超級畫板支持下橢圓外切平行四邊形面積最值問題的探究和思考

鄧　城

(廣東省廣州市增城區(qū)增城中學，511300)

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○數(shù)學探究○

超級畫板支持下橢圓外切平行四邊形面積最值問題的探究和思考

鄧城

(廣東省廣州市增城區(qū)增城中學，511300)

圓錐曲線中涉及的面積問題由于圖形變化多樣，曲線和直線的方程復雜,造成面積難以測量或計算,導致研究面積最值主要靠畫圖猜想,再加以嚴格證明,這樣使得研究的難度增大.而在超級畫板的支持下,面積的大小可以精準測量,且能夠隨著圖形的變化動態(tài)顯示面積的數(shù)值,方便確定面積最值大小，發(fā)現(xiàn)取到最值時圖形的幾何特征,進而得到新的數(shù)學猜想,并且在超級畫板的幫助下容易尋找到證明的突破口.筆者借助超級畫板,對橢圓外切平行四邊形的面積最值問題進行了研究探索,得到了若干性質(zhì)結論,也對超級畫板支持下的解析幾何教學有了初步的認識與思考.

一、超級畫板支持下的探究發(fā)現(xiàn)

橢圓的外切平行四邊形是指四條邊均與橢圓相切的平行四邊形.顯然,一個確定的橢圓有無數(shù)個外切平行四邊形,且存在面積最

(1)真自主、真合作.知識可以傳承,但能力只有通過真真切切的親身體驗和感悟才能生成.教學中應盡可能地讓學生有更多的時間去自主探究,給學生機會交流,去展示最原始的、最火熱的思維過程．

(2)在問題設計過程中求真.在設計探究問題時要考慮問題的解決是否具有多角度、多方向性,考查學生的思維方法是否具有多樣性,反映學生的思維品質(zhì)是否具有多層次性．案例中的前三個問題,可以鍛煉了學生全面的、多角度的研究問題能力,特別是對問題1的三名同學不同視角的解釋,充分地展現(xiàn)了學生思維的靈活與機智;問題4中所得到的多個優(yōu)美不等式的探究成果,正是全體同學的積極參與,通過自主合作的集體智慧結晶;問題4、問題5的解決,有效地對“特殊與一般”、“有限與無限”、“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想方法進行了滲透．

3.高三數(shù)學復習的探究性教學中應充分挖掘數(shù)學之“美”

數(shù)學的美包括統(tǒng)一、和諧、簡潔、對稱、奇異、邏輯、嚴謹?shù)确矫妫覀兘處煈诮虒W中充分挖掘數(shù)學之美,以美啟真,調(diào)動學生的學習熱情,積極地參與思考,在探究中去感知、欣賞、應用和創(chuàng)造美.這樣做不僅讓學生陶冶了情操,還激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)了數(shù)學思維能力,促進"德"、"智"的協(xié)調(diào)發(fā)展．學生在問題1的解決中體驗了數(shù)形結合的和諧統(tǒng)一之美、數(shù)學問題解決的類比和簡潔之美;學生在問題4的探究中生成了一組優(yōu)美的不等式,賞析了數(shù)學的對稱美;學生在問題4(2)及問題5的解決中領略了數(shù)學的邏輯和應用之美;用詩歌和對聯(lián)對數(shù)學思想和方法加以總結,賦給了它們美的表現(xiàn)形式,使學生更樂于接受,同時也升華了數(shù)學思想．從教學反饋來看,效果很好．

小的外切平行四邊形，但最小值是多少以及何時取到最小值卻是值得思考的問題.然而由于橢圓的切線方程本身就難以處理,再加上涉及到的切線有四條,這使得平常教學和考試中基本不會出現(xiàn)與橢圓外切平行四邊形有關的問題.但在超級畫板的支持下,我們可以很方便地對其進行深入地研究,并能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的有趣性質(zhì).

探究1當A、B兩點為橢圓的上下頂點,即有切線EF和GH平行于x軸時,在橢圓上移動切點C、D,由超級畫板的測量功能容易發(fā)現(xiàn)當切線EG和FH平行于y軸時有外切平行四邊形的面積最小值為4ab=24,此時外切平行四邊形是個特殊的矩形.

