曾文憲,方 興,劉經南,2,姚宜斌
1. 武漢大學測繪學院,湖北 武漢 430079; 2. 武漢大學衛(wèi)星導航定位技術研究中心,湖北 武漢 430079
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通用EIV平差模型及其加權整體最小二乘估計
曾文憲1,方興1,劉經南1,2,姚宜斌1
1. 武漢大學測繪學院,湖北 武漢 430079; 2. 武漢大學衛(wèi)星導航定位技術研究中心,湖北 武漢 430079
Foundationsupport:TheNationalNaturalScienceFoundationofChina(Nos. 41404005;41474006;41231174;41274022 );TheFundamentalResearchFoundsfortheCentralUniversities(No. 2042016kf0175)
以平差基本理論為基礎,提出了EIV(errors-in-variables)平差模型的通用形式,涵蓋了間接平差、條件平差、附有參數(shù)的條件平差及附有限制條件的間接平差等基本EIV模型形式。基于整體最小二乘估計準則,研究了通用EIV模型的加權整體最小二乘算法,并推導了估計結果的近似精度公式。通用EIV模型及其整體最小二乘算法是對EIV模型估計理論的進一步完善,統(tǒng)一的整體最小二乘算法有利于軟件的編程實現(xiàn),有助于推動EIV模型估計理論的應用。
通用EIV平差模型;加權整體最小二乘算法;估計精度;非線性最優(yōu)化算法
經典平差模型的通用形式涵括了條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差及附有限制條件的間接平差等基本平差模型[1]。假定觀測向量含隨機誤差,參數(shù)的系數(shù)矩陣為固定量,采用最小二乘估計(leastsquares,LS)準則可求得上述4類基本平差模型以及通用平差模型的最優(yōu)無偏解。最小二乘估計理論是數(shù)據處理的基本方法之一,在大地測量等眾多科學研究和工程領域應用廣泛。
隨著現(xiàn)代各專業(yè)領域對模型和數(shù)據精度要求的不斷提高,當平差模型參數(shù)的系數(shù)矩陣包含隨機誤差(errors-in-variables,EIV)時,最小二乘估計有偏[2]。文獻[3]首次將最小二乘估計準則擴展至整體最小二乘估計(totalleastsquares,TLS),即同時顧及所有觀測數(shù)據(觀測向量和系數(shù)矩陣)的隨機誤差。文獻[2]證明了EIV模型的TLS解具有漸進無偏性,理論上要優(yōu)于LS解。假定權矩陣為對角陣的情況下,文獻[4]通過線性化首次推導了統(tǒng)計意義上的加權整體最小二乘算法(weightedtotalleastsquares,WTLS),文獻[5]采用拉格朗日乘數(shù)法導出了WTLS解。之后,眾多文獻研究了系數(shù)矩陣與觀測向量在特殊權矩陣情況下的WTLS算法[6-9],文獻[10—12]提出了僅限定系數(shù)矩陣和觀測向量不相關情況下的WTLS算法,文獻[13—15]將WTLS算法推廣到任意權矩陣的一般情況。通過將模型擴展到附有限制條件的EIV模型,文獻[16—22]研究了附有等式和不等式約束的WTLS算法。文獻[23]在假定觀測向量和系數(shù)矩陣誤差不相關的情況下研究了EIV條件平差模型的WTLS算法。
到目前為止,WTLS算法主要基于EIV間接平差模型或者附有限制條件的間接平差模型,即參數(shù)的系數(shù)矩陣隨機,觀測向量的系數(shù)矩陣為單位陣。盡管間接平差模型是最常用的平差模型,但并非通用的平差模型形式,如觀測向量的系數(shù)矩陣可能包含隨機誤差,因此,從平差模型理論而言,類似于經典平差模型發(fā)展脈絡,EIV模型形式尚有待進一步完善。從應用上而言,某些特定數(shù)據在一定條件下或許更適宜于表示為條件平差或者附有參數(shù)的條件平差模型等形式,需要擴展相應的模型形式供選擇和比較。基于上述理論和應用兩方面的意義,本文提出了EIV平差模型的通用形式,包括觀測向量的系數(shù)矩陣和參數(shù)的系數(shù)矩陣隨機或者非隨機等各類情況,在此基礎上,采用拉格朗日乘數(shù)法推導了通用EIV平差模型的統(tǒng)一WTLS算法及其近似精度估計公式。通用EIV平差模型的WTLS算法適用于任意權矩陣,涵括了條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差以及附有限制條件的間接平差等各類模型形式,統(tǒng)一的WTLS算法有利于具體工程的編程實現(xiàn)。
1.1經典平差模型的通用形式及其最小二乘解
