滾珠絲杠式慣容器非線性建模與參數(shù)辨識*

孫曉強，　陳　龍，　汪少華,　楊曉峰

(江蘇大學汽車與交通工程學院　鎮(zhèn)江，212013)

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滾珠絲杠式慣容器非線性建模與參數(shù)辨識*

孫曉強，陳龍，汪少華,楊曉峰

(江蘇大學汽車與交通工程學院鎮(zhèn)江，212013)

摘要針對滾珠絲杠式慣容器存在的非線性力學特征，首先，分析了滾珠絲杠式慣容器的工作原理，對慣容器的主要部件進行了非線性力學分析，建立了考慮摩擦、間隙以及絲杠彈性力的慣容器非線性力學模型；然后,在數(shù)控液壓伺服激振試驗臺上進行了慣容器的力學性能試驗，得到了慣容器在不同慣容系數(shù)以及不同激振輸入下的力學響應特性；最后,根據(jù)試驗結(jié)果分析了摩擦和間隙對慣容器力學性能的影響，得到了便于參數(shù)辨識的慣容器力學模型結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了慣容器輸出力仿真與試驗結(jié)果的分析和對比。結(jié)果顯示，二者在一個周期內(nèi)的均方根值誤差不超過7%，非線性模型呈現(xiàn)出良好的擬合精度，證明了所述方法的可行性和有效性。

關鍵詞滾珠絲杠式慣容器； 非線性； 最小二乘法； 參數(shù)辨識

引言

為了在機械網(wǎng)絡中尋找一種能夠與電容嚴格相對應的基本元件，Smith[1]提出了慣容器(Inerter)的概念，并給出其兩端點實現(xiàn)形式，從此，電容在與機械元件對應時不再有接地要求。隨后，Smith等[2]將慣容器應用于車輛懸架中，通過優(yōu)化比較多種布置形式的慣容-彈簧-阻尼(interter spring damper，簡稱ISD)懸架減振性能，對慣容器的隔振潛力進行了分析。2006年，一種包含慣容器的補償裝置在高性能摩托車上得到了應用，成功解決了摩托車在轉(zhuǎn)向過程中的失穩(wěn)問題[3]。Wang等[4-5]針對含慣容器的列車懸架進行了研究，結(jié)果表明慣容器能夠有效改善列車在行駛過程中的乘坐舒適性和安全。江蘇大學于2007年開展了應用慣容器的研究，證實應用慣容器能夠提高車輛懸架系統(tǒng)的隔振性能[6-7]。

然而，上述慣容器的應用研究均是以慣容器線性數(shù)學模型為前提，忽略了慣容器實際機械結(jié)構(gòu)中存在的非線性因素。文獻[8]指出，間隙和非線性彈性力對慣容器的力學性能有著直接影響。文獻[9]同時考慮了摩擦力這一非線性因素，建立慣容器非線性力學模型，研究了慣容器非線性對ISD懸架性能的影響。

在考慮非線性因素的影響下，筆者對滾珠絲杠式慣容器的主要部件進行了力學分析，建立了包含摩擦、間隙以及絲杠彈性力的慣容器非線性力學模型。通過試驗分析了摩擦和間隙對慣容器實際力學性能的影響，并對模型中的摩擦和間隙進行了合理的簡化，從而得到便于參數(shù)辨識的模型結(jié)構(gòu)，基于該結(jié)構(gòu)推導出慣容器輸出力與慣容器兩端間相對加速度之間的傳遞函數(shù)，并采用最小二乘遞推算法對模型參數(shù)進行了辨識。仿真與試驗結(jié)果對比表明，該方法呈現(xiàn)出良好的擬合性能，具有較高的實用價值。

1慣容器非線性模型的建立

1.1滾珠絲杠式慣容器工作原理

滾珠絲杠式慣容器的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由便于兩端吊耳焊接的圓筒(左筒和右筒)、絲杠、螺母、軸承、軸承座以及飛輪構(gòu)成。

