(shù)學(xué)研究, 2010,13(5): 30-31.

Two Integral Mean Value Problems Based on Rolle Theorem

XU Hong-wen

(Institute of Mathematics, Mudangjiang Normal University, Mudanjiang Heilongjiang 157012, China)

We establish the relation between the differential and integral mean value problems by using the integration with varying upper bound. Then we construct the corresponding auxiliary polynomial and ap-ply Rolle theorem to solve two mean value problems with second-order derivatives.

Rolle theorem; auxiliry polynomial; integration with varying upper bound; integral mean value problem

2015-06-19；[修改日期]2016-05-13

2013年黑龍江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(省文序號(hào)497)

許宏文(1974-),女, 博士, 副教授, 從事微分包含定性理論研究. Email:xhwmdj@163.com

O175.2

C

1672-1454(2016)04-0073-05