歸納推理在數(shù)學概念教學中的實施思考

姜躍琪

[摘 要] 在數(shù)學課堂中重視對學生歸納推理思維的培養(yǎng)，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，豐富學生的想象力. 數(shù)學概念教學是數(shù)學教學的重頭戲，一般都采用演繹推理的方式實施教學，束縛了學生的主觀能動性和創(chuàng)造力，不利于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才. 運用歸納推理思維來教學數(shù)學概念，可以助力學生智慧的生長，能力的提升，并直抵數(shù)學的本質(zhì)，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

[關鍵詞] 數(shù)學概念；歸納推理；形成智慧；提升經(jīng)驗；創(chuàng)新精神

作為數(shù)學教學重要內(nèi)容之一的數(shù)學概念，在我們的日常教學中，常常習慣于采用演繹推理——由結論出發(fā)回找原因的方法進行教學. 這就意味著學生在學習前要預先知道與本課所要學習的概念相關的試題和結論. 這樣的教學方式，史寧中教授認為是“教學的顛倒”，忽視了對學生“通過條件預測結果的能力”“依據(jù)結論探究成因的能力”的培養(yǎng). 法國數(shù)學家拉普拉斯說：“即使在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比. ”

事實也的確如此，對學生來講，他們對每節(jié)課新授的內(nèi)容是完全陌生的，即使做了相關預習，也不一定能透徹地理解其形式定義，演繹只會更加束縛他們的創(chuàng)新思維，逐漸變得循規(guī)蹈矩. 而歸納推理則要靈活得多，它可以是直覺，可以是假設，可以是猜測，甚至可以是某種朦朧的意識，其推斷依據(jù)也不必是嚴謹?shù)姆▌t，只要合乎情理即可. 這就給了學生極大的探究空間，更利于學生發(fā)現(xiàn)真理，感悟真理，靈活運用真理.

基于以上認識，筆者在數(shù)學概念教學中嘗試實施歸納推理，給學生廣闊的數(shù)學實踐、探究空間. 現(xiàn)謹以蘇教版八年級下冊第8章“認識概率”中的“頻率與概率”一課為例，談談筆者的一些做法和思考.

從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，確定

相適應的前理解素材

生活中關乎概率的事件很多，比如常見的彩票中獎、莊稼收成、天氣變化等，但這些需要極多專業(yè)知識輔助的例子，不適宜當前學生分析、歸納出“概率”和“頻率”的定義. 因此，備課時，筆者從學生認知的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設計了學生非常熟悉的教學素材：拋硬幣自由落下后正面和反面次數(shù)的概率，讓學生在小組合作操作中形成記錄. 然后，出示18世紀以來統(tǒng)計學家們在拋硬幣試驗中得出的幾組數(shù)據(jù)（表1）.

因為有了自己的親身操作實踐，還有統(tǒng)計學家的實驗記錄，普通的小事立刻變得充滿數(shù)學味. 學生的興趣立刻得到極大地調(diào)動，他們各抒己見，暢所欲言，最后形成共識：拋硬幣落下后正面朝上的頻率總在二分之一附近波動，而且近似等于二分之一. 這樣，他們對隨機性事件發(fā)生可能性的大小、頻率以及“概率”的概念都有了真實的體驗.

教材中給出了隨機事件概率的定義和記寫規(guī)定，如把某一事件記作“A”，將這個事件的概率用“P（A）”表示，必然事件就是百分之百會發(fā)生，于是記作“P（A）=1”，隨機事件發(fā)生的概率則在0～1之間，用“0< P（A）<1”來表述……這種約定俗成的說法，如果我們直接出示以告知學生也未嘗不可，且絲毫不影響學生今后的作業(yè)和測試. 但從數(shù)學的意義和價值上來說，筆者覺得還是有必要讓學生經(jīng)歷一次形成的過程，這樣可以更好地體會數(shù)學的嚴謹和簡約. 比如先讓他們思考合適的表達方式，無論文字還是字母、數(shù)字，再將他們的結果與教材上的表述相對照，能夠與教材表述思路一致的，必然喜出望外，成功感油然而生；有所差距的，則會對照，暗自修改，最后達到真正內(nèi)化、吸收的目的.