圖1　滾珠絲杠式慣容器Fig.1　Ball-screw inerter

當大小相等，方向相反的力沿軸向施加于慣容器兩端時，慣容器兩端間便會產(chǎn)生相對直線位移，通過滾珠絲杠副將其轉(zhuǎn)化為絲杠的旋轉(zhuǎn)運動，然后通過絲杠帶動飛輪旋轉(zhuǎn)，從而實現(xiàn)飛輪轉(zhuǎn)動慣量的放大，即飛輪慣性的封裝。

滾珠絲杠式慣容器的理想線性動力學方程如下

(1)

其中：ω為絲杠旋轉(zhuǎn)角速度；P為滾珠絲杠副的導程；v為慣容器兩端間相對速度；T為絲杠上驅(qū)動力矩；J為慣容器轉(zhuǎn)動慣量；F為慣容器兩端間作用力。

由式(1)可得F的表達式為

(2)

其中：b為慣容系數(shù)；a為慣容器兩端間相對加速度。

通過式(2)可得慣容系數(shù)b的表達式為

(3)

慣容系數(shù)為慣容器的慣性參照，單位為kg，因此，慣容器的物理性質(zhì)與一個同等質(zhì)量的質(zhì)量塊相似。根據(jù)式(3)，慣容器對飛輪旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的慣性質(zhì)量進行了放大，從而能夠以較小的飛輪自重實現(xiàn)上百千克的慣性質(zhì)量，為慣容器的實際工程應用提供了有利條件。

1.2主要部件的力學分析

慣容器中的非線性因素主要來源于滾珠絲杠副，因此，為建立慣容器非線性模型，考慮對螺母和絲杠進行非線性力學分析(圖2)。圖2中，F(xiàn)為慣容器兩端間作用力；x1為慣容器兩端間相對位移；Td為絲杠驅(qū)動力矩；x2為螺母與絲杠間力傳遞中螺母相對于慣容器另一端的位移；x1和x2之間的關系為x1-x2=ε，ε為慣容器中存在的間隙，主要包括絲杠和螺母之間的游隙、軸承的間隙以及兩端吊耳中存在的間隙，這里集中以ε表示。

圖2　螺母和絲杠的力學分析Fig.2　Mechanics analysis of nut and screw

(4)

其中：m為螺母、左筒以及吊耳三者質(zhì)量的集中表示；Ff為螺母與絲杠之間的摩擦力；Fd為螺母作用在絲杠上的驅(qū)動力，是絲杠對螺母的反作用力。

絲杠的軸向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度并非為理想中的無窮大，因此，絲杠在承受軸向力以及驅(qū)動力矩時會產(chǎn)生彈性形變。絲杠的彈性特性可以用等效剛度ke和等效阻尼ce來表示，絲杠受到的驅(qū)動力和摩擦力與其彈性形變Δx之間存在如下關系

(5)

由于絲杠中存在彈性形變，因此，螺母與絲杠間實際相對位移x3可以用式(6)表示，同時絲杠的實際旋轉(zhuǎn)角度θ如式(7)

(6)

(7)

由式(2)得到，絲杠受到的驅(qū)動力和摩擦力隨絲杠旋轉(zhuǎn)角度θ、螺母與絲杠間相對位移x3的變化關系為

(8)

