運(yùn)用整體思想巧解數(shù)學(xué)題

龔　勤

(湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)，414000)

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○解題研究○

運(yùn)用整體思想巧解數(shù)學(xué)題

龔勤

(湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)，414000)

有很多數(shù)學(xué)問(wèn)題,如果我們有意識(shí)地放大考察問(wèn)題的“視角”,往往能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中隱含的某個(gè)“整體”,利用這個(gè)“整體”對(duì)問(wèn)題實(shí)施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化,常常能使問(wèn)題快速獲解.一般地,我們把這種從整體觀點(diǎn)出發(fā),通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題思想方法,稱為整體思想方法.它是通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu),并對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問(wèn)題獲解的一種方法.運(yùn)用整體思想,可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維障礙,可以使繁難的問(wèn)題得到巧妙的解決．它是數(shù)學(xué)解題中一個(gè)極其重要而有效的策略,是提高解題速度的有效途徑．

一、整體補(bǔ)形

(A)40(B)80

(C)160(D)240

分析若按常規(guī)方法利用體積公式求解,底面積可用海倫公式求出,但頂點(diǎn)到底面的高無(wú)法作出,自然無(wú)法求出．若能換個(gè)角度來(lái)思考,注意到三棱錐的有三對(duì)邊兩兩相等,若能把它放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中,則問(wèn)題不難解決．

解析把三棱錐P——ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG——FPDC,易知三棱錐P——ABC的各邊分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線．不妨令PE=x,EB=y,EA=z,則由已知，有

解得x=6,y=8,z=10.從而知

VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG

-VB-PDC-VA-FPC

=VAEBG-FPDC-4VP-AEB

=160.

二、整體補(bǔ)式

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．

解令A(yù)=sin220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°+sin250°+cos20° ·sin50°，則

A+B=2+sin70°,

①

②

三、整體構(gòu)形

例3已知 x,y,z∈(0,1),求證:

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

分析觀察到x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘積式,聯(lián)想到用面積公式．

四、整體代換

解設(shè)u=cosx+cosy,將已知式與待求式兩邊平方得

①

u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y．

②

①+②，得

因?yàn)?2≤2cos(x-y)≤2,

點(diǎn)評(píng)利用整體代換構(gòu)建不等式也是求解此類(lèi)問(wèn)題的最基本的方法．

分析按照常規(guī)思路,只需求出直線P1P2的斜率k,待定系數(shù)法寫(xiě)出直線P1P2的點(diǎn)斜式方程與橢圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程,其兩根為P1,P2兩點(diǎn)橫坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理可得關(guān)于k的方程,但運(yùn)算量較大．

解設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，則

兩式相減得

=0.

又P為P1P2中點(diǎn),

∴x1+x2=2,y1+y2=2，

當(dāng)x1=x2時(shí),直線不滿足條件,故所求的直線為2x+3y-5=0．

我們觀察與思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),著眼結(jié)構(gòu)的整體性,可以簡(jiǎn)化解題思路，有利于確定解題的突破口或者總體思路.在教學(xué)中,我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生全面考慮問(wèn)題,養(yǎng)成整體分析的思維習(xí)慣,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì),以優(yōu)化其數(shù)學(xué)素質(zhì)．

五、整體聯(lián)想

分析由題設(shè)條件,易聯(lián)想到長(zhǎng)方體對(duì)角線的性質(zhì):長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱所成的角的余弦的平方和等于1,于是構(gòu)造長(zhǎng)方體解題．

證明如圖2,設(shè)以a,b,c為長(zhǎng),寬,高的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線AC1與過(guò)點(diǎn)A的三條棱AD,AB,AA1所成的角分別為α,β,γ.則

點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)解題,由于題目中的特殊的結(jié)構(gòu)形式,有時(shí)應(yīng)充分發(fā)揮類(lèi)比、聯(lián)想,合理構(gòu)造,從而起到簡(jiǎn)捷理想的解題效果．

思路整體聯(lián)想→發(fā)現(xiàn)原型→猜想論證.

故f (x)是周期函數(shù),且4a是它的一個(gè)周期.

解∵2a2=5-3a,2b2=5-3b且a≠b,所以a與b是方程2x2+3x-5=0的兩不相等實(shí)根,

代入化簡(jiǎn)后求得

評(píng)注本題求解關(guān)鍵是如何把握條件及結(jié)論的整體結(jié)構(gòu),構(gòu)造一元二次方程及利用根與系數(shù)的關(guān)系.

縱上所述,數(shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于單純的知識(shí)灌輸、就題論題.應(yīng)在知識(shí)與能力之間架設(shè)一座橋梁,使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西——數(shù)學(xué)思想,尤其是整體思想,才會(huì)有利于學(xué)生清除思維障礙,理解數(shù)學(xué)知識(shí),有利于巧妙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,發(fā)展創(chuàng)造性思維能力．