建構(gòu)推理模式，學會數(shù)學思考
——小學數(shù)學推理能力培養(yǎng)的教學研究

□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨墅湖學校 仲秋月

建構(gòu)推理模式，學會數(shù)學思考
——小學數(shù)學推理能力培養(yǎng)的教學研究

□江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)獨墅湖學校 仲秋月

推理是數(shù)學的基本思維方式，在數(shù)學知識形成和解決問題過程中起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學推理模式本質(zhì)上有兩種，分別是合情推理和演繹推理。作為數(shù)學基本思想之一，推理貫穿于數(shù)學教學的始終。只有遵循學生推理思維能力形成的規(guī)律，注重教學中的培養(yǎng)方法，才能讓學生在數(shù)學學習活動中逐步積累經(jīng)驗，建構(gòu)推理模式，從而真正學會“數(shù)學地思考”。

小學數(shù)學 合情推理 演繹推理

《數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理能力的發(fā)展貫穿于數(shù)學學習過程中?！睂τ跀?shù)學，本質(zhì)上有兩種推理模式，分別是合情推理和演繹推理。合情推理是命題內(nèi)涵由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，通過合情推理得到的結(jié)論是或然的。演繹推理是命題內(nèi)涵由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理，通過演繹推理得到的結(jié)論是必然的。

推理作為一種基本數(shù)學思想是“不可教”的，小學生推理能力的培養(yǎng)蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。因而，教師惟有在教學中設(shè)計適當?shù)膶W習活動，講究教學方法，引導學生通過觀察、聯(lián)想、計算、歸納、類比、畫圖、表達等活動，經(jīng)歷知識形成及問題解決的思維過程，明晰思考問題的路徑和方法，通過豐富數(shù)學活動經(jīng)驗來逐步建構(gòu)推理模型，才能使學生真正地學會“數(shù)學地思考”。

一、合情推理能力的培養(yǎng)：經(jīng)歷過程，感悟思想

合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果的推理模式，主要包括不完全歸納推理、類比推理和統(tǒng)計推理。它是以觀察、體驗多個事例、活動后所獲得的經(jīng)驗為根據(jù)，歸納出一些概括性原則的思維過程，在數(shù)學學習中用于形成知識、歸納法則和發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，是小學生進行數(shù)學學習的一種主要的思維模式。

1.精選素材引發(fā)直觀與類比。數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確立依賴于推理。小學數(shù)學中，計算法則、定律、性質(zhì)等數(shù)學知識大多都是通過不完全歸納推理和類比推理形成的，這一推理模式的思維基礎(chǔ)是直觀與聯(lián)想。不完全歸納推理是以某類事物中部分對象的判斷為前提，推斷出這一類事物全體對象的判斷結(jié)論的推理。而類比推理是以關(guān)于兩個事物某些屬性相同的判斷為前提，推出兩個事物的其他屬性相同的結(jié)論的推理。概括地說，這兩類合情推理均以某些判斷為前提，由直觀與聯(lián)想引發(fā)猜想，最終形成一般結(jié)論。在數(shù)學教學中，如能精選適當?shù)慕虒W素材便會有利于學生引發(fā)數(shù)學直觀，激活思維，提出猜想，形成結(jié)論。

2.問題驅(qū)動展開探究與歸納。讓學生在有限的課堂教學時間內(nèi)經(jīng)歷人類數(shù)學形成和發(fā)展的過程，經(jīng)歷數(shù)學知識“再創(chuàng)造”的過程，對于數(shù)學教學來說是一個不小的挑戰(zhàn)。因而，我們必須以恰當?shù)那榫澈瓦m切的問題引領(lǐng)探究活動，讓學生能夠快速地定位研究的切入點，并順著一定的方向、帶著問題進入情境，有效地獲取活動情境所承載的數(shù)學信息展開探究活動。再者，合情推理的探究活動和其他數(shù)學內(nèi)容的教學相比，學生的主體地位更加突出，自主性更加明顯，個性化更加強烈，適切的問題能較好地激發(fā)學生數(shù)學探究的主觀能動性，提升創(chuàng)造能力。

3.深入引導促進觀察與比較。數(shù)學規(guī)律常常不是顯而易見的，需要通過觀察、比較和歸納逐步發(fā)現(xiàn)。在呈現(xiàn)具體實例之后，教師巧妙而又深入的點撥引導能為學生的觀察和比較指引方向，幫助學生提取和組織關(guān)鍵信息，進而對初步形成的表象進行“精加工”，最終得出結(jié)論。

二、演繹推理能力的培養(yǎng)：掌握方法，發(fā)展思維

演繹推理是從假設(shè)和定義出發(fā)，按照某些規(guī)定了的法則所進行的、前提與結(jié)論之間有必然聯(lián)系的推理。三段論是演繹推理的基本模式，包括大前提、小前提和結(jié)論三部分，三部分之間具有嚴格的邏輯關(guān)系和傳遞關(guān)系。在小學數(shù)學中，雖然沒有運用演繹推理進行嚴格證明的內(nèi)容，但計算、判斷和解決問題等的思維活動大多是演繹推理。

