嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)的上界估計(jì)

趙仁慶

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南楚雄675000)

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嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)的上界估計(jì)

趙仁慶

(楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南楚雄675000)

對(duì)角占優(yōu)矩陣；M-矩陣；無(wú)窮大范數(shù)；最小特征值

引言

1　預(yù)備知識(shí)

為敘述方便，給出本文需要用到的一些記號(hào)。用Cn×n(Rn×n)表示n×n階復(fù)(實(shí))矩陣的集合，記

N={1,2,…n},m≤i,j,k≤n

設(shè)A=(aij)∈Rn×n且aii≠0，

ln=un=0

定義2[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果aij≥0，對(duì)任意i,j∈N，即A的所有元素是非負(fù)的，則稱(chēng)A為非負(fù)矩陣，記為A≥0。

定義3[3]設(shè)A為Z-矩陣，A可逆且A-1≥0，則稱(chēng)A為非奇異M-矩陣。

定義4[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果滿足條件

(2)(2)J(A)≠Φ；

(3)對(duì)于任意i∈N,i?J(A)，存在i1,i2,...,ik使aii1ai1i2…aik-1ik≠0,ik∈J(A)；

則稱(chēng)A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定義5[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若J(A)=N，則稱(chēng)A為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

注由定義4和定義5知，若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣。

引理1[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A(k,n)(k = 1, … ,n-1)也是弱鏈對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣。這里A(n1,n2)表示由A=(aij)∈Rn×n的n1至n2行和n1至n2列的元素組成的子矩陣。例如A(2,n)表示由A=(aij)∈Rn×n的2至n行和2至n列的元素組成的子矩陣。

其中

定理1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

(1)

定理2[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

(2)

引理4[5]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A-1=(αij)滿足

(3)

特別當(dāng)i=1時(shí)，有

(4)

引理5設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A-1=(αij)滿足

(5)

證明由引理4得

αii(aii-aiidiω(m))

故

(6)

當(dāng)2≤i≤n時(shí)，由引理2和(4)式得

故對(duì)2≤i≤n，由引理2知

r1ω(1)+MB

若r1≤ω(1)r1+MB，則

若r1>ω(1)r1+MB，則

因此，有

定理得證。

結(jié)合引理1，對(duì)定理3利用迭代法得如下結(jié)論。

定理4設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

算法綜合比較了NLMS和FDNLMS算法的性能,比較指標(biāo)包括處理時(shí)間以及自適應(yīng)濾波器失調(diào)系數(shù)和回聲返回?fù)p耗增益值:

(7)

由引理3和定理4得如下推論。

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則A的最小

q(A)>

(8)

定理5設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

(9)

且

故結(jié)論成立。

注由定理5可知，本文的結(jié)論在一定條件下改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果。

例1設(shè)

用matlab7.0計(jì)算得

[2] 李艷艷,李耀堂.嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的逆矩陣的無(wú)窮大范數(shù)上界的估計(jì)[J].云南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,21(1):52-56.

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Estimation on Upper Bounds of the Infinity Norms of Inverses for Strictly Diagonally Dominant M-matrices

ZHAO Renqing

(School of Mathematics and Statistics, Chuxiong Normal University, Chuxiong 675000, China)

diagonal dominance matrix; M-matrix; infinity norms; smallest eigenvalue

2016-01-21

楚雄師范學(xué)院項(xiàng)目(12YJRC10)

趙仁慶(1985-)，女，云南騰沖人，講師，碩士，主要從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用方面的研究，(E-mail)422652443@qq.com

1673-1549(2016)02-0075-05

10.11863/j.suse.2016.02.15

O151.21

A