其中：J為慣容器中所有轉(zhuǎn)動部件的轉(zhuǎn)動慣量之和(包括絲杠本身、絲杠上的緊固螺母以及飛輪等)。

1.3非線性模型

通過上述分析，掌握了非線性因素在滾珠絲杠式慣容器力流傳播過程中的影響機理，從而建立了如圖3所示的慣容器簡化力學模型，進而可以得到慣容器的非線性力學模型，如圖4。

圖3　滾珠絲杠式慣容器簡化力學模型Fig.3　Simplified mechanics model of ball-screw inerter

圖4　滾珠絲杠式慣容器非線性模型Fig.4　Nonlinear model of ball-screw inerter

2慣容器的試驗

為分析非線性因素對滾珠絲杠式慣容器實際力學性能的影響，進行了慣容器的力學性能試驗。試驗對象為本課題組研制的滾珠絲杠式慣容器，采用兩種質(zhì)量不同的飛輪，通過式(3)進行慣容系數(shù)的計算，得到相應的慣容系數(shù)分別為130和330 kg。試驗設備為美國INSTRON公司生產(chǎn)的8800數(shù)控液壓伺服激振試驗臺，該試驗臺能夠支持激振頭按照一定的位移要求運動，并實時觀測和保存激振頭的位移和載荷信號。慣容器上端固定，下端與激振頭相連，試驗采用正弦輸入，為了防止測試力超出激振臺的負荷，在高頻振動時采用了較小的振幅。測試工況參數(shù)如表1所示(括號內(nèi)為相應頻率)。

表1　測試工況參數(shù)

通過試驗獲得了不同測試工況下的慣容器動態(tài)響應特性，以b=130 kg為例，當頻率分別為0.1和7 Hz時，慣容器的力學響應如圖5所示。各測試工況下的試驗結(jié)果如表2，表中主要對比了不同激振輸入下慣容器輸出力的平均幅值和理論幅值以及二者之間的誤差百分比。

圖5　慣容器的力學輸出Fig.5　Mechanical outputs of inerter

f/Hzb=130kgb=330kg試驗幅值/N理論幅值/N誤差百分比/%試驗幅值/N理論幅值/N誤差百分比/% 0.161.2 1.098.4 64.3 2.795.81185.4102.744.6334.3262.321.53653.7461.929.31351.81179.912.75872.5641.326.51832.01637.810.67869.1754.413.22131.21926.69.69929.2831.610.52316.02123.88.3

由上述試驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在部分頻率下，理論值與試驗值之間存在較大幅度的誤差，這說明非線性因素對慣容器實際力學性能的影響不容忽視。因此，為實現(xiàn)非線性慣容器的力學性能預測，考慮對慣容器非線性力學模型中的相關參數(shù)進行辨識。

3模型參數(shù)辨識

由于所建慣容器力學模型中包含摩擦和間隙等非線性因素，常規(guī)的辨識方法難以對模型參數(shù)進行有效辨識，因此，進一步分析摩擦和間隙對慣容器力學性能的影響，并對模型中的摩擦和間隙進行合理的簡化，從而得到便于參數(shù)辨識的模型結(jié)構(gòu)。

3.1摩擦與間隙的簡化

3.1.1摩擦的簡化

慣容器中的摩擦主要存在于絲杠和螺母間的接觸面上，且摩擦力Ff與絲杠螺母間相對運動速度v之間的關系[10]可用下式表示

(9)

其中：f0為摩擦力的幅值；sgn為符號函數(shù)(當v>0時，函數(shù)值取1；當v=0時，函數(shù)值取0；當v<0時，函數(shù)值取-1)。

在低頻時，慣容器的慣性力較小，此時摩擦力占據(jù)主導地位，因此，在圖5(a)中，慣容器的輸出力與正弦波相差較大，呈現(xiàn)出方波的特征。圖6為慣容系數(shù)b=330 kg，頻率f=0.1 Hz時，慣容器的力學響應。結(jié)合圖5和圖6可以看出，當慣容系數(shù)改變時，摩擦力的幅值基本不變，因此，根據(jù)試驗結(jié)果可以確定摩擦力的幅值f0為60 N，摩擦力的性質(zhì)為方波，摩擦力的方向與速度方向相反。

圖6　慣容器的力學響應(b=330 kg，f=0.1 Hz)Fig.6　Mechanical responses of inerter (b=330 kg，f=0.1 Hz)

