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    n!的質(zhì)因數(shù)分解的新發(fā)現(xiàn)

    2016-09-07 07:29:36趙云平滇西科技師范學(xué)院數(shù)理系云南臨滄677099
    關(guān)鍵詞:質(zhì)因數(shù)數(shù)論合數(shù)

    趙云平(滇西科技師范學(xué)院數(shù)理系,云南 臨滄 677099)

    n!的質(zhì)因數(shù)分解的新發(fā)現(xiàn)

    趙云平
    (滇西科技師范學(xué)院數(shù)理系,云南 臨滄 677099)

    n!的質(zhì)因數(shù)分解是高斯函數(shù)(或取整函數(shù))在初等數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用,針對(duì)n!的質(zhì)因數(shù)分解作了初步探討,通過(guò)實(shí)例給出n!的質(zhì)因數(shù)分解中質(zhì)因數(shù)指數(shù)的一種簡(jiǎn)潔求法。

    n??;質(zhì)因數(shù);指數(shù);分解

    0 引言

    把一個(gè)大于1的整數(shù)N分解成質(zhì)因數(shù)的乘積,要找出它所有的質(zhì)因數(shù),首先找出的質(zhì)數(shù),再判斷這些質(zhì)數(shù)是不是N的質(zhì)因數(shù),最后把它寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式,這個(gè)工作量是非常大的。但是對(duì)于一類特殊的問(wèn)題來(lái)說(shuō),把它分解成質(zhì)因數(shù)的乘積會(huì)比較容易一些,是什么樣的數(shù)呢?就是這個(gè)階乘。我們要討論階乘的分解,就要用到函數(shù)[X],下面我們先來(lái)認(rèn)識(shí)一些相關(guān)概念及結(jié)論。

    1 預(yù)備知識(shí)[1-5]

    定義1:在大于1的整數(shù)中,若某數(shù)p除了1和它本身以外沒(méi)有其它的因數(shù),這種整數(shù)叫做質(zhì)數(shù),也稱為素?cái)?shù)。否則稱為合數(shù)。

    定義2:把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)乘積的形式,其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù),叫做這個(gè)合數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)只針對(duì)合數(shù)。

    定義3:若X∈R,函數(shù)[X]的值是不超過(guò)X的最大整數(shù),我們把[X]叫做方括號(hào)函數(shù)或高斯函數(shù),它是X的整數(shù)部分。

    定理1:如果a是大于1的整數(shù),則a的除1以外最小的正因數(shù)p一定是質(zhì)數(shù),并且當(dāng)a為合數(shù),。

    證明:因?yàn)閍是大于1的整數(shù),所以大于1的正因數(shù)一定存在,a本身就是一個(gè)。下面證明第1個(gè)結(jié)論:a的除1以外最小的正因數(shù)p一定是質(zhì)數(shù),我們用反證法。

    若p不是質(zhì)數(shù),p就是合數(shù),則p=p1p2,2≤p1,p2≤p,1<p1<p,且p1p,又因?yàn)閜是a的因數(shù),有p a,所以p1a,又p是大于1的,與p是a的大于1的最小正因數(shù)矛盾,所以p一定是質(zhì)數(shù)。

    因?yàn)閍是合數(shù),設(shè)a=a1p,且a1<1,p≤a1,p2≤ a1p=a,。

    定理2(算術(shù)基本定理):任一大于1的整數(shù)a能表示成質(zhì)數(shù)的乘積,即a<1,則a=p1,p2,…,pn,p1≤p2≤…≤pn,其中p1是質(zhì)數(shù),p1為a的質(zhì)因數(shù)。

    [注意]

    推論1:任一大于1的整數(shù)a能夠唯一地寫成a=p1a1,p2a2,…,pkak(稱為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式),ai>0,i= 1,2,…,k。其中pi<pj(i<j)。

    [注意]

    n!=1×2×…×n,故小于等于n的質(zhì)因數(shù)在n!中一定出現(xiàn)。

    2 n!的質(zhì)因數(shù)分解的步驟

    第一,先找≤n的所有質(zhì)數(shù),即先寫出1到n的所有正整數(shù),找到的質(zhì)數(shù),在1到n的數(shù)中首先劃掉1,再劃掉的這些質(zhì)數(shù)的倍數(shù),剩下的就是n以內(nèi)的質(zhì)數(shù);

    第二,應(yīng)用定理3計(jì)算各質(zhì)因數(shù)的指數(shù);

    第三,若質(zhì)因數(shù)pi對(duì)應(yīng)的指數(shù)為ai,則

    n!=p1a1,p2a2,…,prar

    例如算20!的質(zhì)因數(shù)分解。

    方法一:

