關(guān)于勾股定理教學中的重點問題剖析

吳葉科

[摘 要] 筆者從一些教學實例入手，對勾股定理教學當中的幾個重點問題進行了剖析，希望能夠拋磚引玉，為這部分內(nèi)容的教學設(shè)計理清思路.

[關(guān)鍵詞] 勾股定理；重點問題；初中數(shù)學

從初中階段起，學生開始對平面幾何知識進行深入系統(tǒng)的研究. 在這之中，勾股定理一直是教學內(nèi)容的重中之重. “勾股定理”這個名詞，很多學生早已有所耳聞，但正式開始學習之后才發(fā)現(xiàn)，它的內(nèi)涵遠遠超出了人們口中常說的“勾三股四弦五”的范疇. 看似簡單的一個定理，其中所包含的規(guī)律與變化卻是極為豐富的，這一點在勾股定理內(nèi)容的相關(guān)習題當中表現(xiàn)得十分明顯. 特別是當勾股定理與其他知識內(nèi)容關(guān)聯(lián)在一起時，解題難度瞬間顯著提升，成為學生學習數(shù)學的一個難點. 對此，筆者從一些教學實例入手，對勾股定理教學當中的幾個重點問題進行了剖析，希望能夠拋磚引玉，為這部分內(nèi)容的教學設(shè)計理清思路.

理解定理內(nèi)涵，有效分析問題

要想將勾股定理掌握到位，前提是將它的內(nèi)涵理解清楚. 深入挖掘理論含義便會感受到，它所包含的意義與方法遠遠不止文字表面敘述的那么簡單. 為了讓學生全面、確切地認識到勾股定理的內(nèi)涵，并將之有效運用到具體問題的分析過程當中，教師有必要通過設(shè)置一些具有代表性的習題來加深學生的知識印象.

例如，在完成了勾股定理基本內(nèi)容的教學之后，筆者請學生嘗試解答如下習題：如圖1，在△ABC中，∠A=90°，點P是AC的中點，PD⊥BC于點D，BC=9，CD=3，求AB的長. 首先，需要連接PB（如圖2），由此可得BD=BC-DC=6. 然后，在Rt△BDP和Rt△PDC中，分別應用勾股定理，即PD2=BP2-BD2，PD2=CP2-CD2，從而得到BP2-BD2=CP2-CD2. 于是得出BP2- CP2=BD2-CD2=36-9=27. 再由AP=PC可得出BP2-AP2=AB2=27，最終得到AB=3. 在這個問題的解答過程當中，在以PD為公共邊的兩個直角三角形當中運用勾股定理是解題的關(guān)鍵，這也向?qū)W生展現(xiàn)了勾股定理的具體內(nèi)涵. 學生也意識到，只會機械地背誦勾股定理的基本公式并不是目的，只有在這樣的題目當中找出勾股定理之所在，并引導問題順利求解，才是有效學習所需要的.

在實際教學當中，如果僅僅是以平鋪直敘的方式來進行定理內(nèi)涵的教學，往往無法將其中的抽象含義闡釋清楚. 初中階段的學生也比較喜好新鮮活潑的教學方式，單調(diào)的講述顯然是不適宜的. 因此，筆者采取了將理論知識訓練融入具體問題解答當中的方式. 在解題訓練的過程當中，學生對勾股定理內(nèi)涵的感知才最真實.

構(gòu)造特殊圖形，探尋解題思路

通過對勾股定理的相關(guān)習題進行分析便不難發(fā)現(xiàn)，對這部分內(nèi)容的考查并不一定是以十分直接的方式進行的. 命題者總會將之同比較靈活或復雜的解題方法結(jié)合起來，使問題呈現(xiàn)出較強的綜合性. 為此，要求學生在理解定理內(nèi)涵的基礎(chǔ)上掌握更多有效解題的方法.

例如，在勾股定理內(nèi)容的學習過程當中，學生曾遇到過這樣一道習題，感到解答難度很大：如圖3，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的長. 題目所給的圖形是一個不規(guī)則的圖形，學生不知應當如何入手. 但是，如果能夠注意到已知條件當中的兩個直角的存在，并將之與勾股定理的內(nèi)容聯(lián)系起來，分析思路就會自然出現(xiàn). 我們可以通過分別延長BC和AD相交于點E（如圖4），使之形成一個直角三角形，求出AE和CE的長. 再分別借助Rt△ABE和Rt△CDE中勾股定理的運用，求出BE和DE的長，于是BC與AD的長也就自然得出了. 學生大多習慣于在圖形內(nèi)添加輔助線，而很少能夠想到將圖形向外擴展加以補充. 如果大家能夠以勾股定理的適用作為思維方向的引導，上述的構(gòu)造想法也就不難得出了.

靈活處理幾何問題時，巧妙添加輔助元素來構(gòu)造特殊圖形，能推動復雜問題有效解答. 因此，這也成為初中階段平面幾何教學所關(guān)注的重點技能，自然也是教師在勾股定理內(nèi)容教學過程當中應當特別重視的. 當然，構(gòu)造特殊圖形的方法多種多樣，我們不可能通過課堂教學來一一窮盡. 教師需要更多地借助典型題目來對學生加以引導，啟發(fā)他們這方面的思維，逐步提升他們的獨立解題能力.

