三視圖常見(jiàn)問(wèn)題分析

王瑞文

三視圖是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn).由若干大小相同的小正方體搭成的幾何體問(wèn)題，是三視圖中一個(gè)重要題型.

一、畫(huà)出若干大小相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖

例1如圖1，該幾何體是由6個(gè)同樣大小的正方體搭成的，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)幾何體的三視圖.

分析：從正面觀察，能看到4列，第1、2、3、4列分別能看到1、2、1、1個(gè)正方形，所以主視圖如圖2；從左面觀察，能看到2列，第1、2列分別能看到2、1個(gè)正方形，所以左視圖如圖3；從上面觀察，第1行能看到4個(gè)正方形，第2行能看到1個(gè)正方形，再按照原來(lái)小正方體的擺列方式畫(huà)出俯視圖，如圖4.

這是三視圖最基本的題型，難度不大，只要具備一定的觀察能力，即可解決問(wèn)題.

二、推理若干大小相同的小正方體搭成的幾何

體中小正方體的數(shù)目

例2一個(gè)由若干大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的三視圖如圖5.這個(gè)幾何體是由多少個(gè)小正方體組成的？

分析：觀察主視圖，第1、2、3列能看到的正方形數(shù)目分別為1、2、2，再觀察左視圖，第1、2列能看到的正方形數(shù)目分別為1、2，在俯視圖對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)注上相應(yīng)的數(shù)字，如圖6.因?yàn)橹饕晥D第1列看到一個(gè)正方形，在俯視圖中，主視圖對(duì)應(yīng)的第1列，每個(gè)位置都只能放1個(gè)小正方體.左視圖第1列能看到1個(gè)正方形，

圖6所以在俯視圖中，左視圖對(duì)應(yīng)的第1列每個(gè)位置都只能放1個(gè)小正方體.主視圖的第2、3列都能看到兩個(gè)正方形，左視圖的第2列能看到2個(gè)正方形，所以剩余的兩個(gè)位置小正方體的個(gè)數(shù)都是2.所以這個(gè)幾何體是由8個(gè)小正方體組成的.

遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先確定方向，再確定每列的正方形數(shù)目，然后借助俯視圖來(lái)分析小正方體的數(shù)目.當(dāng)問(wèn)題中沒(méi)有給出俯視圖時(shí)，根據(jù)主視圖和左視圖的列數(shù)來(lái)構(gòu)造一個(gè)方格，然后考慮方格中每個(gè)位置擺放的小正方體數(shù)目.

三、求若干大小相同的小正方體搭成的幾何體的表面積

例3如圖7和如圖8都是由若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的幾何體，請(qǐng)分別求出這兩個(gè)幾何體的表面積.

分析：一個(gè)由若干大小相同的小正方體搭成的幾何體一般有6個(gè)方向，正、反、左、右、上、下，而且相反方向看到的正方形數(shù)量是相同的，所以可以借助三視圖來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題.如圖7，正面有9個(gè)正方形，則反面一定也有9個(gè)正方形.左面有6個(gè)正方形，則右面也有6個(gè)正方形.上面有6個(gè)正方形，則下面一定也有6個(gè)正方形.因此，這個(gè)幾何體的表面共有42個(gè)正方形.因?yàn)槊總€(gè)正方形的面積為1，所以圖7的表面積為42.但是，圖7的解題方法并不適合圖8，因?yàn)閳D8的表面中有兩個(gè)正方形是從6個(gè)方向看不到的.因此，把圖8表面分成兩部分，6個(gè)方向能看到的和看不到的.6個(gè)方向能看到的正方形可用圖7的方法，從正面、左面、上面分別能看到8、6、6個(gè)正方形，所以這6個(gè)方向共有40個(gè)正方形.而看不到的面有2個(gè)正方形，所以這個(gè)幾何體一共有42個(gè)正方形，所以圖8表面積為42.

總之，對(duì)于由若干大小相同的小正方體搭成的幾何體問(wèn)題，雖然變化形式較多，但大致都可以分成畫(huà)三視圖、推理小正方體數(shù)目、求幾何體表面積或體積等三種類(lèi)型.在遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先分析屬于哪一類(lèi)型，然后采用針對(duì)性解題思路解決問(wèn)題.