3.1.2間隙的簡化

間隙主要會導致慣容器在高速旋轉(zhuǎn)換向時產(chǎn)生遲滯現(xiàn)象，因此，當慣容器的位移方向改變時，間隙的非線性特性就會顯現(xiàn)。由圖5(b)可以看出，慣容器輸出力在零值附近出現(xiàn)了較小幅度的波動，這正是受到了間隙的影響。因為根據(jù)慣容器位移輸入與加速度輸入之間的對應關系，當加速度為零時，慣容器的位移方向恰好出現(xiàn)了突變，因而間隙的影響在此時得以體現(xiàn)?；陂g隙對慣容器輸出力的影響幅度較小，且在研制慣容器時，對滾珠絲杠副采用了雙螺母預緊，使得其中的間隙盡可能減小。因此，為了便于模型參數(shù)的辨識，忽略了間隙對慣容器力學性能的影響，即令ε= 0。

3.2慣容器輸出力模型

通過對摩擦和間隙進行合理的簡化，得到了慣容器輸出力的簡化模型，如圖7所示。

圖7　慣容器輸出力簡化模型Fig.7　Simplified model of inerter output force

根據(jù)圖7所示的模型，建立慣容器的相關動力學方程如下

(10)

(11)

由于試驗時慣容器的上端固定，即x3=0，因此，以上方程可以進一步簡化為

(12)

(13)

3.3模型參數(shù)辨識

通過進行慣容器的力學性能試驗，獲取了真實測試工況下的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)，在此基礎上，進一步采用最小二乘遞推算法對慣容器非線性力學模型中的參數(shù)進行辨識。具體參數(shù)辨識過程如下[11-12]。

1)根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求取系統(tǒng)輸入與輸出間的傳遞函數(shù)。

對式(13)進行拉普拉斯變換可得

(14)

通過式(14)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(15)

將矩陣A，B，C，D代入上式，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進一步可表示為

(16)

2)采用雙線性變換方法對連續(xù)傳遞函數(shù)進行離散化。

令

(17)

其中：T為采樣周期。

然后將式(17)代入到式(16)中，得到傳遞函數(shù)的離散形式為

(18)

其中：a1，a2，a3，a4，a5，a6為待辨識的參數(shù)。

這些參數(shù)與慣容器力學模型參數(shù)之間存在如下關系

(19)

根據(jù)式(18)得到系統(tǒng)相應的差分方程為

a1Y(k)+a2Y(k-1)+a3Y(k-2)=a4U(k)+

a5U(k-1)+a6U(k-2)

(20)

3)根據(jù)差分方程推導系統(tǒng)的最小二乘格式。

將待辨識的系數(shù)移到等式右端可得

o4U(k-1)+o5U(k-2)

(21)

因此，系統(tǒng)輸入輸出的最小二乘格式為

(22)

其中:θ為待辨識的參數(shù)集合;h為樣本集合;e(k)為系統(tǒng)采樣誤差。

(23)

4)根據(jù)試驗數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)辨識。

取準則函數(shù)為

(24)

4慣容器力學模型驗證

為驗證所建模型的準確性以及辨識方法的有效性，利用試驗獲取的慣容器輸入輸出數(shù)據(jù)對模型參數(shù)辨識。鑒于試驗臺只能保存慣容器的位移輸入，這里借助Matlab曲線擬合工具箱Cftool對慣容器的位移輸入進行曲線擬合，然后將得到的曲線方程進行差分求導便可獲得慣容器的速度和加速度輸入。

針對兩種不同的慣容系數(shù)，分別選取部分測試工況下的試驗數(shù)據(jù)，并采用前述的模型參數(shù)辨識方法對相關參數(shù)進行辨識，參數(shù)辨識結(jié)果如表3。根據(jù)表3中結(jié)果對相應的方程組進行求解，得到慣容器輸出力模型的參數(shù)值如表4，其中，T為試驗臺保存數(shù)據(jù)的采樣間隔，取為0.001 s。