讓學生多列舉特殊例子，充分

感受歸納推理的過程

既然是歸納，我們就要盡可能地讓學生列舉多種現(xiàn)象，懂得避免由個別現(xiàn)象代表普遍現(xiàn)象的以偏概全的錯誤. 教學中，筆者讓學生通過擲圖釘?shù)睦?，進一步體會可能性的大小變化，并出示數(shù)據(jù)引導分析（表2是小明和同學做“擲圖釘實驗”獲得的數(shù)據(jù)）.

德國天文學家開普勒非常珍視類比歸納，他把類比稱為“最可信賴的老師”，能“揭示自然的所有奧秘”. 其實，在數(shù)學中，類比歸納的地位也很高，也應得到充分的重視，因為只有在大量事例的分析歸納中才能真正讓“特殊到一般”，加快學生對概念的準確理解，提高學生解決問題的能力，積累實用的數(shù)學經(jīng)驗. 上述第二個案例中，因為圖釘身大頭小的特性，它的拋擲結果與硬幣大有不同，在這一不同中，學生對“概率”的認識又進了一步. 筆者再讓他們繼續(xù)列舉，如：（1）全班同學中同年同月出生的人；（2）全班同學中同年同月同日出生的人；（3）在外旅游遇到家鄉(xiāng)人；（4）旋轉硬幣后隨意壓倒正面朝上；（5）回家打開電視恰好在放廣告；（6）自由轉動指針，指針停止后指向……通過諸多現(xiàn)象的列舉和分析，學生能充分感受并經(jīng)歷歸納的基本過程，發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的能力也能得到很好的鍛煉.

給學生探究歸納的空間，實實

在在地提升數(shù)學經(jīng)驗

有了諸多生活現(xiàn)象的列舉，學生擁有了豐富的感知素材，這也為他們的進一步探究和歸納提供了可能和空間. 課堂上，筆者繼續(xù)安排學生進行探究活動：根據(jù)對某品牌護眼臺燈的質(zhì)量檢驗數(shù)據(jù)進行分析（表3）.

（1）請計算抽到該品牌臺燈“合格品”的頻率，填寫在表格中；

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)繪制該品牌臺燈“合格品”的頻率折線統(tǒng)計圖；

（3）分析：當抽到的該品牌的臺燈的數(shù)目很大時，你發(fā)現(xiàn)“抽到合格品”的頻率在哪個常數(shù)附近擺動？

這樣，學生通過計算，又得到了與剛才兩例不同的信息. 筆者將上面統(tǒng)計學家們拋擲硬幣、小明和同學拋擲圖釘以及這里某品牌臺燈抽樣質(zhì)檢的三個不同概率結果讓學生們進行對比，并讓他們分組討論隨機事件發(fā)生的頻率變化及原因. 他們很快交流匯總得出：只要硬幣質(zhì)地均勻，那么“正面朝上”的概率為0.5，與反面朝上的概率均等；圖釘因為構造的特殊性，“釘尖著地”與“釘尖不著地”的概率出現(xiàn)了不均等；當臺燈抽樣質(zhì)檢的數(shù)量足夠多時，合格品的概率就會接近某一個常數(shù). 繼而，他們又推斷出頻率、頻率穩(wěn)定性、概率大小可能性變化特點等一系列相關認知，在充分感悟了歸納推理的方法和效能的同時，鍛煉了分析問題、解決問題、概括提煉的能力.

在“頻率與概率”中，出現(xiàn)的數(shù)學術語和概念比較密集，教材也基本采用演繹的方式——先給出一個定義（這是人們經(jīng)歷無數(shù)論證得到的公認的成果），然后直接呈現(xiàn)給學生，接著讓學生揣摩、理解、記憶. 這樣的結果是“剝奪了學生創(chuàng)造定義的機會”，而且更糟的是，“處于這個階段的學生尚不能自主理解這比較枯燥的形式定義，更無法理解這形式定義的目的和意義. ”新課標要求學生能通過觀察、實驗、歸納、類比獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例. 在中學數(shù)學概念教學中，重視對學生歸納推理能力的培養(yǎng)，有利于學生加深認知，增強創(chuàng)新意識和能力，提高數(shù)學素養(yǎng)，形成數(shù)學智慧，值得我們繼續(xù)研究與實踐.