關注自然生長回歸數(shù)學本質

楊劍峰

[摘 要] 教師應正確把握學生知識生成的最近發(fā)展區(qū)，安排好背景導入，把大題化小，讓學生弄清各個數(shù)量間的關聯(lián)，讓學生憑借已經(jīng)建立起來的數(shù)量關系或模型，從復雜的問題背景中抽象出知識的關聯(lián)，回歸數(shù)學本質，順著梯子登階爬墻，自然生長.

[關鍵詞] 自然生長；數(shù)學本質；最近發(fā)展區(qū)

問題提出

（2014山東德州中考題）如圖1，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.

教學需求分析

1. 適用對象

該題適用于初二學生復習或初三中考復習.

2. 內容分析

本題以直角坐標系為背景進行命題，重點考查了學生對全等三角形的判定、方位角、圖形的旋轉、圖形的翻折等相關基礎知識或技能的掌握. 而初二數(shù)學教材中等腰三角形的性質、勾股定理、圖形的旋轉、圖形的翻折（軸對稱）等知識都是初中數(shù)學學習的基礎，也是學好圖形與幾何的關鍵和重點. 為此，在復習中有必要把這些知識進行融合，提高學生的應用能力.

3. 目標分析

本題的問題設置有深度，集基礎知識和數(shù)學思想方法于一體. 該題在基礎復習或檢測時作為壓軸題，其目的主要是考查學生對圖形的翻折、旋轉或截長補短法的運用. 通過此題解決思路的探討、開發(fā)、思考，能幫助學生系統(tǒng)而有效地復習這一部分內容的核心知識；同時能向學生說明，復習必須回歸數(shù)學本質，從而達到幫助學生積累并解決問題的活動經(jīng)驗，以及提高解決幾何綜合題的能力，達到知識的自然生長.

4. 教學理念

教學設計時本著以問題為載體、以活動為依托、以能力培養(yǎng)為導向的原則，盡量讓學生抓住數(shù)學本質，促使學生思維的自然生長. 為了落實好梳理與建構、交流與應用的關系，筆者立足于“關注自然生長與回歸數(shù)學本質”，進行解題教學.

2. 方法遷移

4. 試題透析

回歸問題提出，即2014年山東德州中考題.

師：圖1能抽取出剛才學習的模型嗎？

生1：能，延長AE，BF，相交于點H，四邊形AOBH就是剛剛探究過的模型，如圖9.

師：題目中滿足哪些條件呢？

生1：∠OBH+∠A=180°，AO=BO，E，F(xiàn)分別是AH，BH上的點，且∠EOF=∠AOB.

師：根據(jù)條件，通過怎樣轉化，可求出EF？

生1：將△AEO繞點O順時針旋轉至△BKO，使得OA與OB重合，通過△EFO≌△KFO轉化為EF=AE+BF.

生2：也可以延長HB至點K，使得BK=AE，連接OK，通過證△AOE≌△BOK，△FEO≌△FKO，轉化為EF=AE+BF.

教學分析？搖 通過解讀試題圖形，使學生從中抽取出剛剛刻畫的幾何模型，這對引導學生對試題解法的深入探究意義重大. 教師以問題為載體，搭就學生探究的平臺，讓學生自然生長，自然發(fā)展.

5. 延伸發(fā)展

如圖10，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF，AG與邊BC的交點分別為D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉過程中，等式BD2+CE2=DE2始終成立，請說明理由.

師：知識是相互聯(lián)系的，在三角形條件中，你會證明嗎？

生3：如圖10，將△ADB繞點A逆時針旋轉，使得AB與AC重合，得△AHC，連接EH. 通過證△ADE≌△AHE，轉化為等式CH2+CE2=HE2，得證.

師：請同學們重新審題，除了旋轉法以外，還有其他方法嗎？

生4：過點C作HC⊥EC，使HC=BD，連接AH，EH，通過全等同樣可證.

