基于稀疏分解的軸承雙沖擊特征提取*

嚴?？?，　周鳳星，　張瑞華

(1．武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室　武漢，430081) (2．武漢科技大學信息科學與工程學院　武漢，430081) (3．江漢大學物理與信息工程學院　武漢，430056)

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基于稀疏分解的軸承雙沖擊特征提取*

嚴保康1,2，周鳳星2，張瑞華3

(1．武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室武漢，430081) (2．武漢科技大學信息科學與工程學院武漢，430081) (3．江漢大學物理與信息工程學院武漢，430056)

摘要旋轉機械的軸承部件出現裂紋或凹坑時，會產生稀疏的雙沖擊信號，在故障早期時，雙沖擊信號會發(fā)生混疊現象。在稀疏分解過程中，傳統(tǒng)的高斯最大原則無法準確提取故障信號原子。筆者通過分析沖擊類故障雙沖擊信號的特點，研究雙沖擊混疊時時頻因子與雙沖擊間隔之間的關系，構造沖擊信號最優(yōu)鄰域，并提出一種鄰域正交匹配追蹤算法。在每次迭代中選取內積最大原子周圍的部分原子組成子框架，計算振動信號在當前框架下的表示，再進一步計算殘差信號，并進行下次迭代，直至滿足迭代終止條件。通過仿真試驗和故障實例分析發(fā)現，該方法能避免過匹配現象，并準確提取雙沖擊成分，從而計算出雙沖擊信號的時間間隔，對故障程度進行判定。

關鍵詞軸承； 雙沖擊信號； 稀疏分解； 框架； 鄰域正交匹配追蹤

引言

振動沖擊信號提取一直是旋轉機械設備故障診斷鄰域的熱點。時頻分析、小波分析、經驗模態(tài)分解、形態(tài)學分析等方法為故障準確判斷提供了強有力的理論支持，為故障診斷鄰域做出了巨大的貢獻[1-3]。

Mallat等[4]提出的基于冗余字典的匹配追蹤方法，通過遍歷冗余字典中的每一個原子，根據內積最大化原則逐漸找到與信號結構最相近的原子。正交匹配追蹤算法在匹配追蹤算法的基礎上，改進了殘差的計算方式，使得每次選取的原子之間都是互不相關的，加快了算法的收斂速度并提高了算法的逼近性能[5]。分段正交匹配追蹤利用框架的思想，每次迭代選取大于閾值的原子構成子框架，計算信號的子框架表示，再進一步計算殘差并迭代[6]?；趬嚎s感知的故障預測方法從通過壓縮感知和稀疏理論對多源故障信號進行有效分離[7]。對故障中的噪聲進行建模并稀疏表示，從而達到濾波的效果，最終實現特征信號的提取[8]。

在軸承出現裂痕故障時，轉動部件之間發(fā)生撞擊會產生沖擊信號，而且在進入故障區(qū)域和離開故障區(qū)域均會產生沖擊信號，即雙沖擊信號，且雙沖擊信號的時間間隔與裂痕寬度成正比。在故障早期，由于裂痕微小可能導致雙脈沖信號出現混疊現象。在匹配追蹤時若采用高斯最大原則，則會導致提取結果錯誤，如匹配追蹤、正交匹配追蹤都存在這種現象。分段正交匹配追蹤由于采用框架思想，克服了雙脈沖的混疊現象，但是在閾值選取上比較單一，往往導致選取的子框架過于冗余，增加了計算量。

根據故障信號產生機理和雙脈沖信號的特點，筆者采用框架的思想，提出了鄰域正交匹配追蹤算法，每次迭代中選取內積最大原子周圍的部分原子構成子框架，然后計算信號在該子框架下的表示，再進一步計算殘差、迭代。通過分析鄰域中尺度因子和位移因子的關系，將鄰域中的原子數目降低到一個很小的范圍，大大減少了計算量；由于框架思想的引入，雙脈沖信號能被準確提取出來，從而精確判斷故障的程度。

