實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化中正交矩陣的初等變換求法

陳　亮，　杜翠真，　高　勤

(1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000；2.淮北師范大學(xué)信息學(xué)院數(shù)學(xué)系2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，安徽淮北235000)

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實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化中正交矩陣的初等變換求法

陳亮1，杜翠真1，高勤2

(1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000；2.淮北師范大學(xué)信息學(xué)院數(shù)學(xué)系2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，安徽淮北235000)

對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化過程中正交矩陣的求解方法進(jìn)行了研究，給出了利用初等變換求解正交矩陣的方法，該方法不需要通過特征方程求解特征值與特征向量，僅僅使用初等變換和Schmidt正交化方法.

對(duì)稱矩陣； 對(duì)角化； 正交變換； 初等變換

1　引　　言

實(shí)對(duì)稱矩陣是一類應(yīng)用廣泛的矩陣，很多科學(xué)問題的求解都離不開實(shí)對(duì)稱矩陣.而實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化問題，是個(gè)非常重要的問題，因?yàn)檎粚?duì)角化具有很多優(yōu)越的性質(zhì).比如正交變換不改變向量的范數(shù)，這個(gè)性質(zhì)在物理學(xué)中有很大用處，物理學(xué)中的坐標(biāo)系變換都使用正交變換，相對(duì)論中的變換也參考了正交變換的形式.再比如，正交對(duì)角化的計(jì)算量較小，變換矩陣很容易得到等.

對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化的求解，一般采取的方法是先求解出n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值，然后根據(jù)特征值，利用Schmidt正交化方法求出n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量，從而得到實(shí)對(duì)稱矩陣A的對(duì)角形，并得到所使用的正交變換[1-2].另外很多文獻(xiàn)[3-7]也對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化方法做了大量的介紹.本文介紹了一種利用初等變換求解實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化中正交矩陣的方法，在初等變換的過程中，不需要通過特征方程求解特征值與特征向量，只利用我們熟知的初等變換和Schmidt正交化方法即可得到正交變換.

2　理論依據(jù)

為了敘述方便，假定本文進(jìn)行的探討均在實(shí)數(shù)域內(nèi).

引理2[1]矩陣A可逆的充分必要條件是它能表示成一系列初等矩陣的乘積.

由于正交矩陣T是可逆的，且其逆矩陣T-1=T′也為正交矩陣，所以對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在一系列初等矩陣P1,P2,…,Pm，使得

T=P1P2…Pm，

(1)

注意到，初等矩陣的逆矩陣仍然是初等矩陣[2]，且

P(i,j)-1=P(i,j)，P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j(k))-1=P(i,j(-k))

上面的討論提示了一種將對(duì)稱矩陣對(duì)角化的方法.設(shè)A為一n階實(shí)對(duì)稱矩陣，存在一系列初等矩陣，使得

(2)

記B=Q1Q2…Qt，則B可表示為

B=EnQ1Q2…Qt.

(3)

由(2)，(3)知，如果用一系列初等列變換和相應(yīng)的逆初等行變換把對(duì)稱矩陣A對(duì)角化，那么對(duì)單位陣En實(shí)行同樣的初等列變換，就可以得到變換矩陣B.即

(4)

為了得到正交矩陣(變換)T，需要利用Schmidt正交化方法，將變換矩陣B化為正交矩陣T.由于實(shí)對(duì)稱矩陣存在重根的情形，且屬于不同特征值的特征向量正交，因此，這里我們只討論存在一個(gè)n-1重特征值的情形，其余情形可以類推得到.

在使用Schmidt正交化方法的過程中，仍然是對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換.

綜合以上情形，得到利用初等變換法求解實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化中正交矩陣的方法

(5)

同理，也可得到初等行變換求對(duì)角化中正交矩陣的方法

(6)

需要注意的是，(5)式在對(duì)變換矩陣正交化時(shí)，只能對(duì)下端矩陣的列向量進(jìn)行Schmidt正交化，而(6)式中，只能對(duì)右端變換矩陣的行向量進(jìn)行Schmidt正交化.

3　例　　題

下面利用初等變換法求解實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化中的正交矩陣.

解法一利用初等列變換(5)式求解對(duì)角化中的正交矩陣，這里采取先進(jìn)行初等列變換，再進(jìn)行相應(yīng)的逆初等行變換的順序.由

解法二利用初等行變換(6)式求解對(duì)角化中的正交矩陣，這里我們采取先進(jìn)行初等行變換，再進(jìn)行相應(yīng)的逆初等列變換的順序.由

解法三利用初等行變換(6)式求解對(duì)角化中的正交矩陣，此時(shí)采取先進(jìn)行初等列變換，再進(jìn)行相應(yīng)的逆初等行變換的順序.由

注由于法一與法二求解順序及初等變換的過程相同，所以得到的正交矩陣也相同，而法三采取了與法二不同的求解順序，所以得到了與法二不同的正交矩陣.從而說明，當(dāng)采用了不同的初等變換順序時(shí)，可能會(huì)得到不同的正交矩陣，這在理論上仍然是成立的.

4　結(jié)　　論

通過例題可以看出，對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的初等變換法，規(guī)避了常規(guī)對(duì)角化過程中求解特征多項(xiàng)式和多次求解線性方程組的過程，只利用我們熟知的初等變換和Schmidt正交化方法即可得到正交變換.

說明本文的思路源于畢業(yè)論文的指導(dǎo)過程，感謝張?jiān)聘苯淌趨⑴c討論.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組，王萼芳，石生明，修訂.高等代數(shù) [M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù) [M].5版.北京：高等教育出版社，2012.

[3]雷英果.相似變換陣與合同變換陣的初等變換求法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2001，17(2)：77-80.

[4]黎前修.用矩陣初等變換將矩陣對(duì)角化的方法[J].渝西學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，15(1)：40-44.

[5]張立卓.關(guān)于矩陣對(duì)角化的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30(6)：74-78.

[6]付立志，楊慶璽.對(duì)稱矩陣對(duì)角化的正交變換模型[J].河南科學(xué)，2008，26(2)：135-137.

[7]劉學(xué)鵬.特殊矩陣的特殊對(duì)角化方法研究[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21(5)：112-115.

An Elementary Transformation Method for Orthogonal Matrix in Solving Diagonalization of Real Symmetric Matrices

CHEN Liang1,DU Cui-zhen1,GAO Qin2

(1. School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 23500, China；2. Grade 2011, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Information College,Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 23500,China)

A method by using elementary transformation for orthogonal matrix in diagonalizing real symmetric matrices is mainly introduced in this paper, which does not require eigenvalue and eigenvector by solving characteristic equation, only using elementary transformation and Schmidt orthogonalization.

symmetric matrix; diagonalization; orthogonal transformation; elementary transformation

2015-07-23；[修改日期]2016-04-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61300048)；安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1308085QF117，1508085MA14)；安徽省高校省級(jí)自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2014A223)；2014年安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃；安徽省高等教育振興計(jì)劃重大教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2014ZDJY058)；安徽省教育廳質(zhì)量工程項(xiàng)目(2012GXK058)；淮北師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(JY13231,JY14148)

陳亮(1977-)，男，博士，副教授，從事數(shù)值計(jì)算研究.Email:clmyf2@163.com

O151

C

1672-1454(2016)04-0068-05