表3　參數(shù)辨識結(jié)果

表4　慣容器輸出力模型參數(shù)

從表4中可以看出，通過辨識得到的慣容系數(shù)與實際值十分接近，最大誤差僅為2.7%，同時表示螺母、左筒以及吊耳三者質(zhì)量的m與實際估算值2.5 kg也較為吻合，這間接證明了辨識方法以及辨識結(jié)果的準確性。根據(jù)表4最終確定絲杠的等效剛度ke為1 280 kN/m，等效阻尼ce為4 100 Ns/m。

將上述參數(shù)代入慣容器非線性力學模型中，并將擬合后得到的慣容器兩端間相對速度和相對加速度作為慣容器力學模型的輸入進行仿真，部分測試工況下的仿真結(jié)果與試驗結(jié)果對比如圖8所示。表5對各測試工況下慣容器輸出力仿真值與試驗值在一個周期內(nèi)的均方根值及其誤差進行了對比。

圖8　仿真結(jié)果與試驗結(jié)果對比Fig.8　Comparison between simulation results and testing results

f/Hzb=130kgb=330kg試驗幅值/N理論幅值/N誤差百分比/%試驗幅值/N理論幅值/N誤差百分比/% 0.160.856.76.7 55.3 52.74.7186.389.43.6 154.2 163.15.83347.2359.63.6 674.3 697.33.45478.1508.96.4 926.5 946.72.27468.3486.03.81126.41157.52.89482.8499.13.41215.31258.93.6

通過圖8及表5可以看出，在不同測試工況下，慣容器輸出力的仿真結(jié)果與試驗結(jié)果均吻合良好，同時慣容器輸出力在一個周期內(nèi)的均方根值誤差最大不超過7%，平均誤差僅為4.2%，模型呈現(xiàn)出良好的擬合精度。模型驗證結(jié)果表明，通過上述方法得到的慣容器非線性力學模型可以實現(xiàn)慣容器力學性能的有效預測，為進一步分析慣容器非線性對隔振系統(tǒng)性能的影響奠定了良好的基礎。

5結(jié)束語

筆者建立的包含摩擦、間隙以及絲杠彈性力的慣容器非線性力學模型，能夠準確體現(xiàn)出滾珠絲杠式慣容器存在的非線性力學特征。慣容器的力學性能試驗結(jié)果真實反映了摩擦和間隙對慣容器力學性能的影響，在此基礎上，可以對模型中的摩擦和間隙進行合理的簡化，從而得到便于參數(shù)辨識的模型結(jié)構(gòu)。最小二乘遞推算法可以根據(jù)試驗數(shù)據(jù)對慣容器力學模型中的參數(shù)進行有效辨識，其中，辨識得到的慣容系數(shù)與實際值最大誤差僅為2.7%，間接驗證了該方法的準確性和可靠性。慣容器非線性力學模型的輸出力仿真值與試驗值在一個周期內(nèi)的均方根值誤差最大不超過7%，平均誤差僅為4.2%，說明所建模型以及采用的模型參數(shù)辨識方法可以對滾珠絲杠式慣容器非線性力學性能進行有效的預測。

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E-mail: sunxqujs@126.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.020

收稿日期：2014-03-13；修回日期：2014-05-21

中圖分類號U463.33; TH86

第一作者簡介：孫曉強，男，1989年7月生，博士生。主要研究方向為車輛系統(tǒng)動力學、車輛底盤動態(tài)性能模擬與控制。曾發(fā)表《兩級串聯(lián)式ISD懸架非線性建模與參數(shù)優(yōu)化》(《農(nóng)業(yè)機械學報》2014年第45卷第6期)等論文。

*國家自然科學基金資助項目(50905078)；江蘇省科技支撐計劃資助項目(SBE201300959)