基礎階段幾類分式方程的常見解法

☉湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學　劉芃德

基礎階段幾類分式方程的常見解法

☉湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學劉芃德

在基礎教育階段，解方程的思想主要是：高次降次、多元消元、分式方程整式化、無理方程有理化.在初中階段，分母里含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.其中解分式方程的基本思想是整式化，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產生增根（使得最簡公分母為0的未知數(shù)的值我們稱之為增根），所以在求出未知數(shù)的值后必須驗根.

分式方程的具體解法的步驟為：

（1）去分母（方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程）；

（2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

（3）驗根，把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個根就是增根.否則這個根就是原分式方程的根.

解分式方程常見的方法有：常規(guī)方法、換元法、因式分解法、部分分式法、通分或整體通分法、分離常數(shù)法等.

則四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2.

則GE2=CG2+BE2-CB2=73.則GE=

【溯源】八年級上冊P53活動2用全等三角形研究“箏形”，本題是在本活動的基礎上通過一般化與拓展應用，把活動與問題鏈接起來，形成了一道遷移性較好的題目.

【賞析】本題是一道數(shù)學味濃郁的幾何題，首先通過一句精煉的現(xiàn)場性定義，然后設置三個臺階“概念理解—性質探究（猜想與證明）—問題解決”，步步深入，把三種語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的轉換，合情推理與邏輯推理（結論的猜想與證明）的結合，以及結論的遷移性應用融為一體，成為考查圖形核心知識、技能及推理等綜合素養(yǎng)的好題目.其中（1）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據(jù)獲得的垂美四邊形的性質、勾股定理，結合（2）的結論計算即得.三個問題一脈相承，關聯(lián)密切，是基于教材、高于教材的創(chuàng)新題.

以上各題的背景材料直接取自于教材，但通過命題專家的適度改造與創(chuàng)新，成為一道道靚麗的風景，同時成為中考場上能力立意的好題目，既有效考量了考生，又給了我們教學的優(yōu)質素材，探研之余享受到題目帶來的愉悅，有余味悠長之感，這正是我們期盼的命題方向.

一、常規(guī)方法解分式方程

分析：此題用分式方程一般的解法就可以，兩個分母分別為x，x+3，所以它們的最簡公分母M=x（x+3），分式方程的兩邊同時乘以最簡公分母M即可化為整式方程.

解：將分式方程的兩邊同時乘以M=x（x+3），可得2（x+3）+x2=x（x+3），可得整理可得x-6=0，解得x=6.

檢驗：當x=6時，M=x（x+3）=18≠0，故x=6是原分式方程的解.

二、分離常數(shù)法解分式方程

將方程兩邊同時乘以（x+2004）（x+2006）（x+2007）· （x+2003），可得2（x+2005）（2004×2006-2007×2003）=0.

因為2004×2006-2007×2003≠0，所以x+2005=0，得x=-2005.

檢驗：當x=-2005時，因為（x+2004）（x+2006）（x+ 2007）（x+2003）≠0，所以x=-2005是原分式方程的解.

三、裂項相消法解分式方程

裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到簡化求和的目的.裂項相消法在求解分式方程中主要是將每一項裂成兩項，達到相關運算消除從而簡化求和運算.

分析：首先仔細觀察分式方程的特征，分母都是兩個一次式之積，并且它們之間的差都是1，而分子正好是1，所以可以裂項相消，裂項是手段，而相互抵消是目的.

分析：此題用分式方程一般的解法就可以，兩個分母分別為x2-1與x-1，所以它們的最簡公分母M=x2-1，分式方程的兩邊同時乘以最簡公分母M即可化為整式方程.

解：將分式方程的兩邊同時乘以最簡公分母M=x2-1，可得6-3（x+1）=x2-1，整理可得x2+3x-4=0，解得x1=-1，x2=4.

檢驗：當x=-1時，M=x2-1=0，所以x=-1是增根，不合題意，舍去；當x=4時，M=x2-1≠0，所以x=4是原分式方程的解.

綜上所述：x=4是原分式方程的解.

將方程兩邊同時乘以（x+1999），可得x+1999=-1，解得x=-2000.

檢驗：當x=-2000時，因為（x+1999）≠0，所以x=-2000是原分式方程的解.

注：如果分子不是1，而是其他的常數(shù)a（a≠1），那么這種方法依然可行.

四、取倒數(shù)解分式方程

解：對這三個方程先取倒數(shù)，可得：

五、換元法解分式方程

換元法就是用一個簡單的字母去代表相同的較為復雜的代數(shù)式，從而達到簡化的目的，用換元法的時候一定要注意還原，將引入的某些字母參量還原成與題目有關的參量.

分析：觀察方程分母是三個二次式，x2+11x-8，x2+ 2x-8，x2-13x-8，不難發(fā)現(xiàn)這三個二次式都含有相同部分x2-8，則可用換元法來解方程，兩種不同的換元形式，x2-8=a，x2-13x-8=a，兩種不同的換元形式我們都看一下.

檢驗：當x=±1或x=±8時，因為（x2+11x-8）（x2+2x-8）· （x2-13x-8）≠0，所以x=±1，x=±8是原分式方程的解.

檢驗：當x=±1或x=±8時，因為（x2+11x-8）（x2+2x-8）· （x2-13x-8）≠0，所以x=±1，x=±8是原分式方程的解.

解法一和解法二雖然在換元的處理方法上略有不同，但是殊途同歸.

以上是基礎教育階段幾種分式方程的典型解法，相信只要認真分析每個分式方程所屬類型和找尋它們內在的聯(lián)系與規(guī)律，通過適當?shù)姆椒?，再難的分式方程都能夠迎刃而解.