1雙脈沖信號產生原理

軸承故障主要分為安裝不當造成的不對中故障和長期運行后磨損造成的故障。不對中故障信號在時域上表現為余弦信號，這類故障通過時頻分析能較好地識別出來[9]。磨損類故障由于外界硬粒物質進入軸承或者承載量太大，長期運行過程中使接觸面表層出現凹坑甚至斷裂，這類故障振動信號在時域上呈現為典型的沖擊信號，其模型如式(1)所示

(1)

其中：u,s,v,w依次為位移因子、尺度因子、頻率因子和相位因子。

磨損類故障在繼續(xù)運行中，由于沖擊負荷會導致凹坑或裂紋逐步擴大，因此存在嚴重的安全隱患。準確提取故障沖擊信號并對故障進行預判具有十分重要的意義。軸承部件在出現裂痕故障時，轉動部件在進入裂痕區(qū)域和離開裂痕區(qū)域均會產生沖擊信號，即出現雙沖擊信號。根據故障特征頻率計算式(2)可推導出裂痕的寬度與雙沖擊時間間隔之間的關系，如式(3)所示

(2)

(3)

其中：fi,fo,fb分別為內圈、外圈、滾動體故障特征頻率；n為滾動體個數；d為滾動體直徑；D為軸承節(jié)徑；α為接觸角；Ni,No分別為內圈、外圈旋轉頻率；Δt為裂痕寬度；Δl為雙沖擊信號時間間隔。

從式(3)中可以看出，沖擊時間間隔與裂痕寬度成正比，與轉頻成反比，即外圈固定，No=0時，內圈轉頻越高，裂痕寬度越小，沖擊時間間隔越小，越容易發(fā)生雙脈沖混疊現象。準確提取雙脈沖時間間隔，根據式(3)能大致計算出裂痕的寬度，進而對故障安全運行時間進行有效預測。

2稀疏表示提取雙脈沖信號

2.1稀疏分解理論

Mallat等[4]于1993年提出基于冗余字典的稀疏分解思想。Donoho等[6]于2004年建立起來的壓縮傳感(compressivesensing,簡稱CS)理論將稀疏分解思想推向了一個全新的高度。稀疏分解算法發(fā)展至今，常用的有匹配追蹤算法(matchingpursuit,簡稱MP)、基追蹤算法(basispursuit,簡稱BP)、框架方法(methodofframes,簡稱MOF)、最佳正交基算法(basisorthogonalbest,簡稱BOB)、正交匹配追蹤算法(orthogonalmatchingpursuit,簡稱OMP)、分段匹配追蹤算法等[10]。對信號進行稀疏分解的研究有極其深遠的理論意義和廣泛的應用價值。信號稀疏分解理論的數學描述為：

(4)

其中：Γk為gi的下標集合。

MP，OMP等算法就是在每一次迭代過程中，用原始信號或殘差信號與冗余字典中所有原子做內積運算，從字典中選取最能匹配信號的一個原子。

2.2StOMP提取雙脈沖信號

在軸承振動信號分析中，通常會涉及到振動沖擊信號，特別是缺損類故障，由于在進入缺陷邊緣和離開缺陷邊緣都會產生脈沖衰減信號，因此就出現了雙脈沖衰減信號，準確提取該雙脈沖信號并計算雙脈沖信號時間間隔可以有效確定軸承故障的類型和故障缺陷的程度。

首先，假設雙峰信號間隔為u0，表達式如下

(5)

對信號進行稀疏分解的原子庫原子模型為

(6)

雙脈沖信號與原子的內積表示為

(7)

MP，OMP等在選取最佳原子中采用的內積最大原則不適合雙脈沖信號，因為雙脈沖信號的間隔u0小于一定范圍時，通過內積最大原則提取的原子往往不是需要的信號成分。例如，當α1=α2=1,u0=50,s0=32，可以計算出=0.86，而根據內積最大原則取得的原子則為g128,25，此時〈ssig,g128,25〉=1.03，顯然匹配的結果出現了錯誤。這對后面的迭代會造成很嚴重的影響而且還會引入多個原子以消除誤差，于是分解的結果就不是最稀疏的。為了解決雙脈沖混疊的現象，Donoho等[6]提出了分段匹配追蹤算法(stage-wise orthogonal matching pursuit，簡稱StOMP)，即在每次迭代中設置一個閾值，將內積大于該閾值的原子均提取出來。即

