北京中考數(shù)學(xué)“新定義”試題解題策略——直觀中有邏輯，邏輯中有直觀

☉北京師范大學(xué)附屬中學(xué)　毛玉忠

北京中考數(shù)學(xué)“新定義”試題解題策略——直觀中有邏輯，邏輯中有直觀

☉北京師范大學(xué)附屬中學(xué)毛玉忠

自2012年以來，北京中考數(shù)學(xué)試題中每年都有以“新定義”為背景的代數(shù)與幾何綜合性試題，且放在試卷最后，突出考查學(xué)生獲取知識的過程及學(xué)生的綜合解題能力，涉及數(shù)形結(jié)合及分類討論思想，對考生分析與解決問題的能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求很高，達(dá)到了對高端考生選拔的目的.

這類試題的出現(xiàn)，除了達(dá)到對高端考生的選拔目的，也凸顯了“以考促教”的策略，反映時代對數(shù)學(xué)教育改革的要求，追求對學(xué)科本質(zhì)的考查，突出對創(chuàng)新精神和實踐能力的考查，不斷滲透新課程理念，有利于促進(jìn)教師教學(xué)理念的更新與實踐的不斷深入.

一、試題的幾種解法

題目：（2016年北京中考數(shù)學(xué)第29題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的坐標(biāo)為（x1，y1），點Q的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點P、Q的“相關(guān)矩形”.圖1為點P、Q的“相關(guān)矩形”的示意圖.

（1）已知點A的坐標(biāo)為（1，0），

①若點B的坐標(biāo)為（3，1），求點A、B的“相關(guān)矩形”的面積；

圖1

圖2

解：（1）①如圖2，矩形AEBF為點A（1，0）、B（3，1）的“相關(guān)矩形”.

可得：AE=2，BE=1.

則點A、B的“相關(guān)矩形”的面積為2.

②由點A（1，0），點C在直線x=3上，點A、C的“相關(guān)矩形”AECF為正方形（如圖3），可得AE=2.

圖3

當(dāng)點C在x軸上方時，CE=2，可得C（3，2），則直線AC的表達(dá)式為y=x-1.

當(dāng)點C在x軸下方時，CE=2，可得C（3，-2），則直線AC的表達(dá)式為y=-x+1.

（2）解法1：由點M、N的“相關(guān)矩形”為正方形，可得直線MN的表達(dá)式為y=x+b或y=-x+b.

①當(dāng)直線MN的表達(dá)式為y=x+b時，可得m=3-b.

圖4

圖5

由圖可知（如圖4）當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第四象限時，b取得最小值，此時直線MN記為M1N1，其中N1為切點T1為直線M1N1與y軸的交點.

由△ON1T1為等腰直角三角形（如圖5）ON1=，得OT1=2.

則b的最小值為-2.

故m的最大值為5.

當(dāng)直線MN平移至與⊙O相切，且切點在第二象限時，b取得最大值，此時直線MN記為M2N2，其中N2為切點，T2為直線M2N2與y軸的交點.

同理可得：b的最大值為2，m的最小值為1.

故m的取值范圍為1≤m≤5.

②當(dāng)直線MN的表達(dá)式為y=-x+b時，同理可得：m的取值范圍為-5≤m≤-1.

綜上所述，m的取值范圍為-5≤m≤-1或1≤m≤5.

解法2：根據(jù)題意，滿足條件的M、N兩點一定都在同一直線y=x+b或y=-x+b上.

當(dāng)m＞0時，切點N1、N2在直線y=-x上，則N1（1，-1）、N2（-1，1）.代入y=x+b中，得直線y=x+2或y=x-2.將M（m，3）代入，得m=1或m=5，則1≤m≤5.

當(dāng)m＜0時，同理得-5≤m≤-1.

則m的取值范圍為：-5≤m≤-1或1≤m≤5.

解法3：設(shè)N（x，y）.

由“相關(guān)矩形”為正方形，得|x-m|=|y-3|=3-y.

由x-m=3-y，得m=x+y-3.

由點N（x，y）滿足：x2+y2=2，得（x+y）2=x2+y2+2xy=2+ 2xy≤2+（x2+y2）=4.

則-2≤x+y≤2，即-5≤x+y-3≤-1.則-5≤m≤-1.

由x-m=-（3-y），得m=x-y+3.

同理得：1≤m≤5.

則m的取值范圍為：-5≤m≤-1或1≤m≤5.