把握面積聯(lián)系，開展巧妙分析

從表面上看，勾股定理所關(guān)注的只是線段與數(shù)字之間的關(guān)系. 但是，在實際解題過程當中，與勾股定理內(nèi)容相關(guān)的習題卻沒有局限在這些元素的范圍之內(nèi). 特別是在一些較為復雜的問題之中，學生不僅要從“線”的角度著眼，還需要將視野拓展到“面”的范疇，為勾股定理問題提供更多巧妙的思路.

例如，在勾股定理知識的學習當中，有這樣一道十分經(jīng)典的習題，筆者常會拿出來請學生感受和嘗試：如圖5，在△ABC中，∠B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24. 在三角形內(nèi)有一點P到各邊的距離相等，則這個距離是多少？僅從線段的長度角度來看，這道題比較難入手. 但如果學生能夠從面積的角度來進行分析，思路就出現(xiàn)了：如圖6，設(shè)點P到各邊的距離為r，連接PA，PB，PC. 根據(jù)幾個三角形之間的面積關(guān)系，有S+S+S=S，也就得出了AB·r+BC·r+AC·r=AB·BC的關(guān)系，很容易得出r的值為3，也就是題目當中所需求的答案. 當然，用面積的方法分析問題的想法也不是憑空出現(xiàn)的，主要是根據(jù)已知條件中垂線段的啟發(fā)，聯(lián)想到三角形的高，進而引出面積的思考. 以面積方法解題的結(jié)論并不重要，重要的是要讓學生明白這個結(jié)論得出的思考過程.

從上述示例不難發(fā)現(xiàn)，從“面”的角度入手，面積是一個極佳的切入點. 當我們無法從“線”的路徑獲得問題解答的思路時，便可以站到“面”的視角上，嘗試找到更多的分析問題的方法. 這也從另一個側(cè)面告知學生，對數(shù)學問題進行思考，一定要將思維開闊、靈動起來，不要拘泥于眼前的條件現(xiàn)狀，而要盡可能找到更多切入的方向，為解題服務.

適當加入旋轉(zhuǎn)，鼓勵運動研究

勾股定理之所以能夠成為初中數(shù)學教學的核心內(nèi)容之一，就在于掌握這部分內(nèi)容所需調(diào)動的綜合能力. 除了前文所談到的分析路徑的不斷擴充之外，還要求學生突破傳統(tǒng)的靜止思維，以運動的眼光來看待和分析知識內(nèi)容. 這不僅有利于知識內(nèi)容的探究，更是對學生數(shù)學思維質(zhì)量的整體性提升.

例如，在勾股定理的學習過程中，筆者曾經(jīng)為學生設(shè)計了這樣一道習題：如圖7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D和點E在BC上，且∠DAE=45°. 求證：CD2+BE2=DE2. 這道題的分析思路的出現(xiàn)是從待求證的結(jié)論得出的，從這個形式便會很自然地聯(lián)想到勾股定理. 然后，問題出現(xiàn)了：這三條線段并不在同一個直角三角形當中. 那么，怎樣才能將它們歸于同一個直角三角形中來加以證明呢？旋轉(zhuǎn)是一個很好的途徑，也就是將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接FD（如圖8）. 這種思維方式很好地啟發(fā)了學生的動態(tài)思維，為疑難問題的求解提供了一個全新的分析方向.

在初中數(shù)學的各類測試當中，相似類型問題的出現(xiàn)是非常頻繁的. 要想解決這類問題，僅靠靜止的思維遠遠不夠，學生還需要讓圖形動起來，讓思維動起來，方能找到解決數(shù)學問題的新可能. 平面幾何的學習從來都離不開想象能力，學習勾股定理自然也不例外. 當然，我們在這里所討論的旋轉(zhuǎn)只是幾何運動的主要形式之一，教師還應當繼續(xù)啟發(fā)和引導學生，幫助他們將宏觀的運動思維建立起來.

不難發(fā)現(xiàn)，對勾股定理內(nèi)容的探究是一個比較完整且綜合的數(shù)學知識能力感知過程. 學生不僅需要從定理本身出發(fā)，深入挖掘它的思想內(nèi)涵，還要善于將該理論運用到具體問題的解答當中，并努力適應問題的靈活多變，廣泛調(diào)動數(shù)學方法來分析問題. 通過勾股定理內(nèi)容的深入學習，學生普遍完善了自己的思維體系，并有效靈活了頭腦，對初中數(shù)學學習的適應能力也更強了. 對于勾股定理這一重點知識內(nèi)容，教師一定要找出其中具有代表性的關(guān)鍵部分，帶領(lǐng)學生對其加以關(guān)注與剖析，從而提綱挈領(lǐng)地掌握知識，提高能力，實現(xiàn)初中數(shù)學的優(yōu)質(zhì)教學實效.