探究2當過A、B兩點的切線EF和GH不平行于x軸時,外切平行四邊形的面積的最小值還是一樣嗎?借助超級畫板,筆者驚訝地發(fā)現(xiàn)當移動切點C、D到某個位置時面積有一樣的最小值24；并且通過取最值時的圖形特征容易猜測有CD∥EF,利用超級畫板的測量功能果真發(fā)現(xiàn)kCD=kEF(如圖2所示).

探究3改變橢圓的大小和切線的位置,借助超級畫板的動態(tài)測量功能發(fā)現(xiàn)橢圓外切平行四邊形面積的最小值仍然為4ab,且取到最值時的幾何特征仍然為CD∥EF.

有趣的是,若此猜想成立則容易發(fā)現(xiàn)面積取到最小值的外切平行四邊形有無數(shù)個,其中包括“探究1”中的特殊矩形.

二、猜想的證明

在超級畫板的支持下容易發(fā)現(xiàn)外切平行四邊形切點的位置變化導致了面積的變化,因此外切四邊形面積的表達可以考慮通過切點的坐標來表示,由外切平行四邊形的幾何特征只需設兩個切點即可.下面是猜想的證明:

設A(x1,y1)、C(x2,y2),則有B(-x1,-y1),D(-x2,-y2),易得橢圓的四條切線方程:

由平行直線的距離公式，易得切線EF與切線GH間的距離

所以，平行四邊形EGHF的面積

≥4ab,

故有kCD=kGH，即CD∥EF時外切平行四邊形的面積取到最小值4ab.

三、反思

(1) 超級畫板支持下的解析幾何探究能豐富學生的學習方式,提升學習效果.新課標提出:“高中數(shù)學課程應提倡利用信息技術來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容,在保證筆算訓練的前提下,盡可能使用科學型計算器、各種數(shù)學教育技術平臺,加強數(shù)學教學與信息技術的結合,鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn).”超級畫板便是符合教育發(fā)展需要的信息技術軟件,它具備的強大交互性使得學生能在“做中學”和“玩中學”,豐富了學生的學習方式.例如，在前面所提的外切平行四邊形面積的最值問題中,超級畫板給予了傳統(tǒng)教學中不能提供的“數(shù)學實驗場”,學生稍經(jīng)培訓便可以自主地根據(jù)研究目標有針對性地修改數(shù)據(jù)、變動參數(shù)、移動或跟蹤幾何對象來觀察目標對象的變化情況,進而能直觀地獲得數(shù)學猜想.可見,解析幾何教學中應用超級畫板進行探究有助于學生體驗探究的過程,感受發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的樂趣；同時，也能幫助學生養(yǎng)成自主研究的學習方式,提升學習效果.

(2)超級畫板支持下的解析幾何探究能開拓學生的視野,加強數(shù)學文化的傳播.基于解析幾何特別是圓錐曲線的學習難度,新課標對解析幾何的學習要求比以往有一定程度的降低.這從減少學生的學習負擔的角度來看是合適的,但從教學實踐看許多教師卻也因此減少了向?qū)W生傳遞解析幾何中豐富多彩的數(shù)學美的機會,結果造成雖然學習難度降低了，但是大部分學生對解析幾何特別是圓錐曲線仍然感到枯燥無味,學習積極性較低.如今，在超級畫板的支持下,教師可以非常方便直觀地展示解析幾何中的眾多優(yōu)美性質(zhì),開拓學生的數(shù)學視野并讓學生感受蘊含其中的數(shù)學文化.例如，在前面所提外切四邊形面積的探討中,正是因為有了超級畫板的支持,才能讓人直觀感受到面積取到最值時表現(xiàn)出的奇異性質(zhì),否則只能遺憾錯失一次數(shù)學美的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷.值得注意的是,超級畫板軟件的使用非常簡單方便,對信息化時代的學生來說更不存在增加負擔問題,相反恰恰是學習減負的工具.(本文系廣州市教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度課題——“超級畫板支持下高中數(shù)學解析幾何教學的研究”(課題編號：1201553470)的階段性研究成果之一)