泛灰數(shù)學(xué)的不確定鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率分析*

靳紅玲，　陳建軍，　曹鴻鈞，　徐亞蘭

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院　楊凌， 712100) (2.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室　西安， 710071)

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泛灰數(shù)學(xué)的不確定鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率分析*

靳紅玲1,2，陳建軍2，曹鴻鈞2，徐亞蘭2

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院楊凌， 712100) (2.西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安， 710071)

摘要針對(duì)不確定因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力特性的影響，在應(yīng)用泛灰數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，對(duì)不確定鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有頻率的求解方法進(jìn)行了研究。首先，通過對(duì)泛灰數(shù)四則運(yùn)算結(jié)果的分析，指出了利用泛灰數(shù)進(jìn)行區(qū)間分析存在的缺陷，提出了一種改進(jìn)的泛灰數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則，進(jìn)而將鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的不確定性參數(shù)用泛灰數(shù)表示；其次，基于矩陣傳遞法，導(dǎo)出了系統(tǒng)固有頻率的非線性泛灰方程，并針對(duì)該方程的求解，在運(yùn)用泛灰數(shù)運(yùn)算規(guī)則的基礎(chǔ)上，提出了一種區(qū)間搜索進(jìn)退算法；最后，通過算例說明了筆者算法的可行性和求解方法的有效性。

關(guān)鍵詞鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)； 傳遞矩陣法； 泛灰數(shù)學(xué)； 不確定性； 固有頻率

引言

結(jié)構(gòu)固有頻率的計(jì)算在工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析和設(shè)計(jì)中具有重要的作用。但在實(shí)際中，由于幾何參數(shù)、物理參數(shù)等可能存在的不確定性，使得在結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析時(shí)有必要考慮這些不確定性因素對(duì)固有頻率的影響。灰色系統(tǒng)理論[1]是繼隨機(jī)理論、模糊理論和區(qū)間數(shù)學(xué)[2-4]之后解決不確定性問題的又一類方法，它可以處理多種不確定性，尤其適用于解決概率統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)難以解決的“小樣本”、“貧信息”不確定問題，而在決策學(xué)、預(yù)測學(xué)等領(lǐng)域也有廣泛的前景[5-6]。在灰色系統(tǒng)理論基礎(chǔ)上，有學(xué)者提出了泛灰集合和泛灰數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)[7]，為灰色信息的定量描述提供了新途徑。泛灰數(shù)學(xué)由于其有關(guān)運(yùn)算能夠展開，為此利用泛灰數(shù)學(xué)方法處理不確定性問題，具有較好的實(shí)用性[8-10]。

工程中許多結(jié)構(gòu)和傳動(dòng)機(jī)械裝置，如連續(xù)梁結(jié)構(gòu)、多層框架結(jié)構(gòu)、船舶推進(jìn)軸等均可簡化為鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)。對(duì)于該類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，迄今所見到的大多數(shù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析建模均屬于確定性模型[11]。此類模型無法反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的不確定因素對(duì)其動(dòng)力特性的影響，在許多情況下，必須考慮系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)參數(shù)本身的不確定性。目前，針對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)具有不確定性的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力特性的研究較少[12-13]。

現(xiàn)以含有區(qū)間參數(shù)的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)為對(duì)象，筆者結(jié)合泛灰數(shù)學(xué)方法和傳遞矩陣法，研究了該系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度同時(shí)具有區(qū)間不確定性時(shí)系統(tǒng)固有頻率的求解方法。

1泛灰數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其區(qū)間分析

1.1泛灰數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

泛灰數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則[7]如下

(1)

(2)

(4)

(5)

為泛灰數(shù)g1,g2之間的距離，簡稱為泛灰模，它有如下性質(zhì)：a.d(g1,g2)≥0；b.d(g1,g2)=0?g1=g2；c.d(g1,g2)=d(g2,g1)。

1.2泛灰數(shù)學(xué)的區(qū)間分析功能

1) 當(dāng)a>0，有

(6)

2) 當(dāng)ab<0，且max{|a|,|b|}=b，有

(7)

