基于MATLAB的De Moivre-Laplace中心極限定理的隨機(jī)模擬

任麗，李順初

(西華大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，成都610039)

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基于MATLAB的De Moivre-Laplace中心極限定理的隨機(jī)模擬

任麗，李順初

(西華大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，成都610039)

針對(duì)De Moivre-Laplace中心極限定理，首先利用特征函數(shù)和獨(dú)立同分布下的中心極限定理得到理論上證明，然后利用MATLAB軟件隨機(jī)模擬分析二項(xiàng)分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系，并對(duì)圖像進(jìn)行誤差分析，最后證明數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性。通過這兩種不同角度的論證，給出De Moivre-Laplace中心極限定理直觀的解釋和說明，這種將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)原理結(jié)合的方法，不僅使數(shù)學(xué)原理化抽象為具體，便于理解和實(shí)踐，而且擴(kuò)展了數(shù)學(xué)原理和計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用。

De Moivre-Laplace中心極限定理；正態(tài)分布；二項(xiàng)分布；隨機(jī)模擬；誤差分析

引言

中心極限定理描述了離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的內(nèi)在聯(lián)系，即離散型隨機(jī)變量的極限分布是正態(tài)分布，因此中心極限定理的結(jié)論使正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有重要作用[1]，它的研究促進(jìn)了現(xiàn)代概率論的發(fā)展，并且在統(tǒng)計(jì)分析和近似計(jì)算具有廣泛的應(yīng)用。近年來，國內(nèi)眾多學(xué)者從兩方面對(duì)中心極限定理進(jìn)行了研究：一方面，如文獻(xiàn)[2-9]研究了中心極限定理的實(shí)際應(yīng)用；另一方面，如文獻(xiàn)[10-14]研究了中心極限定理含義和本質(zhì)，其研究?jī)?nèi)容是單一的，只用了數(shù)值方法證明中心極限定理，并沒有詳細(xì)闡明常見分布(幾種離散分布和連續(xù)分布)與正態(tài)分布的關(guān)系，也沒有用數(shù)學(xué)軟件模擬這種關(guān)系。

本文以De Moivre-Laplace中心極限定理為例，在蒙特卡羅思想[15]下，研究中心極限定理中二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的關(guān)系，并通過MATLAB軟件[16-20]對(duì)其進(jìn)行模擬，直觀展現(xiàn)De Moivre-Laplace中心極限定理的形成過程，并驗(yàn)證數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確性，同時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，進(jìn)一步得到影響二項(xiàng)分布近似正態(tài)分布的因子，從而對(duì)De Moivre-Laplace中心極限定理作出更合理地詮釋，將為中心極限定理在其他分布中的應(yīng)用提供了一種新的分析手段。這種將計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)原理結(jié)合的方法，不僅將數(shù)學(xué)原理具體化，而且還實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用與擴(kuò)展。

1　預(yù)備知識(shí)

引理1[21]設(shè){xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2>0，若記

則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有

(1)

因?yàn)?/p>

E(Xi)=0,Var(Xi)=σ2

所以有

Var(Xn-μ)=σ2=-φ″(0)+φ″(0)2

由特征函數(shù)的性質(zhì)可得：

φ′(0)=0,φ″(0)=-σ2

又因?yàn)樘卣骱瘮?shù)有展開式

知

故(1)式得證，引理1證明完畢。

只假設(shè){Xn}獨(dú)立同分布、方差存在，不管原來的分布是什么，只要當(dāng)n充分大時(shí)，Yn才近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，當(dāng)n較小時(shí)，此種近似不能保證。所以這個(gè)定理有著廣泛的應(yīng)用[21]。

2　De Moivre-Laplace中心極限定理證明及模擬算法

2.1De Moivre-Laplace中心極限定理

設(shè)n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0

Xi～b(1,p)E(Xi)=0,Var(Xi)=σ2,i=1,2,…,n

且記

則對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有

(2)

