義務(wù)教育階段幾何直觀分析框架

唐平 付天貴

摘 要 數(shù)學(xué)中的直觀是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識。幾何直觀是一種能力，主要是指利用圖形描述和分析問題。從感知、理解、把握和推理四個水平建構(gòu)了義務(wù)教育階段幾何直觀的分析框架，框架為義務(wù)教育階段學(xué)生幾何直觀的測試和發(fā)展研究奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞 義務(wù)教育 幾何直觀 分析框架

一、問題提出

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程改革的目標(biāo)。為此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了要發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。幾何直觀是標(biāo)準(zhǔn)提出的十個核心概念之一，它在內(nèi)容、意義和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對幾何圖形本身的研究范疇，在平面幾何、代數(shù)運算、解析幾何、函數(shù)分析、概率統(tǒng)計、立體幾何等領(lǐng)域都用到幾何直觀，它貫穿數(shù)學(xué)的整個領(lǐng)域和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的整個過程，成為近年來關(guān)注的熱點。在CNKI數(shù)據(jù)庫中以幾何直觀為主題進(jìn)行文獻(xiàn)檢索，1951年至1959年有關(guān)文獻(xiàn)有25篇，1960年至1966年有25篇，1967年至1979年有16篇（1967年至1975文獻(xiàn)顯示為0篇），1980年代至新世紀(jì)前10年每年文獻(xiàn)見表1.

近5年，檢索到的以幾何直觀為主題的相關(guān)文獻(xiàn)分別是556篇、636篇、689篇、791篇、427篇（注：2015年文獻(xiàn)只統(tǒng)計到8月份）。從文獻(xiàn)統(tǒng)計可以看出，新課程實施以來，特別是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布以來，幾何直觀受到數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注。

二、幾何直觀的內(nèi)涵

早有研究論及直觀和幾何直觀。1951年《人民教育》第三卷第一期刊登徐特立先生《各科教學(xué)法講座》[1]一文，在論及辯證邏輯和形式邏輯的區(qū)別時，引用恩格斯用高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的區(qū)別進(jìn)行說明，“初等數(shù)學(xué)是技術(shù)的，因為它的數(shù)量是固定的、靜止的，帶直觀性的，直接出來數(shù)量的，如算術(shù)、初等幾何”，這是較早把直觀概念與數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來的文獻(xiàn)。1952年中央教育部翻譯室翻譯的《蘇聯(lián)初等學(xué)校算術(shù)教學(xué)大綱》中提到學(xué)生獲得直觀幾何的基本知識及實際應(yīng)用這些知識的技能，認(rèn)為學(xué)習(xí)幾何教材，應(yīng)該用直觀教學(xué)法，并給學(xué)生一些實際經(jīng)驗[2]。其后，有研究者論述了直觀教具的制作（胡元愷，1956；錢林坤，1958）。顯然這里的直觀幾何是課程名稱，直觀教學(xué)法是一種教學(xué)方法。1982年，上海市數(shù)學(xué)會邀請法國科學(xué)院院士G.Choquet在上海市科學(xué)會給數(shù)學(xué)教師做報告，報告論及幾何的作用和數(shù)學(xué)中的直觀，在總結(jié)法國新數(shù)學(xué)的經(jīng)驗時，G.Choquet院士說：“在新數(shù)學(xué)的探索中，他們忘記了不經(jīng)充分試驗而作根本性改變總有極大風(fēng)險的……這種想法使他們忘記了學(xué)生，忘記了直觀，特別是幾何直觀的作用”[3]。這里出現(xiàn)了幾何直觀一詞。此后，較多研究涉及幾何直觀。

直觀是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識。對于幾何直觀，一種觀點認(rèn)為，幾何直觀是進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解決的方法。在此觀點下，研究者研究了運用幾何直觀進(jìn)行不同學(xué)段、不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題的理解和解決（李長明，1986；鄭樹鈺，高洪義，楊貴林，1990；詹青松，1991；黨四善，1999；華瑛，2011；王海俠，孫和軍，2014；華旦玲，2014），或是研究借助幾何直觀加強數(shù)學(xué)教學(xué)的理解（王敬庚，1993；范秋君，1996；戴年寶，1999；黃偉星，顧曉華，2011；蔡宏圣，2013；宋曉燕，黃翔，2013；陳濤清，2015）。研究認(rèn)識到了幾何直觀對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和理解的作用，但并未對幾何直觀是什么給予明確說明。一種觀點認(rèn)為幾何直觀是一種思維形式。徐本順，商應(yīng)鋼（1984）認(rèn)為，在科學(xué)創(chuàng)造的過程中，既有形象思維，又有抽象思維，另外還有介于二者間的中間環(huán)節(jié)，借助于幾何直觀進(jìn)行思維就屬于這樣一個中間環(huán)節(jié)。幾何直觀既有形象思維，又有抽象思維，這是一種重要的思維形式。蔣文蔚（1997）認(rèn)為，幾何直觀是一種思維形式，它是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接識別或猜想的心理狀態(tài)。也有研究者認(rèn)為，幾何直觀是一種能力。數(shù)學(xué)中的直觀是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知[4]。2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確提出要培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力；《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀是一種能力的觀點得到國內(nèi)學(xué)者廣泛的認(rèn)同[5]。