1.借助正推反證發(fā)展思維嚴謹性。先看這樣一個教學實例：學生在學習簡便運算后，計算812-57+43這一題會錯誤地算成812-（57+43）。經(jīng)過調(diào)查分析可知，學生主要存在兩類錯誤原因。（1）學生已知運算律為：a-b-c=a-（b+c），但在計算這題時受到數(shù)據(jù)特征影響，將812-57+43誤看成812-57-43。分析推理過程如下：如果用A表示“所有的連減算式”，用B表示“某一個連減算式”，用Ω表示這條運算律，那么正確的推理關(guān)系式：B，然而，這一題中的B為“812-57+43”，BA，因此推理不成立。（2）學生自認為有運算律：ab+c=a-（b+c），這種情況中大前提是錯誤的，因此推理不成立?？梢姡_的大前提和正確的包含關(guān)系才能建立具有傳遞性的推理過程。

在連減運算律的教學中，一方面通過算理分析建立正確的計算規(guī)律，另一方面我們也可以引導學生繼續(xù)探究形如a-b+c的運算規(guī)律，得出a-b+c=a-（b-c），通過兩式對比進一步抽象規(guī)律，從而打破減法運算律的單一性，彌補認知的缺失。與此同時，反推驗證也不失為演繹推理訓練的一種方法。運用假言推理：如果可以算成812-（57+43），則個位為2，而原式812-57+43的個位為8，產(chǎn)生矛盾，因此這樣推算不正確。

數(shù)學的思維方式是人類各種思維方式中最為精細的也是最為精確的一種，從過程到結(jié)論，都必須是確定無疑的。在小學數(shù)學教學中，由于小學生年齡特征的限制，小學數(shù)學教材里的數(shù)學知識未必是嚴密的，也不要求每一個結(jié)論都用嚴格的邏輯證明來實現(xiàn)，但在學習過程中僅依靠合情推理得出結(jié)論是遠遠不夠的。教學實踐中要確立“推理與證明”的意識，始終保持嚴謹思考的要求，理解演繹推理的必要性，能有條理地思考并表達自己的思考過程，做到言之有理，落筆有據(jù)。

2.借助圖示表格發(fā)展思維邏輯性。數(shù)學命題的核心是敘述研究對象之間的關(guān)系。如果將能將隱性的推理關(guān)系顯性化、可視化，能有助于學生在頭腦中將概念之間的關(guān)系形成層級式表征，明晰各對象之間的關(guān)系，深入關(guān)系的本質(zhì)，理解并運用推理思維開展數(shù)學活動。如蘇教版小學數(shù)學第七冊教材中一道比較復雜的三步計算實際問題：王大伯第一天收獲30筐土豆，共重750千克，第二天比第一天多收獲10筐。照這樣計算，第二天收獲多少千克？這一題可以列表分析如下：

顯然，在填寫表格的過程中數(shù)量關(guān)系經(jīng)過了整理，“筐數(shù)”與“質(zhì)量”這兩類數(shù)量建立了對應(yīng)關(guān)系，便于學生根據(jù)已知條件推理中間量，而在填寫“第二天”的筐數(shù)時將推理步驟轉(zhuǎn)移到表格上，無形中降低了思維難度，對于思維能力不強的學生來說就有了思考的“拐棍”。

還可以利用關(guān)系圖輔助推理：

或者運用線段圖：

在圖中，一段表示10千克，通過比較能發(fā)現(xiàn)，第二天多了這樣的一份，還可以這樣解答：750+750÷（30÷10）。從這個實例可以看出，以圖示表格作為思維工具，不僅能展示條件之間的顯性關(guān)系，發(fā)展思維的條理性，還能挖掘條件之間的隱性關(guān)系，發(fā)展思維的邏輯性和創(chuàng)造性。

3.借助數(shù)學語言發(fā)展思維條理性。引導學生想清思考過程，并用準確的數(shù)學語言表達，能讓學生加強對數(shù)學命題的理解和運用。小學階段的演繹推理一般用口頭語言、簡單的數(shù)學關(guān)系式和計算算式等來表達。例如，506000、50600、500600這三個數(shù)比較大小時，有序思考才能有序表達：先比較位數(shù)，50600是五位數(shù)，506000和500600是六位數(shù)，50600的位數(shù)比它們少，所以是最小的；506000和500600兩個數(shù)位數(shù)相同就從最高位比起，最高位相同再比下一位，千位上6＞0，所以506000＞500600。

可見，以上問題解決的過程均以演繹推理的方式逐步展開，每一步之間都有一定的邏輯關(guān)系，環(huán)環(huán)相扣。這一類邏輯嚴明的演繹推理題例，我們不僅要給予學生充足的時間思考，還應(yīng)給予學生充足的時間表達。教師可以讓學生先自己說，然后跟同學說，再面向全班說?！白晕艺Z言”除了有表達的功能以外，還有策劃的功能。這個過程學生回顧反思演繹推理的過程，當用口頭語言或書面語言進行表達時，思維又經(jīng)歷了一次“再加工”，于是不僅鍛煉了數(shù)學表達的能力，優(yōu)化了表達的方式，更促進了思維的條理性和“元認知”的發(fā)展。