證明存在n個(gè)相互獨(dú)立，服從同一0-1分布的諸隨機(jī)變量X1,X2,X3,…,Xn，其中Xi(i=1,2,…,n)的分布概率為P(Xi=i)=pi(1-p)1-i,i=0,1，因?yàn)?/p>

E(Xi)=p,Var(Xi)=p(1-p)

i=1,2,…,n

由林德伯格-萊維中心極限定理可得：

2.2De Moivre-Laplace中心極限定理的隨機(jī)模擬算法設(shè)計(jì)

(1)從計(jì)算機(jī)中產(chǎn)生100個(gè)b(100,0.9)二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)，記為x1x2x3,…,x100。

(2)計(jì)算

由De Moivre-Laplace中心極限定理知，可將y近似看成來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

(3)計(jì)算z=μ+σy，則可將z看成來自正態(tài)分布N(μ,σ2)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

(4)重復(fù)(1)～(3)k次，就可以得N(μ,σ2)分布的k個(gè)隨機(jī)數(shù)。

2.3De Moivre-Laplace中心極限定理的隨機(jī)模擬流程圖以及程序

De Moivre-Laplace中心極限定理隨機(jī)模擬流程圖如圖1所示。

圖1　De Moivre-Laplace中心極限定理隨機(jī)模擬流圖

根據(jù)流程圖1，編寫程序如下：

clear all;

m=20000000; % m；運(yùn)行次數(shù)

mu=2;

sigma=5;

z=zeros(1,n);

n=100;

p=0.9;

k=100;%隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)

for i=1:n

x=binornd(n,p,1,k);

y=(sum(x(1,:))-k*n*p)

/sqrt(k*n*p*(1-p));

z(i)=mu+sigma*y;

end

zmin=min(z);

zmax=max(z);

t=linspace(zmin,zmax,100);

zz=hist(z,t);

zz=zz/length(z)/((zmax-zmin)/100);

plot(t,zz,′r′)

hold on;

xxx=-30:0.1:30;

yyy=normpdf(xxx,mu,sigma);

plot(xxx,yyy);

h=legend(′二項(xiàng)分布′,′正態(tài)分布′,1);

for i=1:k

e(i)=abs(yyy(i)-zz(i));% 絕對(duì)值誤差

end

E1=max(e)% 最大模誤差

E2=norm(e,2)%平方誤差

在參量n=100,p=0.9下m=200 000,m=2 000 000,m=2 500 000的運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

圖2　不同運(yùn)行次數(shù)下的運(yùn)行結(jié)果

2.4De Moivre-Laplace中心極限定理隨機(jī)模擬圖象誤差分析

要實(shí)現(xiàn)De Moivre-Laplace中心極限定理的模擬，關(guān)鍵在于盡可能多地進(jìn)行抽樣試驗(yàn)，為了解決這一問題，本文在MATLAB R2013a軟件環(huán)境下產(chǎn)生服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)代替現(xiàn)實(shí)中的抽樣試驗(yàn)，由De Moivre-Laplace中心極限定理可知：對(duì)其隨機(jī)模擬的運(yùn)行結(jié)果產(chǎn)生影響的變量只有三個(gè)，即運(yùn)行次數(shù)m，二項(xiàng)分布中n和p。對(duì)此，從變量m、n、p的取值角度出發(fā)，討論對(duì)De Moivre-Laplace中心極限定理的隨機(jī)模擬圖象誤差分析，當(dāng)n=100,p=0.9時(shí)改變模擬次數(shù)m，隨機(jī)模擬De Moivre-Laplace中心極限定理數(shù)值分析比較見表1。

表1　不同m下的誤差

由圖2可知，隨著運(yùn)行次數(shù)的增大，De Moivre-Laplace中心極限定理隨機(jī)模擬圖像效果愈加顯著，二項(xiàng)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布重合愈緊密；由表1的二項(xiàng)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖形之間誤差分析也說明了圖2結(jié)果。

隨機(jī)模擬運(yùn)行次數(shù)m=2×106，在n取值一定(或p取值一定)，改變p的取值(或改變n的取值)隨機(jī)模擬De Moivre-Laplace中心極限定理的數(shù)值分析見表2。