經典平差函數(shù)模型的通用形式為[1]
B(y+vy)+Ax+w=0
(1)
式中,y和vy表示n×1的觀測向量和改正數(shù)向量;B為f×n觀測向量系數(shù)矩陣;x為u×1參數(shù)向量;A為f×u的參數(shù)系數(shù)矩陣;w為f×1常數(shù)向量;B和A均為固定矩陣。
按照經典平差理論,模型(1)涵括了條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差和附有限制條件的間接平差模型等4種基本函數(shù)模型形式,參數(shù)的最小二乘估計及其精度為[1]
1.2通用EIV平差模型
若把經典通用平差模型(1)中觀測向量的系數(shù)矩陣B和參數(shù)的系數(shù)矩陣A由固定矩陣推廣到隨機矩陣,從而經典平差模型擴展為通用EIV平差模型
(B+VB)(y+vy)+(A+VA)x+w=0
(2)
式中,y和vy表示n×1的觀測向量及其改正數(shù)向量;B和VB表示f×n的觀測向量系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣;x為u×1參數(shù)向量;A和VA表示f×u的參數(shù)系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣。B、y和A為含隨機誤差的觀測數(shù)據,模型(2)的隨機模型可表示為
通用EIV模型(2)涵括了以下4種基本EIV平差模型:
(1) 當模型不含參數(shù)x,僅由觀測值y的幾何關系構成條件方程,稱為EIV條件平差模型
(B+VB)(y+vy)+w=0
(3)
(2) 當模型中含有部分參數(shù)時,觀測值和參數(shù)共同構成條件方程,稱為EIV附有參數(shù)的條件平差模型,模型形式與式(2)等同。
(3) 當y能夠表示為獨立參數(shù)x的函數(shù),即表示成觀測方程的形式,稱為EIV間接平差模型
y+vy=(A+VA)x+w
(4)
(4) 當參數(shù)x間存在函數(shù)關系時,稱為EIV附有限制條件的間接平差模型
Bc(y+vy)+(Ac+VAc)x+wc=0
(5)
2.1WTLS算法
整體最小二乘準則本質上是最小二乘準則的擴展,要求系數(shù)矩陣和觀測向量中的全部觀測數(shù)據L的殘差平方和最小,該準則下模型(2)的求解轉化為以下最優(yōu)化估計問題
相應的目標函數(shù)為
Φ(v,λ,x)=vTPv+2λT(By+Bvy+VBy+VBvy+Ax+VAx+w)=
vTPv+2λT(By+Ax+Cv+w)
將上式分別對待估計量求一階偏導并令其等于0
(6)
(7)
(8)
式中,變量上加尖號表示模型的估計量。
由式(7)得
(9)
式(9)代入式(8)
(10)
式(10)代入式(9)
(11)
式(10)代入式(6)得到WTLS參數(shù)解
(12)
(13)
2.2WTLS估計結果的精度評定
由于EIV模型的非線性特點,到目前為止,WTLS解的統(tǒng)計特性研究成果非常有限[24]。文獻[6,25—26]推導了等權情況下的精度近似公式。文獻[10,27]通過將EIV模型轉化為經典平差模型研究了WTLS解的一階近似精度。本文對通用EIV模型進行線性化,將其轉換為線性高斯赫爾默特模型形式,推導了一階近似精度公式。
參數(shù)或隨機量符號上加“~”表示真值,模型(2)可寫為如下形式
則模型(2)的線性化形式可表示為
A0Δx+Clvl+wl=0
(14)
(15)
(16)
(17)
本節(jié)以直線擬合模型為例說明和驗證論文提出的模型和算法。盡管對于直線擬合而言,采用EIV間接模型更為簡單直觀,但隨著EIV模型在現(xiàn)代測繪領域應用的深入,某些模型可能更適用于其他EIV模型形式,因此,為了說明通用EIV模型及其WTLS算法的估計過程,實例將直線表示為通用EIV模型(2)的形式,即附有參數(shù)的條件平差模型形式進行估計。
若設直線的截距和斜率為待估參數(shù),直線的EIV間接平差模型形式(4)為
(18)
表1 直線數(shù)據點的觀測值
若僅設斜率為參數(shù)x,直線的EIV間接形式(18)轉化為通用EIV模型(2)的形式,其中多余觀測數(shù)為2,參數(shù)個數(shù)為1,則3個線性無關的條件方程為
(19)
式中,第1式描述了過1、3兩點的直線斜率等于過1、2兩點直線的斜率,第2、3式描述了根據第1點計算的截距分別等于第2、第4點計算的截距,上式寫成矩陣形式為
(20)
表2 通用EIV平差模型估計結果
分析EIV模型(18)的估計結果,可得到如下結論:
