解三角形問題的思路探析與教學(xué)

李　凱　房得陽

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院,730070)

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解三角形問題的思路探析與教學(xué)

李凱房得陽

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院,730070)

解三角形一直以來是全國各地高考考查的熱點(diǎn)題型之一.本板塊知識(shí)以三角形為載體,涵蓋求三角形的邊、角、面積、三角函數(shù)值以及綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的具體題目,重點(diǎn)是如何運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形問題．本文針對(duì)這一熱點(diǎn)題型,概述幾種常見解三角形的思路,并給出幾點(diǎn)教學(xué)建議,旨在促進(jìn)教學(xué),供大家交流學(xué)習(xí)．

一、本題型重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn):正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用.

難點(diǎn):(1)靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理及其變形形式解題;

(2)將有關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題抽象為解三角形以及相關(guān)實(shí)際問題．

二、正、余弦定理知識(shí)點(diǎn)剖析

1.正弦、余弦定理及其變形公式

角化邊邊化角正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2RsinA=a2RsinB=b2RsinC=c2Ra=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC余弦定理:a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab

說明:表中a,b,c分別是?ABC的三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊，R是?ABC的外接圓半徑.

“角化邊”是指將一個(gè)角的三角函數(shù)(如sinA,cosA…)轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)邊的形式;

“邊化角”是指將三角形某一邊轉(zhuǎn)化三角函數(shù)值的形式．

2.三角形面積公式及其變形

設(shè)?ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則有下列公式及其變形：

邊化角:

角化邊:

說明:當(dāng)三角形面積確定時(shí),邊的乘積形式也可以轉(zhuǎn)化成角的三角函數(shù)值的形式．

三、兩種解題思路的概述

1.思路“角化邊”

這種思路在于當(dāng)題目已知某些對(duì)應(yīng)邊時(shí),我們得順理成章地想到“角化邊”的正余弦的兩種形式．

解依正弦定理，得

依余弦定理，得

化簡(jiǎn)得b2-6b+8=0，解得b=2或4.

因?yàn)閎

因?yàn)樵撊切螢殇J角三角形,所以

由余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA代入，得a=7．

解(1) 由三角形面積公式，得

由S?ABD=2S?ADC,∠BAD=∠CAD，得

AB=2AC.

由正弦定理，得

2.思路“邊化角”

“邊化角”解題思路在于當(dāng)題目已知某個(gè)角度或是某個(gè)角的函數(shù)值時(shí),需要想到“邊化角”的正余弦定理的變形形式．

(1)求A；

解(1)因?yàn)閙平行n,所以

由正弦定理(邊化角)，得

(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，代入已知數(shù)值，得

c2-2c-3=0,解得c=3或-1(舍).

依三角形面積公式，得

已知b-c=2,所以b=6,c=4.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，代入數(shù)值，得a=8.

3、兩種思路的綜合應(yīng)用

如果題目給出的式子中既有邊又有角，則兩種思路都可以作為一種解題切入點(diǎn).

例7若b=asinC,c=acosB,判斷?ABC的形狀.

解法1(邊化角)依正弦定理，得

2RsinB=2RsinAsinC，

①

2RsinC=2RsinAcosB.

②

由②得sin[π-(A+B)]=sinAsinB，

整理，得cosAsinB=0,

代入①式，得sinB=sinC，B=C，

因此,?ABC為等腰直角三角形．

解法2 (角化邊)由余弦定理，得

又由b=asinC，得sinB=sinAsinC=sinC,所以B=C.

故?ABC為等腰直角三角形．

四、教學(xué)建議

(1)重視培養(yǎng)學(xué)生常規(guī)思維的教學(xué)及練習(xí),掌握通式通法．“邊化角”由邊求角,“角化邊”由角求邊,通過題目已知量找到未知量的表示形式,至于用正弦定理還是余弦定理,應(yīng)由題目而定.涉及sinA(sinB或是sinC)首先聯(lián)想到正弦定理,涉及cosA(cosB或是cosC)聯(lián)想到余弦定理.當(dāng)然這也不是絕對(duì)的,但是至少是有助于思維的一種定式，對(duì)于當(dāng)前的應(yīng)試高考還是有很大輔助作用．

(2)正確理解正、余定理的內(nèi)涵,快速選擇運(yùn)用定理．有些題目比如例7,兩種思路都能走得通,不妨在教學(xué)中讓學(xué)生動(dòng)手多加練習(xí),拓展思維辨析.然而這種題目局限于有角有邊,并且利用邊化角時(shí)式子兩邊都得有邊的存在,不然會(huì)引入未知量R,又會(huì)干擾做題．在教學(xué)中教師必須強(qiáng)調(diào)面臨此種題目的解題思路,避免運(yùn)用定理混亂,盲目做題．

(3)反復(fù)訓(xùn)練正、余弦定理的幾種變形,讓形式牢記于心．在教學(xué)過程中,讓學(xué)生自己動(dòng)手對(duì)正、余弦定理進(jìn)行變形,這樣不僅有利于識(shí)記,也助于他們清晰地理解這一知識(shí)點(diǎn)．讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過程,有助于學(xué)生對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握．

有關(guān)三角形的?？碱}型的解題落腳點(diǎn)往往會(huì)采用這兩種思路.不論是“角化邊”,還是“邊化角”我們都需要熟練掌握正、余弦定理及其變形,運(yùn)用它們進(jìn)行轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化過程.當(dāng)然也要靈活變通,當(dāng)其中一種思路行不通時(shí),及時(shí)轉(zhuǎn)變思路也是至關(guān)重要的．相信在教師的指引下這兩種思路會(huì)讓學(xué)生對(duì)解三角形常見的題型有一個(gè)清晰的解題思路與方法．