解法4：設(shè)N（x，y）.

由點M、N的“相關(guān)矩形”為正方形，得|x-m|=|y-3|.

由y＜3，得|x-m|=3-y.

消去x得2y2-2（m+3）y+（m+3）2-2=0.

則△=［2（m+3）］2-8［（m+3）2-2］≥0.

即（m+3）2≤4，解得-5≤m≤-1.

當(dāng)|x-m|=m-x時，同理，得1≤m≤5.

則m的取值范圍為：-5≤m≤-1或1≤m≤5.

一種典型錯解：設(shè)N（x，y）.

由“相關(guān)矩形”為正方形，得|x-m|=|y-3|=3-y.

點評：解法1和解法2是在結(jié)合圖形情況下，通過幾何直觀得出：要使“點M、N的相關(guān)矩形是正方形”，則直線MN與x軸的夾角為45°，即直線MN是由直線y=±x平移得到的，這樣通過分類討論的方法可得出m的取值范圍.

解法3和解法4是根據(jù)條件“點M、N的相關(guān)矩形是正方形”得出：鄰邊相等，即|x-m|=|y-3|這一結(jié)論的情況下，再根據(jù)點N在圓x2+y2=2上這一特征，通過分類討論及不等式性質(zhì)或方程組的有解性推理而得出m的取值范圍，這需要學(xué)生有很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能做到.

錯解也是一種典型的做法，是介于上面兩類做法之間但又忽視x與y之間的相關(guān)性的做法.

二、由試題看解題策略

縱觀自2012年以來北京中考數(shù)學(xué)的“新定義”試題，其設(shè)計題目及解決問題的基本模式不變，即：

第一步，結(jié)合圖形通過解答來初步認(rèn)識“新定義”中的數(shù)學(xué)問題；

第二步，通過進(jìn)一步解答特殊的數(shù)學(xué)問題來形成初步方法或結(jié)論；

第三步，利用第二步形成的方法或結(jié)論，應(yīng)用其解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

這類試題是以幾何圖形為背景蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系來考查學(xué)生如何運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的.既然是解決“數(shù)學(xué)問題”，筆者認(rèn)為，要使得學(xué)生能夠順利地達(dá)到解決這類試題的能力，關(guān)鍵在于教學(xué)中如何養(yǎng)成借助于“幾何直觀”形成結(jié)論，然后應(yīng)用結(jié)論達(dá)到解決問題的能力，即“直觀中有邏輯，邏輯中有直觀”的解題理念和方法，在圖形問題中要有“數(shù)量意識”和數(shù)量問題中要有“圖形意識”，通過幾何直觀形成“數(shù)形結(jié)合”能力.

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果”.圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于理解和記憶得到的結(jié)果.即圖形把困難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀?，把抽象的?shù)學(xué)問題變簡單.

初中階段的數(shù)學(xué)在設(shè)計和解決這類“新定義”試題時，要從幾何直觀出發(fā)，對問題的設(shè)計關(guān)注它的梯度——層層誘導(dǎo)，先通過特殊點結(jié)合圖形認(rèn)識數(shù)學(xué)問題；然后進(jìn)一步來解決特殊化的數(shù)學(xué)問題，這一步驟是問題解決的核心部分，其主要是借助于幾何圖形直接產(chǎn)生結(jié)論或方法的，不需要嚴(yán)格的推理論證；最后利用上述形成的結(jié)論或方法來解決后面的數(shù)學(xué)問題，這就是“直觀中有邏輯，邏輯中有直觀” 的解題策略.幾何直觀與“邏輯推理”也是密不可分的，幾何直觀通常是靠邏輯支撐的，它不僅僅是看到了什么，而且是通過看到的圖形思考到了什么，想象到了什么，這是數(shù)學(xué)非常重要有價值的思維方式.利用幾何直觀會把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ).

總之，圖形可以幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀?，把抽象的?shù)學(xué)問題變簡單，對于數(shù)學(xué)研究是這樣，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此，學(xué)會用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力.這種幾何直觀能力使我們更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀對數(shù)學(xué)都是重要的，他們也是相互交織、關(guān)聯(lián)的，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀.

參考文獻(xiàn)：

1.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀.

2.毛玉忠.學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度認(rèn)識數(shù)學(xué)——從北京中考數(shù)學(xué)壓軸題看初中數(shù)學(xué)課堂能力的培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.