由此可見，幾何直觀就是利用圖形描述和分析問題，它是一種能力，幾何直觀能力就是利用圖形描述問題、分析問題、解決問題的能力。幾何直觀是在直觀感知的感性基礎(chǔ)之上所形成的理性思考。由于數(shù)學(xué)的研究對象是空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以幾何直觀就是學(xué)習(xí)者借助于圖形的形象關(guān)系對空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行感知、理解和把握，是學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)對象的幾何屬性或與幾何屬性密切相關(guān)的一些屬性的整體把握和直接判斷。幾何直觀研究對象超越幾何圖形本身研究范疇，包括了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率學(xué)科領(lǐng)域。

三、幾何思維水平研究

20世紀(jì)50年代，荷蘭學(xué)者范·西爾夫婦研究了幾何思維的發(fā)展，建構(gòu)了幾何思維發(fā)展的模式，該模式由認(rèn)識、分析、非正式演繹、正式演繹、嚴(yán)密5個水平構(gòu)成。范·西爾夫婦對每一水平都進(jìn)行了描述，并指出這些水平是非連續(xù)的。然而，研究者研究了范·西爾的幾何思維水平，指出這些水平是動態(tài)的、連續(xù)的[6]。Gutierrez和Jaime（1987）通過對職前教師的測量，證明了水平1到水平4的存在和層次性，但他們認(rèn)為水平5（嚴(yán)密性）有待進(jìn)一步的研究確認(rèn)[7]。結(jié)合后來的研究成果，80年代，范·西爾將幾何思維水平整合為直觀水平、描述水平和理論水平。直觀水平是指整體地認(rèn)識幾何對象；描述水平是指通過幾何性質(zhì)去描述幾何對象；理論水平是指通過演繹去證明幾何關(guān)系。阿倫·霍夫（1981）研究了幾何中的技能，認(rèn)為視覺方面的技能、語言方面的技能、繪圖方面的技能、邏輯方面的技能、應(yīng)用方面的技能這5個方面的技能是重要和需要訓(xùn)練的，他把這5方面的技能與范·西爾幾何思維5水平整合，形成了5×5幾何技能模式。雖然范·西爾和阿倫·霍夫未直接研究幾何直觀，同時他們的研究只局限于幾何學(xué)科領(lǐng)域，但他們的研究為幾何直觀研究奠定了基礎(chǔ)。

國內(nèi)對幾何思維水平的研究，幾乎都以范·西爾幾何思維模式為基礎(chǔ)。張和平、李俊央和項昭（2007）研究了義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課程中的幾何直觀性水平，同時調(diào)查了初中生幾何直觀性水平，根據(jù)他們的研究，初中學(xué)生幾何直觀水平很難達(dá)到嚴(yán)密水平。馮雪嬌、金美月（2011）從直觀水平、描述水平和理論水平三個方面研究了多元文化背景下初中生幾何認(rèn)知水平，發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能達(dá)到直觀水平，而不能達(dá)到描述和理論水平。盧英和黃燕萍（2014）從幾何圖形的觀察、分解、組合和想象四個方研究了初中生幾何思維水平的發(fā)展。

四、幾何直觀分析框架

幾何直觀是一種能力，是學(xué)習(xí)者借助于圖形的形象關(guān)系對空間形式和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行感知、理解、把握和推理的能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究過程中，人們常借助幾何直觀去描述問題、分析問題、解決問題。以范·西爾幾何思維水平和阿倫·霍夫幾何直觀技能為基礎(chǔ)，結(jié)合幾何直觀的內(nèi)涵，可以建構(gòu)起如表2的直觀分析框架。

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動中，幾何直觀不僅體現(xiàn)在教學(xué)理念的層面，更體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生通過如拼圖、折紙、畫圖等活動，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識和理解，進(jìn)行判斷和推理。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把結(jié)果性目標(biāo)分為了解、理解、掌握和運用四個水平，并對每個水平進(jìn)行了描述。以上所建構(gòu)的幾何直觀分析框架，與義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)課程目標(biāo)相對應(yīng)，為義務(wù)教育階段學(xué)生幾何直觀能力測試和研究學(xué)生幾何直觀發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

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[作者：唐平（1979-），女，重慶永川人，重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院講師，碩士；付天貴（1969-），男，重慶酉陽人，重慶文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財經(jīng)學(xué)院副教授，西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院在讀博士研究生。]

【責(zé)任編輯 陳國慶】