(8)

(9)

StOMP在一定程度上解決了雙脈沖混疊的現象，但是由于Donoho在t值選取上除了給出2～3之間的建議值外，并沒有給出直觀的選取方法，而t值的隨意改變又會對結果產生混亂的影響，因此限制了該方法的廣泛應用[11]。

3鄰域正交匹配追蹤算法

3.1原子選取策略

雙脈沖信號產生混疊的現象主要是兩個信號的時域間隔太小引起的，時域間隔滿足什么條件才能夠避免產生混疊現象就需要引入脈沖寬度的概念。

假設雙脈沖信號不產生混疊現象的最大時域間隔為umax，則umax需滿足式(10)

(10)

其中：u*和s*為sg取最大值時的最優(yōu)解。

很顯然，當α2=α1時，umax最大，因此在后面的分析中，令α2=α1=1，即均以umax最大的情況作處理，從而保證在領域原子選取中不會遺漏重要原子。

根據式(7)可知，求取sg的最大值可以轉變?yōu)殛P于u和s的二元函數極值問題。對sg求一次偏導，可得

(11)

(12)

當s*=s0時，需要滿足下列條件

(13)

可解出：u0<0.69s0；同理，當s*=2s0時，u0≤1.55s0；當s*=4s0時，u0≤2.62s0。

因此，當使用內積最大原則確定的尺度因子和位移因子分別為sm和um時，則最佳鄰域的選取遵循以下規(guī)則：

1) s=sm，u∈[um-0.69sm,um+0.69sm]；

2) s=sm/2，u∈[um-0.78sm,um+0.78sm]；

3) s=sm/4，u∈[um-0.66sm,um+0.66sm]。

鄰域原子的個數n=4.26sm，原子個數通常遠小于信號長度N。根據式(6)所示的原子表達式可知，原子庫中的原子是非正交的，但是兩兩互不相關，即鄰域原子構成的N×n維集合是列滿秩的。

(14)

根據Ak選擇系數最大的幾個原子作為本次迭代的最佳原子。

3.2算法和實現

在匹配追蹤算法中，MP算法和OMP算法是最常用的兩種算法，兩種算法的不同點在于兩種算法計算殘差的方式不一樣。MP算法中殘差是由上次殘差信號減去其在當前迭代選取的最佳原子中的投影。OMP算法殘差則是原始信號減去其在前面迭代所選取的所有原子組成的集合中的投影。OMP較MP具有明顯的優(yōu)勢：a.克服了MP引起的過匹配現象;b.具有更快的收斂速度；c.具有很好的逼近能力。

鑒于OMP算法上的優(yōu)勢，鄰域正交匹配追蹤算法(neighororthogonalmachingpursuit,簡稱NOMP)在計算殘差時也采用OMP的方法。算法的流程如下：

1)r0=y,x0=0,Γ0=φ,k=1；

2)While停止迭代條件不滿足；

7)Γk=Γk-1∪jk；

10)k=k+1；

11) End；

以上流程中：y表示源信號，r表示殘差，Φ表示原子庫，x表示y在Φ中投影系數，Γ表示原子下標集合，k表示迭代次數，fnb函數表示求取最佳鄰域，fsa函數表示求取最佳原子。

與StOMP相比較，NOMP的優(yōu)勢在于：在每次迭代中，大量減少了子框架的原子數量，降低了計算偽逆矩陣時的計算量，縮短了算法的時間。

4仿真試驗

為驗證領域正交匹配在提取雙沖擊信號的有效性與優(yōu)越性，設置式(15)所示為雙沖擊信號，式(16)模擬振蕩衰減信號，信號長度為800，s=16,32,64，u≥0，k≤1，通過改變s，u，k的值模擬不同類型的雙沖擊信號。

(15)

(16)

圖1所示為不同類型的雙沖擊信號，圖中的虛線部分均為合成信號的兩個原子：Atom1和Atom2，實線部分為合成后的信號：Sig1。從圖1中可以看出，當間隔小于一定范圍時，信號出現了混疊現象，甚至只出現單峰。