(1) 表2計算結果表明,通用EIV模型的WTLS算法與目前EIV間接模型的WTLS常規(guī)算法結果相等,證明了本文算法的正確性。 此外,通用WTLS估計精度公式與間接WTLS精度公式均為估計參數(shù)的一階近似精度公式,兩者僅模型形式不同,因此兩種算法參數(shù)的估計精度相等。
(2) 如果將式(19)第一個條件方程改為第1點計算的截距等于第3點的截距,此時,條件方程簡化為僅A為隨機矩陣而B為固定矩陣的EIV附有參數(shù)的條件平差模型:B(y+vy)+(A+VA)x+w=0。
(3) 若不設任何參數(shù),利用直線方程的兩點式可列出直線擬合的EIV條件平差模型:(B+VB)(y+vy)+w=0。
(4) 如果某個觀測點i視為無誤差的已知點,可列出EIV附有限制條件的間接平差模型
從以上實例分析可以看到,對于某個具體EIV平差問題,可以根據需要選擇適宜的平差模型形式求解。通用EIV模型涵括了EIV的4類基本平差模型形式,本文提出的WTLS算法是4種模型的統(tǒng)一解。
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(責任編輯:宋啟凡)
修回日期: 2016-06-10
E-mail:wxzeng@sgg.whu.edu.cn
Correspondingauthor:FANGXing
E-mail:xfang@sgg.whu.edu.cn
WeightedTotalLeastSquaresofUniversalEIVAdjustmentModel
ZENGWenxian1,FANGXing1,LIUJingnan1,2,YAOYibin1
1.SchoolofGeodesyandGeomatics,WuhanUniversity,Wuhan430079,China; 2.ResearchCenterofGNSS,WuhanUniversity,Wuhan430079,China
Thispaperproposestheuniversalerrors-in-variables(EIV)adjustmentmodelbasedonthefundamentaladjustmenttheory,whichcoverstheparametricadjustmentmodel,conditionaladjustmentmodel,conditionaladjustmentmodelwithparametersandparametricadjustmentmodelwithconstrains.Applyingtotalleastsquares(TLS)principle,wededucetheweightedTLS(WTLS)algorithmandtheapproximatedprecisionoftheEIVmodel.TheuniversalEIVadjustmentmodelanditsestimatorofWTLScontributetotheintegrityoftheoryofEIVmodelestimation.TheproposeduniformWTLSalgorithmisappropriateforprogramminginsoftware,whichcancontributetothegeodeticapplicationofthetheoryoftheEIVmodelestimation.
universalEIVadjustmentmodel;weightedtotalleastsquares;precision;nonlinearoptimization
ZENGWenxian(1975—),female,PhD,majorsinthetheoryandmethodofsurveyingdataprocessing.
P207
A
1001-1595(2016)08-0890-05
國家自然科學基金(41404005;41474006;41231174;41274022);中央高校基本科研基金(2042016kf0175)
2015-03-25
曾文憲(1975—),女,博士,主要從事測量數(shù)據處理理論與應用的研究。
方興
引文格式:曾文憲,方興,劉經南,等.通用EIV平差模型及其加權整體最小二乘估計[J].測繪學報,2016,45(8):890-894.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150156.
ZENGWenxian,FANGXing,LIUJingnan,etal.WeightedTotalLeastSquaresofUniversalEIVAdjustmentModel[J].ActaGeodaeticaetCartographicaSinica,2016,45(8):890-894.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150156.