反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

廣東省廣州市番禺區(qū)沙灣鎮(zhèn)象駿中學(xué) 歐陽秋霞

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反證法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

廣東省廣州市番禺區(qū)沙灣鎮(zhèn)象駿中學(xué) 歐陽秋霞

摘要：反證法在數(shù)學(xué)知識(shí)中占據(jù)了重要地位，對(duì)于學(xué)生邏輯思維能力、實(shí)踐解題能力的培養(yǎng)具有良好效果。初中是學(xué)生接觸高層次數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)階段，灌輸反證法的相關(guān)知識(shí)有助于開發(fā)學(xué)生思維，幫助其打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文探討反證法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，解讀反證法應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性，提出幾點(diǎn)科學(xué)運(yùn)用反證法的建議。

關(guān)鍵詞：反證法 初中數(shù)學(xué) 教學(xué)實(shí)例

一、反證法的教學(xué)價(jià)值

牛頓說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一?！背踔袛?shù)學(xué)中反證法不僅是常見的數(shù)學(xué)解題證明方法，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的教學(xué)重點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)教材對(duì)反證法的學(xué)習(xí)要求和例題講析不難發(fā)現(xiàn)，反證法的適用范圍非常大，包括否定性命題、無窮性命題、限定式命題、逆命題、不等量命題等。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反證法有著十分重要的教學(xué)意義，具體表現(xiàn)在以下三點(diǎn)：其一，反證法是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的必講內(nèi)容，是學(xué)生解答習(xí)題必須學(xué)習(xí)的解題方法；其二，反證法能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，提高思維創(chuàng)造能力；其三，反證法能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)命題思考的判斷、分析、解答等綜合能力，使學(xué)生更好地發(fā)散思維，敢于證明、善于證明。

反證法的運(yùn)用大致分為三個(gè)步驟：首先，假設(shè)需要證明的結(jié)論的反面是正確的；其次，通過邏輯推理得出與已知定理、定義以及數(shù)學(xué)公論、命題、已知條件等矛盾的結(jié)論；最后，說明該假設(shè)是不成立的，由此證明命題所要求證明的結(jié)論是正確的。

二、反證法在教學(xué)中的實(shí)例解析

1.實(shí)例解析

此類命題運(yùn)用反證法時(shí)要仔細(xì)區(qū)分命題中所給的“不小于”“至少”“至多”“最多”“不大于”等詞語。

（2）以不等量命題為例，如圖1所示，在銳角△ABC中，已知∠C＞∠B，求證：AB＞AC。

分析：這道題可以用平面幾何的知識(shí)解決，也可以運(yùn)用反證法加以證明。

圖1

證明：假設(shè)AB小于或等于AC，即AB≤AC，此時(shí)應(yīng)分兩種情況討論：

若AB=AC，則△ABC為等腰三角形，所以∠B=∠C，該結(jié)論與已知條件∠C＞∠B矛盾。

若AB＜AC，在AB延長線上取一點(diǎn)D，使AD=AC，連接DC。因?yàn)锳D=AC，所以△ADC為等腰三角形，所以∠ADC= ∠ACD，因?yàn)椤螦BC為△ADC的一個(gè)外角，所以∠ABC＞∠BDC=∠ACD，而∠ACD＞∠ACB=∠C，所以∠ABC＞∠C，即∠B＞∠C，該結(jié)論與已知條件相矛盾。

所以上述兩種假設(shè)均不成立，原命題得證。

所以AB＞AC。

（3）以基本命題為例，如圖2中直線a、b相交于點(diǎn)P，求證：a、b只有點(diǎn)p這一個(gè)交點(diǎn)。

圖2

證明：假定直線a、b相交的點(diǎn)不止一個(gè)，那么直線a、b至少有兩個(gè)交點(diǎn)P、Q。

直線a是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，直線b也是由P、Q兩點(diǎn)確定的直線，得出P、Q兩點(diǎn)確定了兩條直線a、b的結(jié)論，而這一結(jié)論顯然與已知公理“兩點(diǎn)只確定一條直線”之間相互矛盾，所以直線a、b是不可能有兩個(gè)交點(diǎn)的，原命題得證。

2.教學(xué)注意

應(yīng)用反證法時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）正確地否定結(jié)論，如條件所給的“至多有2個(gè)”表示的是“只有1個(gè)或2個(gè)”或是“1個(gè)都沒有”。否定結(jié)論正確與否，決定學(xué)生繼續(xù)解題的反正思路是否正確，直接影響最終答案。

（2）了解和掌握運(yùn)用反證法出現(xiàn)的各種矛盾，合理設(shè)計(jì)命題的矛盾證明點(diǎn)，采用臨時(shí)假設(shè)引出矛盾，結(jié)論與真命題相矛盾或是通過結(jié)論相互矛盾等方法進(jìn)行合理反向證明。

綜上所述，反證法是一種十分重要的數(shù)學(xué)證明方法，它能有效解決數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的問題。將反證法運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于改善學(xué)生的思維局限性，提高學(xué)生的應(yīng)變能力有著重要意義。作為一種典型的逆向性思維方式，反證法不僅能幫助學(xué)生研究數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)還能不斷啟發(fā)學(xué)生，使其研究并掌握更多的解題和學(xué)習(xí)思路。將反證法運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅需要教師具備相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)能力，同時(shí)對(duì)于課堂環(huán)境、師生關(guān)系也有較為嚴(yán)苛的要求。

文章編號(hào)：ISSN2095-6711/Z01-2016-04-0187