圖1　不同參數的雙沖擊信號Fig.1　Twin impulses with different parameters

不同尺度和間隔的雙沖擊信號，在使用內積最大原則進行最佳原子匹配時，計算出的最佳原子尺度如表1所示。

從表1可以看出：a.雙沖擊信號在尺度不變時，在一定范圍內，隨著間隔的增大，最佳原子尺度也隨之增大，超過這個范圍，最佳原子的尺度與雙沖擊信號尺度一致，即沒有出現混疊現象；b.隨著雙沖擊信號尺度的增大，出現混疊現象的間隔也隨之增大，且與NOMP算法中鄰域選取的規(guī)則基本吻合；c.雙沖擊信號中兩個信號的幅值變化對間隔和最佳尺度的影響不大， 同幅值的雙沖擊信號基本能表征不同幅值的雙沖擊信號。

表1　不同間隔和尺度雙沖擊信號的最佳原子尺度

Tab．1The best scale factor to the twin impulses with different scale factors and interval

尺度因子s=16s=32s=64相對幅值位移最佳尺度位移最佳尺度位移最佳尺度k=1.0[26,42][12,25][0,11][43,800]643216[51,84][24,50][0,23][24,800]1286432[100,168][46,99][0,45][46,800]25612864k=0.9[26,39][13,25][0,12][13,800]643216[51,77][24,50][0,23][24,800]1286432[101,154][46,100][0,45][46,800]25612864k=0.8[27,35][13,26][0,12][13,800]643216[53,70][24,52][0,23][24,800]1286432[104,139][46,103][0,45][46,800]25612864k=0.7[29,30][13,28][0,12][13,800]643216[56,60][24,55][0,23][24,800]6432128[47,110][0,46][47,800][111,119]12864256

圖2為選取的出現混疊現象的雙沖擊信號，圖3～圖5分別為使用OMP、StOMP和NOMP算法后提取的最佳原子和匹配后的殘差信號。

圖2　原始信號Fig.2　Original signal

圖3　仿真信號sig 1的OMP分解后信號Fig.3　Decomposition signal with OMP of sig 1

圖4　仿真信號sig 1的StOMP分解后信號Fig.4　Decomposition signal with StOMP of sig 1

圖5　仿真信號sig 1的NOMP分解后信號Fig.5　Decomposition signal with NOMP of sig 1

從圖3～圖5可以看出：使用OMP算法，傳統(tǒng)的內積最大原則選取的第1個最佳原子位移在雙峰信號正中間，尺度也比雙沖擊信號大，使得分解后的結果出現混亂；而StOMP和NOMP采用框架的思想，提取的原子與源信號組成的原子基本吻合，且殘差信號幅值很小，即匹配誤差比較小，匹配程度較高。同時使用NOMP算法運行時間為0.71 s，使用StOMP算法運行時間為1.02 s，NOMP算法在匹配誤差與StOMP差不多的情況下，速度更快。

圖6　雙沖擊振蕩衰減信號sig 2Fig.6　Twin impulses oscillator signal of sig 2

由于振蕩衰減信號是脈沖衰減信號被余弦信號調制產生的，因此在算法處理中，只需加上與之相對應的余弦信號進行匹配即可。圖6所示是式(16)的雙沖擊振蕩衰減信號的波形及其使用NOMP算法處理后的波形,圖6中的信號從直觀上無法分辨出組成信號的兩個原子。

圖7中NOMP分解后的信號原子位移分別是201，215，尺度因子均為32，頻率因子為495，與原始信號組成的兩個原子比較接近。從圖8的殘差信號也能看出匹配誤差較小，通過NOMP分解后，雙沖擊振蕩衰減信號能被有效分離出來。

圖7　仿真信號sig 2的NOMP分解信號Fig.7　Decomposition signal with NOMP of sig 2

圖8　仿真信號sig 2的NOMP分解后殘差信號Fig.8　Residual signal of sig 2

5應用實例

為驗證鄰域正交匹配算法在軸承故障診斷中的有效性，分別用滾動軸承外圈故障和內圈故障進行試驗。試驗軸承型號為N205EM，滾動體直徑為7.5 mm，節(jié)徑為39.5 mm，滾動體個數為12個，接觸角為0°。在內圈和外圈上切割寬為0.7 mm，深為0.7 mm的槽模擬軸承裂紋故障，采集信號傳感器為IMI M626B03型號的加速度傳感器，采樣頻率為20 kHz。圖9～圖11為轉速600 r/min時內圈故障振動信號及采用NOMP方法分解后的信號及其殘差信號。圖12～圖14為轉速600 r/min時外圈故障振動信號及采用NOMP方法分解后的信號及其殘差信號。表2、表3分別為內圈、外圈故障NOMP分解后的原子參數。