表2　隨n和p變化的誤差分析

由表2給出的計(jì)算誤差可知，在隨機(jī)模擬次數(shù)m和二項(xiàng)分布某個(gè)事件發(fā)生概率p一定的情況下，增加進(jìn)行二項(xiàng)分布樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)n，可減少De Moivre-Laplace中心極限定理隨機(jī)模擬圖像的誤差；同理，在隨機(jī)模擬次數(shù)m和進(jìn)行二項(xiàng)分布樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)n一定的情況下，增加二項(xiàng)分布某個(gè)事件發(fā)生概率p，可減De Moivre-Laplace中心極限定理隨機(jī)模擬圖像的誤差。但是，也出現(xiàn)某些點(diǎn)的誤差隨著二項(xiàng)分布樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)n和二項(xiàng)分布某個(gè)事件發(fā)生概率p的增大反而略有變大的情況，這主要是由于蒙特卡羅方法在本質(zhì)上屬于一種非確定性的方法，并且De Moivre-Laplace中心極限定理進(jìn)行的是隨機(jī)模擬，從而會(huì)顯示出一定的隨機(jī)性。

3　結(jié)論

(1)在分析De Moivre-Laplace中心極限定理的隨機(jī)模擬圖像后發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)模擬的運(yùn)行次數(shù)m，二項(xiàng)分布中n和p這三個(gè)因素對(duì)于二項(xiàng)分布的正態(tài)近似都有一定程度的影響。分別增加運(yùn)行次數(shù)m，二項(xiàng)分布中n和p，都可以減少二項(xiàng)分布近似正態(tài)分布的誤差，但由于蒙特卡羅方法本質(zhì)上屬于一種非確定性方法，因而在分析隨機(jī)模擬圖像某些點(diǎn)的誤差時(shí)，分別增加運(yùn)行次數(shù)m、二項(xiàng)分布中n和p誤差反而增大。

(2)基于蒙特卡羅方法的基本思想，通過產(chǎn)生的正態(tài)隨機(jī)數(shù)，在MATLAB環(huán)境下隨機(jī)模擬中心極限定理，把傳統(tǒng)教學(xué)中無法實(shí)現(xiàn)的大量實(shí)驗(yàn)變成現(xiàn)實(shí)，從而把原本抽象難懂的知識(shí)變得直觀具體，易于理解。在計(jì)算機(jī)的幫助下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、分析理論、總結(jié)規(guī)律，也實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用與擴(kuò)展，它體現(xiàn)了將數(shù)學(xué)視為一門“試驗(yàn)科學(xué)”的思想。

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Random Simulation of De Moivre-Laplace Central Limit Theorem

REN Li，LI Shunchu

(Institute of Applied Mathematics, College of Science, Xihua University, Chengdu 610039, China)

Based on De Moivre-Laplace Central Limit Theorem, first, this paper gives a theoretical proof on the theorem by characteristic function and Lindeberg- Levy Theorem. Second, this paper explains and simulates the relationship between normal distribution and binomial distribution by using MATLAB software, and then analyzes the error for the image that is produced by the MATLAB software. Last, prove that the numerical result and the analysis result are consistent. By these two different angles of argument, this paper gives the intuitive explanation and illustration of Moivre-Laplace De central limit theorem. This method combined mathematical experiment and mathematical principles, not only makes mathematical principles specific, easy to understand and practice, but also extends the application of the mathematical principles and computer software.

De Moivre-Laplace Central Limit Theorem; normal distribution; binomial distribution; random simulation; error analysis

2016-01-03

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(12ZA164)

任麗(1991-)，女，四川南充人，碩士生，主要從事微分方程及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)15208416930@163.com;

李順初(1963-)，男，湖北黃岡人，教授，主要從事微分方程及其應(yīng)用、油氣藏工程、滲流力學(xué)方面的研究，(E-mail)lishunchu@163.com

1673-1549(2016)02-0080-05

10.11863/j.suse.2016.02.16

O021；O024

A