    分析:因?yàn)?0!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11× 12×13×14×15×16×17×18×19×20,故不超過(guò)20的質(zhì)數(shù)在20!的質(zhì)因數(shù)分解式中一定出現(xiàn)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù),去掉1,質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19保留,接下來(lái)把剩余合數(shù)4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20用質(zhì)因數(shù)分解的常規(guī)方法——短除法進(jìn)行分解,就是先用一個(gè)合數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)去除這個(gè)合數(shù),得出的數(shù)若是一個(gè)質(zhì)數(shù),就把這個(gè)合數(shù)寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式;剩余若仍然是一個(gè)合數(shù),就繼續(xù)按原來(lái)的方法分解,直至最后是一個(gè)質(zhì)數(shù),短除法就結(jié)束。如,合數(shù)4,它的最小質(zhì)數(shù)是2,4=2×2;合數(shù)6,它的最小質(zhì)數(shù)是2,6=2×3;合數(shù)8,它的最小質(zhì)數(shù)是2,8=2×4,4再可以分解,8=2×2×2;合數(shù)9,它的最小質(zhì)數(shù)是3,9=3×3;類似的10=2×5,12=2×2×3,14=2×7,15=3×5,16=2×2×2×2,18=2×3×3,20=2×2× 5。

    綜上,20!=2×3×2×2×5×2×3×7×2×2×2×3×3×2× 5×11×2×2×3×13×2×7×3×5×2×2×2×2×17×2×3×3× 19×2×2×5

    20!=218×38×54×72×11×13×17×19

    從計(jì)算上看,方法一比較繁瑣,當(dāng)合數(shù)增大時(shí)計(jì)算量隨之增大,故此方法只適用于不太大的合數(shù),特別是對(duì)于n!這類特殊的數(shù),不建議使用此方法。

    方法二:

    分析:將不超過(guò)20的正整數(shù)排列如下

    12345678910

    11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

    先找≤20的質(zhì)數(shù),即先找≤<5的質(zhì)數(shù),有2和3,首先把1劃去,然后從1至20的數(shù)中劃去2和3的倍數(shù),剩下的就是20以內(nèi)的質(zhì)數(shù):

    故≤20的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19,下面分別計(jì)算2、3、5、7、11、13、17、19的指數(shù)。

    2的指數(shù)

    3的指數(shù)

    5的指數(shù)

    7的指數(shù)

    11的指數(shù)

    13的指數(shù)

    17的指數(shù)

    19的指數(shù)

    所以20!=218×38×54×72×11×13×17×19

    從指數(shù)計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)∶,依此類推,可以推廣到有限個(gè)的情形。

    則上述例題中指數(shù)的求法如下:

    5的指數(shù)

    這種新方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要計(jì)算pr,只需在上一結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算,特別對(duì)于p和r太大時(shí),此方法可大大減少計(jì)算量;缺點(diǎn)在于,由于下一步的操作是在前一步的基礎(chǔ)上進(jìn)行,一旦前一步發(fā)生錯(cuò)誤,就會(huì)出現(xiàn)連帶作用,以致后面的結(jié)果也是錯(cuò)誤的,所以希望大家用此方法時(shí)確保每一步準(zhǔn)確無(wú)誤,避免計(jì)算的損失。

    總之,方法二較方法一而言,方法更簡(jiǎn)捷直接,不需要重復(fù)計(jì)算,對(duì)質(zhì)因數(shù)指數(shù)的計(jì)算一步到位,方法二更適用于n!的質(zhì)因數(shù)分解。

    3 結(jié)語(yǔ)

    質(zhì)因數(shù)分解包含了對(duì)質(zhì)因數(shù)的認(rèn)識(shí)及對(duì)因數(shù)分解的掌握兩個(gè)基本內(nèi)容,文章雖然重點(diǎn)討論n!的質(zhì)因數(shù)分解,但是對(duì)于任何大于1的整數(shù)N的質(zhì)因數(shù)分解也是類似的,不同的是,不用找出≤N的所有質(zhì)數(shù),只需篩選出的質(zhì)數(shù)之后,判斷這些質(zhì)數(shù)是不是N的因數(shù),更多相關(guān)的問(wèn)題有待進(jìn)一步探討。

    [1]潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京大學(xué)出版社,2002:48-60.

    [2]閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].3版.北京:高等教育出版社,2003:14-23.

    [3]課程教材研究所.初等數(shù)論[M].北京:人民教育出版社,2006:50-61.

    [4]胡典順,徐漢文.初等數(shù)論[M].北京:科學(xué)出版社,2010:2-25.

    [5]邊紅平.初等數(shù)論[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2007:10-13.

    ANew Discovery of Prime Factorizations of n!

    ZHAO Yun-ping
    (DepartmentofMathematics,DianxiScienceandTechnologyNormalUniversity,Lincang,Yunnan677099,China)

    The prime factorizations of n!is an application of Gaussian function(or rounding function)[x]in elementary number theory.In view of the n!,the paper examines a preliminary discussion of the prime factors decomposition and put forward a simplified solution of prime factors index in the decomposition of prime factor of n!through specific examples.

    n?。籔rime Factors;Index;Decomposition

    O156.2

    A

    1673-1891(2016)02-0021-03

    10.16104/j.issn.1673-1891.2016.02.006

    2016-03-24

    趙云平(1982—),女,云南臨滄人,碩士,講師,研究方向:基礎(chǔ)數(shù)學(xué)數(shù)論應(yīng)用,運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃,數(shù)值代數(shù)。

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