3) 當(dāng)ab<0，且max{|a|,|b|}=|a|，有

(8)

4) 當(dāng)b<0，有

(9)

利用區(qū)間數(shù)計(jì)算函數(shù)值域，計(jì)算結(jié)果與函數(shù)的表達(dá)式有關(guān)[10]；而利用泛灰數(shù)計(jì)算函數(shù)值域與函數(shù)的表達(dá)式無關(guān)，且用泛灰數(shù)計(jì)算得到的解區(qū)間包含于區(qū)間數(shù)計(jì)算得到的解區(qū)間。筆者通過分析式(4)發(fā)現(xiàn)：在該泛灰數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則中，商的上界和下界分別是由參與運(yùn)算的泛灰數(shù)的上界和上界、下界和下界計(jì)算得到，而上界和下界之間沒有運(yùn)算關(guān)系，其結(jié)果將可能使函數(shù)值域被縮小。為此針對(duì)式(4)提出如下改進(jìn)的泛灰數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則：若g2≠0，且g1，g2相互獨(dú)立，則

(10)

由以上分析可知，泛灰數(shù)具有區(qū)間分析功能，利用改進(jìn)的泛灰運(yùn)算規(guī)則計(jì)算得到的函數(shù)解區(qū)間可以更好地接近真實(shí)解。由于區(qū)間擴(kuò)展與因變量的運(yùn)算順序有關(guān)，所以求解時(shí)需先將函數(shù)中區(qū)間數(shù)全部轉(zhuǎn)換為泛灰數(shù)，再用以上改進(jìn)的泛灰函數(shù)運(yùn)算規(guī)則求解。

2鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特性分析

圖1 軸盤扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型Fig.1　Torsional vibration model of shaft-disc system

(11)

其中：θ，M分別為盤與軸的轉(zhuǎn)角和扭矩，向量上標(biāo)符號(hào)L,R分別表示盤與軸的左面和右面；Ci稱為第i個(gè)子傳遞矩陣，C為整個(gè)軸系的總傳遞矩陣。

Ci和C的各元素一般為系統(tǒng)固有頻率p的函數(shù)，可分別表示為

(12)

(13)

(14)

其中：f(δ,p)為系統(tǒng)固有頻率函數(shù)；δi(i=1,2,…,m)為系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即指諸Ji和ki等。

3系統(tǒng)固有頻率非線性泛灰方程的求解

f([δ],p)=f([δ1],[δ2],…,[δm],p)=0

(15)

(16)

運(yùn)用泛灰數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)式(16)整理后得

(17)

根據(jù)泛灰數(shù)與區(qū)間數(shù)的轉(zhuǎn)換規(guī)則，式(17)再變換為關(guān)于p的非線性區(qū)間方程

(18)

(19)

這種利用區(qū)間搜索的進(jìn)退算法，求解不確定鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)固有頻率解區(qū)間的主要步驟如下。

1) 建立所研究鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的子傳遞矩陣Ci，根據(jù)公式C=CnCn-1…C1得到總傳遞矩陣C。

2) 由邊界條件表出狀態(tài)向量Zn，Z1，再由Zn=CZ1傳遞公式得到非線性方程f(δ,p)=0。

4算例

算例1單鏈?zhǔn)饺S段圓盤扭振系統(tǒng)[13]：左端固定，右端自由。各圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji=J(i=1,2,3)相同，各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度ki=k(i=1,2,3)相同，其中各Ji存在±3%的誤差，各ki存在±5%的誤差。求系統(tǒng)的各階固有頻率，各階傳遞矩陣為

結(jié)構(gòu)參數(shù)ki,Ji(i=1,2,3)相互獨(dú)立，上式中每一除式中分子、分母均相互獨(dú)立，所以可應(yīng)用改進(jìn)的泛灰數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則。置允許誤差ε=10-4，分別用泛灰運(yùn)算和改進(jìn)的泛灰運(yùn)算，得到系統(tǒng)各階固有頻率值域與區(qū)間逐步離散法[13]的結(jié)果見表1。

