曲線積分的換元法

寧榮健，　彭凱軍

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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曲線積分的換元法

寧榮健，彭凱軍

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

給出了曲線積分的換元法，豐富了曲線積分的計(jì)算方法.

曲線積分； 換元法； 平面曲線； 空間曲線； 變換

1　問題的提出

在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，分別介紹了定積分的換元法和重積分的換元法，那么曲線積分是否有換元呢？理論上說應(yīng)該是可以肯定的，但是具體涉及到兩類曲線積分，其換元法分別是什么？下面我們來具體討論.

2　主要結(jié)論

定理1(對(duì)弧長的平面曲線積分換元法)設(shè)平面曲線L的方程為φ(x,y)=0，變換

將uOv平面上的平面曲線L′一對(duì)一地變?yōu)閤Oy平面上的L，其中φ(x,y)在L上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x(u,v),y(u,v)在L′上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

f(x,y)在L上連續(xù).則

解法一將曲線L的方程轉(zhuǎn)化為(x-2y)2+y2=1.令x-2y=cost,y=sint,得L的參數(shù)方程為

故

令φ(x,y)=x2-4xy+5y2-1，故φ′1=2x-4y,φ′2=-4x+10y，所以

且L′:u2+v2=1，故利用定理1得

I=∫L′dsuv=L′的弧長=2π.

推論1在定理1中，如果J為正交矩陣，則

∫Lf(x,y)ds=∫L′f(x(u,v),y(u,v))dsuv.

與定理1相仿，有

定理2(對(duì)弧長的空間曲線積分換元法)設(shè)空間曲線Γ的方程為

變換

將O-uvw空間中的曲線?！湟粚?duì)一地變?yōu)镺-xyz空間中的Γ，其中φ(x,y,z)，ψ(x,y,z)在Γ上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在?！渖暇哂幸浑A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記G(x,y,z)=gradφ(x,y,z)×gradψ(x,y,z),如果

f(x,y,z)在Γ上連續(xù).則

其中

推論2在定理2中，如果J為正交矩陣，則

∫Γf(x,y,z)ds=∫?！鋐(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))dsuvw.

下面給出對(duì)坐標(biāo)的曲線積分換元法.

定理4(對(duì)坐標(biāo)的空間曲線積分換元法)設(shè)Γ為空間有向光滑曲線，起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B.變換

∫ΓPdx+Qdy+Rdz

注在定理3中，如果L為有向封閉曲線，則在L上任取三點(diǎn)A,B和C，將L分為三個(gè)有向線段L1,L2和L3，其中L1的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B；L2的起點(diǎn)為B，終點(diǎn)為C，L3的起點(diǎn)為C，終點(diǎn)為A.在變換

下，L變?yōu)長′，A,B,C分別變?yōu)锳′,B′,C′，L1,L2,L3分別變?yōu)長′1,L′2,L′3，其中L′1的起點(diǎn)為A′，終點(diǎn)為B′；L′2的起點(diǎn)為B′，終點(diǎn)為C′，L′3的起點(diǎn)為C′，終點(diǎn)為A′，并由此確定L′的方向.

在定理4中，如果Γ為有向封閉曲線，則可運(yùn)用同樣的方法確定L′的方向.

若從z軸正向向原點(diǎn)看去，Γ為逆時(shí)針方向.

又Σ在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)闄E圓區(qū)域Dxy:2x2+2y2+2xy-2x-2y≤0.作正交變換

解法二采用變換思想，利用定理4計(jì)算此積分.

由于空間曲線Γ位于平面x+y+z=1上，因此通過變換將平面x+y+z=1變換為O-uvw空間中的平行于uOv坐標(biāo)面的平面.因?yàn)閤+y+z=1的法向量為{1,1,1}，由此構(gòu)造正交向量組{1,-1,0}，{1,1,-2}，{1,1,1}，再單位化后得

故作正交變換

3　小　　結(jié)

曲線積分的換元法進(jìn)一步完善了曲線積分的理論，豐富了曲線積分的計(jì)算方法.尤其是當(dāng)平面曲線為二次曲線，且其方程不是標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，可通過變換將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型后，運(yùn)用定理1或定理3簡化曲線積分計(jì)算.當(dāng)空間曲線為柱面(母線未必平行于坐標(biāo)軸)、旋轉(zhuǎn)曲面(對(duì)稱軸未必平行于坐標(biāo)軸)、二次曲面(其方程未必為標(biāo)準(zhǔn)型)與平面(未必平行于坐標(biāo)面)的交線時(shí)，可通過變換將其轉(zhuǎn)化為平行于坐標(biāo)面的平面曲線，且其方程為標(biāo)準(zhǔn)型后，運(yùn)用定理2或定理4計(jì)算曲線積分.

需要指明的是，在運(yùn)用對(duì)坐標(biāo)的曲線積分換元法時(shí)，確定變換后曲線的方向是一件非常重要，也具有一定難度的事情.

對(duì)于曲面積分的換元法，我們另有討論.

[1]朱士信、唐爍、寧榮健、任蓓、鄭靖波，高等數(shù)學(xué)(下)[M].北京：高等教育出版社，2015:175-188.

A Substitution Method of Curve Integral

NING Rong-jian ,PENG Kai-jun2

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

A substitution method of curve Integral is presented, the method enrich the calculation method of curve integral.

curvilinear integral; substitution method; plane curve; space curve; transformation

2016-05-11；[修改日期]2016-06-12

安徽省重大教學(xué)改革項(xiàng)目(2015zdjy020)；受“高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心”資助

寧榮健(1962-)，男，副教授，從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，Email:nrjian@126.com

彭凱軍(1979-)，男，講師，從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究，Email:lxy_pkj@126.com

O13； O172.2

C

1672-1454(2016)04-0062-06