圖9　轉速600 r/min內圈故障振動信號Fig.9　Vibration signal of inner fault at 600 r/min

圖10　600 r/min內圈故障信號的NOMP分解Fig.10　NOMP of inner fault at 600 r/min

圖11　600 r/min內圈故障信號NOMP分解后殘差信號Fig.11　Residual signal after NOMP of inner fault at 600 r/min

圖12　轉速600 r/min外圈故障振動信號Fig.12　Vibration signal of outer fault at 600 r/min

圖13　600 r/min外圈故障信號的NOMP分解信號Fig.13　NOMP of outer fault at 600 r/min

圖14　600 r/min外圈故障信號NOMP分解后殘差信號Fig.14　Residual signal after NOMP of outer fault at 600 r/min

從圖9中的內圈故障振動信號中可以看出，隨著軸承的轉動，故障沖擊信號在傳感器方向的幅值較大，然后逐漸減小直至下次出現在傳感器方向，因此大幅值沖擊信號出現的頻率應該與轉頻一致，而所有沖擊信號出現的頻率應與故障特征頻率一致，由于部分方向信號幅值太小無法檢測到，但是根據相鄰沖擊信號間隔可以計算出故障頻率實際值。從圖10和圖11看到，使用NOMP能很好地將故障信號從噪聲中分離出來。根據表2中匹配原子的數據，特別是位移因子的數據，利用式(3)可估算出裂痕寬度大約為0.78 mm，同樣根據已知采樣頻率和原子的間隔可計算出轉頻10.2 Hz，與轉速600 r/min相吻合；故障頻率計算值為74.4 Hz與理論值71.4 Hz接近。

表2轉速600 r/min的內圈故障信號NOMP分解后的原子

Tab.2The atoms extracted through NOMP to the inner fault signal at 600 r/min

原子尺度因子s位移因子u頻率因子v1647247452128997750312810247504641289745564264175061282951750712829797508643238745912849017501012849277551164518274512128685475513128687975014647130745

表3轉速600 r/min的外圈故障信號NOMP分解后的原子

Tab.3The atoms extracted through NOMP to the outer fault signal at 600 r/min

原子尺度因子s位移因子u頻率因子v16411280026413480536453080046455480556494180566496680076413588058641380805964177180510641795805

從圖12中的波形可以看出，由于外圈固定，無法體現轉頻信息，且沖擊信號幅值比較穩(wěn)定。圖13和圖14表明，NOMP能有效將故障沖擊信號分離出來。根據表3中的匹配原子數據可以計算出裂痕寬度大約為0.71 mm，與實際值接近；故障頻率為48.2 Hz，與理論值48.6 Hz吻合。

6結束語

為了有效提取故障中存在混疊現象的雙脈沖信號，本研究NOMP采用框架思想，通過每次迭代將信號在子框架中進行表示，避免了內積運算中高斯最大原則引起的錯誤，實現了雙脈沖信號的分離。

在構造子框架中，由于采用的鄰域方法，相對StOMP的閾值方法，在算法精確度相仿的情況下，大量減少了矩陣運算中的計算量，縮短了運算時間。

在仿真試驗和故障實例應用中，通過數據和波形比較表明，NOMP方法在故障診斷中對故障裂痕程度的提取和判斷提供了很好的解決方案。

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E-mail：ybk870610@126.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.015

收稿日期：2014-02-17；修回日期：2014-03-25

中圖分類號TH133； TN911

第一作者簡介：嚴?？担校?987年6月生，博士生。主要研究方向為設備故障監(jiān)測與故障診斷。

*武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室開放基金資助項目(2015B17);國家自然科學基金資助項目(61174106)