表1　鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的固有頻率區(qū)間

由表1可見，泛灰解區(qū)間是文獻(xiàn)[13]的解區(qū)間的子集，而改進(jìn)的泛灰解區(qū)間與文獻(xiàn)[13]相同。區(qū)間逐步離散法對(duì)于問題中的區(qū)間變量變化較小時(shí)，其計(jì)算結(jié)果能逼近真實(shí)的解區(qū)間[13]。由于利用改進(jìn)的泛灰數(shù)運(yùn)算方法，故改進(jìn)的泛灰解比原泛灰解更逼近于原方程的準(zhǔn)確解。

算例2求圖2所示5自由度框架結(jié)構(gòu)的各階固有頻率的解區(qū)間[14]。其剛度參數(shù)區(qū)間[k1]=[2,2.02]kN/m，[k2]=[1.8,1.85]kN/m，[k3]=[1.6,1.63]kN/m，[k4]=[1.4,1.42]kN/m，[k5]=[1.2,1.21]kN/m；質(zhì)量參數(shù)區(qū)間[m1]=[29,31]kg，[m2]=[26,28]kg，[m3]=[26,28]kg，[m4]=[24,26]kg，[m5]=[17,19]kg。

圖2　多層框架結(jié)構(gòu)Fig.2　Multiple storied frame structure

該鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)其各階傳遞矩陣為

表2　框架結(jié)構(gòu)的固有頻率區(qū)間

由表2可見，矩陣攝動(dòng)法得到的解區(qū)間與本問題的精確解即全局優(yōu)化解沒有明顯的包含與被包含的關(guān)系；泛灰解區(qū)間是全局優(yōu)化解區(qū)間的子集；而筆者改進(jìn)的泛灰解區(qū)間則與全局優(yōu)化解相同，再次彰顯了改進(jìn)的泛灰解的正確性。

從計(jì)算過程分析，采用區(qū)間逐步離散算法，針對(duì)某階固有頻率的計(jì)算時(shí)間與系統(tǒng)中自由度個(gè)數(shù)和獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)，且計(jì)算時(shí)間隨著系統(tǒng)中獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)的增長呈冪次方增長[13]，在獨(dú)立參數(shù)較多時(shí)，計(jì)算效率低；而筆者算法與系統(tǒng)中自由度個(gè)數(shù)和獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)無關(guān)，計(jì)算時(shí)間較短。

5結(jié)束語

筆者提出了改進(jìn)的泛灰數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則，并編寫了泛灰四則運(yùn)算的Matlab程序，通過數(shù)學(xué)算例表明了該運(yùn)算規(guī)則的合理性。文中提供了不確定鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算的新方法。算例結(jié)果與其他文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比表明：原泛灰數(shù)運(yùn)算規(guī)則下的固有頻率的解區(qū)間包含于系統(tǒng)的準(zhǔn)確解，而改進(jìn)泛灰數(shù)運(yùn)算規(guī)則下的解區(qū)間則為原問題的精確解，進(jìn)一步驗(yàn)證了改進(jìn)泛灰數(shù)運(yùn)算規(guī)則的合理性和正確性。進(jìn)行不確定性鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)各階固有頻率分析時(shí)，基于泛灰理論的區(qū)間搜索進(jìn)退算法沒有引入更多假設(shè)，求解過程與系統(tǒng)中自由度個(gè)數(shù)和獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)無關(guān)，適用面較廣，計(jì)算效率較高。

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E-mail：375996348@qq.com

doi:10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.02.007

收稿日期：2014-03-25；修回日期：2014-04-23

中圖分類號(hào)O242.29； TB122； TH113.1

第一作者簡介：靳紅玲，女，1975年9月生，博士、講師。主要研究方向?yàn)椴淮_定結(jié)構(gòu)分析與可靠性工程。曾發(fā)表《計(jì)算廣義Rayleigh商的泛灰數(shù)學(xué)方法》(《振動(dòng)、測試與診斷》2013年第33卷第3期)等論文。

*中國博士后科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(2015M582709)；中央高?；究蒲匈Y金資助項(xiàng)目(2452015058)