師：這就相當于把△ADB繞點A旋轉，與剛才生3的證明大同小異. 繼續(xù)探究，看看是否可以借助翻折來證明.

生5：如圖11，將△ABD沿邊AD翻折，得到△AHD，將△ACE沿邊AE翻折，得到△AHE，結論轉化為等式DH2+HE2=DE2，得證.

說明：也可以過點A作AH，使AH=AB，且∠HAD=∠BAD，連接DH，EH. 證△ADB≌△ADH，△AEH≌△AEC，轉化為等式DH2+HE2=DE2，得證.

教學分析 充分探究試題多解，能培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，防止學生思維固化. 通過添加不同的輔助線，能讓學生在玩數(shù)學的過程中自主探究，解題方法就會自然呈現(xiàn)，自然生長.

6. 拓展練習

教學反思

1. “自然生長”是教學之道

自然就是最美的，數(shù)學解題教學亦是如此. 而衡量是否自然，就要看其思路是否順其自然，解法是否干脆利落，表達是否簡潔明快. 蘇東坡的《題西林壁》“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”中強調“橫看”“側看”“遠看”“近看”“高看”“低看”，形象地給我們展示了“自然生長”的精髓. 其特點就是給足其自然生長的時間和空間，讓學生自己對同一個問題從不同的角度、不同的結構形式、不同的相互關系中觀察、思考、整合，重要的是能培養(yǎng)學生細致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力.

“自然生長”可以開闊學生的思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力. “自然生長”能讓學生學會多角度分析，學會由表及里抓住事物的本質，找出事物之間的內在聯(lián)系；學會用不同的知識解決同一個問題，達到對多種知識的融會貫通.

筆者認為，復習課重要的不是“怎么講”，而應該是“怎么引”. 教師不能從分析到總結、從原題到變式一手包辦，應針對教學內容設計一連串的引導問題，引導學生分析，讓學生自己探索、經(jīng)歷、體會、建構，從而把握知識本質，自然生長.

2. “自然生長”要落實“最近發(fā)展區(qū)”

數(shù)學學科具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，數(shù)學學習必須通過思維去把握，去理解數(shù)學的實質. 在教學中，教師的講解必須貼近學生的思維發(fā)展水平，要遵循學生的思維發(fā)展規(guī)律，從而提高學生的思維能力，優(yōu)化學生的思維結構. 自然的解法就是從題目條件出發(fā)，跨度不大，容易想到，易于理解. 客觀講，引題的難度已經(jīng)超出大多數(shù)初二年級學生的認知水平，即使中考也只有最后的綜合題可能達到這樣的難度. 所以我們沒必要、也不應該把它放在沒有任何知識鋪墊的情況下呈現(xiàn)在學生面前. 教師要正確把握學生知識生成的最近發(fā)展區(qū)，安排好背景導入或者把題目適當分解，把大題化小，讓學生弄清各個數(shù)量之間存在的等量關系或有關公式，這樣學生就能憑借已經(jīng)建立起來的數(shù)量關系或模型，從復雜的題目背景 圖形中抽象出知識的關聯(lián)，就能順著梯子登階爬墻，輕松入門，自然生長.

3. “自然生長”要關注數(shù)學本質

數(shù)學學習是向學生提供解決社會生活實際問題所必要的數(shù)學基礎知識和基本技能. 數(shù)學研究的是抽象概念，運用的是抽象方法. 數(shù)學思想方法的教學有利于學生對數(shù)學本質的整體把握，數(shù)學思想方法的學習和領悟能使學生所學的知識不再是零散的知識點，它能幫助學生形成有序的知識鏈，建立良好的知識結構，理解知識本質，提高學生的數(shù)學思維水平，建立科學的數(shù)學觀，從而發(fā)展數(shù)學、運用數(shù)學、自然生長. 因此，教師教學時要充分考慮到數(shù)學思想方法的滲透，幫助學生有效地積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗，抓住數(shù)學知識本質，從而提高解決綜合題的能力.