例說(shuō)數(shù)學(xué)解題中的幾招

徐龍青

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)，225126)

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例說(shuō)數(shù)學(xué)解題中的幾招

徐龍青

(江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)，225126)

數(shù)學(xué)是客觀世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映,矛盾與對(duì)立不斷地處于轉(zhuǎn)變與統(tǒng)一之中,轉(zhuǎn)變是簡(jiǎn)化題意的重要手段,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一把利劍．在解題中巧妙使用轉(zhuǎn)變,常常會(huì)起到“山窮水復(fù)疑無(wú)路,柳暗花明又一春”的效果.下面舉幾例與大家共賞．

第1招把未知變?yōu)橐阎?/p>

解決問(wèn)題的突破口是找到“問(wèn)題”與“條件”間的橋梁．

第2招把陌生變?yōu)槭煜?/p>

把需要解決的問(wèn)題從一個(gè)陌生的情境轉(zhuǎn)變到熟悉的情境．

例2若存在a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

如果我們直接根據(jù)題目條件求實(shí)數(shù)x的取值范圍，比較困難，故從另一角度出發(fā)，考慮問(wèn)題.這道題中命題“存在a∈[1,3]使得不等式ax2+(a-2)x-2>0成立”的否定是“對(duì)于任意a∈[1,3],使得不等式ax2+(a-2)x-2≤0成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍．”接著再變?yōu)椤皩?duì)于任意a∈[1,3],使得(x2+x)a-2x-2≤0成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍．”從而看作關(guān)于a的函數(shù)，使問(wèn)題輕易獲得解決．

第3招把復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單

換個(gè)角度看問(wèn)題,別有一番收獲．

例3如圖1所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=2,F是CD的中點(diǎn),求三棱椎B-A1DF 的體積．

如果直接以?A1DF為底面,B點(diǎn)到平面A1DF的距離(高)較為復(fù)雜．可以這樣轉(zhuǎn)變:在三棱錐中，取?BDF為底，A1為頂點(diǎn)，顯然底?BDF面積易求，高為頂點(diǎn)A1到平面ABCD的距離，即A1A.這因?yàn)橹本€(xiàn)A1B1∥直線(xiàn)DF,所以直線(xiàn)A1B1∥平面A1DF,三棱錐B-A1DF的體積等于三棱錐A1-BDF的體積.

第4招把抽象變?yōu)榫唧w

變抽象為具體非常符合人的認(rèn)知規(guī)律,“走兩步”探索一下,感覺(jué)就來(lái)了．

例4已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足

則a20等于______.

第5招把一般變?yōu)樘厥?/p>

從特殊到一般,從具體到抽象是研究數(shù)學(xué)的一種基本方法,在一般情況下難以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,在特殊條件下比較容易發(fā)現(xiàn).在一般情況下得出的結(jié)論、方法在特殊情形下自然成立,所以特殊和一般之間的轉(zhuǎn)變可以用來(lái)驗(yàn)證命題的正確性,探索解的途徑．

第6招把數(shù)量變?yōu)閳D形

這是一種重要的,并被廣泛使用的方法．大量數(shù)式問(wèn)題潛在著圖形背景,借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法．有時(shí)畫(huà)一個(gè)圖形給問(wèn)題的幾何直觀描述,從數(shù)與形的結(jié)合中易于找出問(wèn)題的邏輯關(guān)系．

例5關(guān)于x的方程|x2-4x+3|-a=x有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的值是______.

此方程有三個(gè)根的問(wèn)題可轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)y=|x2-4x+3|與y=x+a圖象有三個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題．

第7招把實(shí)際問(wèn)題變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題

用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題,用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題．

例6兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面,先到者等候另一人20分鐘,過(guò)時(shí)離去,求兩人能會(huì)面的概率．

本題是有名的“會(huì)面問(wèn)題”．因?yàn)閮扇苏l(shuí)也沒(méi)有講好確切的時(shí)間,故樣本點(diǎn)由兩個(gè)數(shù)(甲、乙兩人各自到達(dá)的時(shí)刻)組成,有序數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)于平面上的點(diǎn)．因兩人在7點(diǎn)到8點(diǎn)間到達(dá)是等可能的,所以可把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題變?yōu)閿?shù)學(xué)中的幾何概型問(wèn)題，從而問(wèn)題得以解決．

從以上案例可以看出,轉(zhuǎn)變的本質(zhì)特征是知識(shí)和方法的遷移.這種遷移受一定條件的制約,從學(xué)習(xí)方法和認(rèn)識(shí)規(guī)律來(lái)說(shuō),我們要從哪些方面著手為聯(lián)想與轉(zhuǎn)變創(chuàng)造條件呢?

(1)知識(shí)的容量要大,要注意知識(shí)間的聯(lián)系與演變,不斷開(kāi)拓思路,不斷收集相關(guān)信息、積累聯(lián)想、轉(zhuǎn)變的實(shí)例．

(2)逐步掌握數(shù)學(xué)的基本思想方法,由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,由低級(jí)向高級(jí)、由模仿到創(chuàng)新．聯(lián)想與轉(zhuǎn)變通常以一定的技巧、技能作為它的存在形式,而技巧與技能的形式與數(shù)學(xué)思想方法關(guān)系密切.這樣做一方面有利于牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)又有利于思維品質(zhì)的優(yōu)化．

(3)在學(xué)習(xí)中貫徹意義學(xué)習(xí)的原則.所謂意義學(xué)習(xí)就是新知識(shí)與學(xué)習(xí)者頭腦中認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識(shí)建立非人為的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系；也就是說(shuō),學(xué)習(xí)活動(dòng)要以不斷發(fā)展和完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)為目的．

只要你掌握“變”的本質(zhì)與技巧,復(fù)雜的問(wèn)題將不再?gòu)?fù)雜,陌生的問(wèn)題將不再陌生，你會(huì)發(fā)現(xiàn),原來(lái)數(shù)學(xué)也這么精彩!