排隊論在食堂窗口服務中的應用

任娟娟（西南交通大學，四川 成都 611756）

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排隊論在食堂窗口服務中的應用

任娟娟
（西南交通大學，四川 成都 611756）

摘 要：本篇文章通過分析學校食堂窗口的排隊系統(tǒng)這樣一個實例，應用排隊論，為學校食堂窗口服務構建相應的定量模型。通過建立數(shù)學模型，利用排隊論中的相關知識結合 MATLAB軟件求得了合適的窗口數(shù)，然后再結合實際分析食堂的利益，在兩者之間進行權衡，得到了窗口數(shù)量的最優(yōu)解。

關鍵詞：排隊論；數(shù)學建模；MATLAB；最優(yōu)解

合適的窗口數(shù)量關乎學生和食堂管理者的利益。在這篇論文中，筆者通過分析我校某食堂窗口的排隊系統(tǒng)，應用排隊論為我校某食堂窗口服務構建相應的定量模型。

1　排隊系統(tǒng)的分析

1.1排隊系統(tǒng)基本排隊過程

圖1　排隊系統(tǒng)框圖

1.2穩(wěn)定狀態(tài)

為了分析的簡便，我們假設輸入過程和服務時間是平穩(wěn)的。

（1）常用的數(shù)量指標。隊長和排隊長，等待時間和逗留時間，忙期和閑期。

（2）主要數(shù)量指標：平均隊長；平均等待隊長；平均逗留時間；平均等待時間。

（3）其他常用數(shù)量指標：窗口數(shù)目；平均到達率；到達的平均間隔；平均打飯速率；平均打飯時間；任一時刻穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中所有學生數(shù)；在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中任一學生的逗留時間；在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中任一學生的等待時間；任一時刻穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中狀態(tài)為n的穩(wěn)態(tài)概率；服務強度。

2　實例分析

2.1問題的提出

在我校，到飯點時，食堂排起長隊變得十分擁擠。窗口的數(shù)量關乎學生和食堂管理者的利益，所以窗口的數(shù)量是大家都很關心的問題。因此我們要找到最合適的窗口數(shù)量。

2.2模型的假設

（1）假設學生在吃飯的高峰期到達人數(shù)是有限的，以泊松過程到達（參數(shù)為λ）；（2）學生對任意窗口沒有偏好，打飯時間服從負指數(shù)分布（參數(shù)為μ）；（3）假設每個窗口有一個隊列且沒有插隊現(xiàn)象。

2.3模型的建立及求解

這個模型符合排隊論中的M/M/S模型。經(jīng)過調查以及畫概率直方圖的方法，可判斷出學生流符合泊松分布流。該食堂有5個窗口，下表顯示某周周一到周五 11:30-12:30吃飯高峰期學生流的分布情況，每5分鐘為一個時段到達。

表1　每5分鐘學生到達人數(shù)統(tǒng)計表

由上表可知：

食堂中學生個數(shù)為0的概率：

學生的平均等待隊長為：

從上面數(shù)據(jù)可知，在吃飯高峰期來到食堂吃飯將會看到36個人都在買飯，其中32人在排隊等待，每個窗口就有6個人在等待，平均要等待2.3分鐘，要呆2.6分鐘左右才能吃上飯。

2.4問題的分析

通過分析3中公式我們可以看出來窗口數(shù)量是影響平均排隊時間的唯一因素。下面就對S的值對 W的影響進行分析，我把λ、μ還有不同的窗口數(shù)量代入公式（1）中，得到相應的ρ*的值，然后把λ、μ、s和ρ*代入公式（2）中得到 P0，［2］把上述步驟得到的數(shù)據(jù)代入公式（3）得到 Lq，進而得到相應的L、Wq和W的值，由上述運算過程我們得到了下表：

表2　學生平均逗留時間與窗口數(shù)量的關系表

用MATLAB7.0進行三次多項式的擬合，從而得到擬合圖。擬合多項式關系式為：

圖2　w與s的關系的擬合圖

從上圖看出隨窗口數(shù)量的增加，平均排隊等待時間減少，當窗口數(shù)為7時，時間趨于平穩(wěn)。經(jīng)過調查綜合多方面分析我們知道每增加一個窗口食堂的成本每周得增加300元。我們假定每五分鐘可賺15元，由此得到：食堂因學生等待而損失了：C=15×2421W 。食堂因窗口數(shù)由6變?yōu)?可減少損失：ΔC=15×2421×0.3=10894.5。因此，最佳窗口數(shù)量為7。

3　模型的進一步討論

上文分析中我們得到食堂的綜合效益是由食堂的經(jīng)濟收益和社會效益來決定的。并且食堂的經(jīng)濟收益是由食堂的收入決定的，社會效益是由學生對食堂的服務滿意度決定的（滿意度是由學生在食堂的逗留時間決定的）。因此，在這里設食堂的收入為x，學生逗留時間為T，應用構造效用函數(shù)的方法并且賦予食堂收入所占的權重為ω，因此，食堂的經(jīng)濟收益可用來表示，社會效益可以用來表示，這樣就得到了兩個0到1之間的數(shù)據(jù)。由上述分析，得到：食堂的綜合效益=食堂的經(jīng)濟收益+社會效益。我利用這個等式分析得出最佳窗口數(shù)量為 7，當窗口數(shù)為7是即可以縮短排隊時間使得學生受益，也可以增加食堂收入，使雙方都受益。

參考文獻：

［1］陳傳賚. 排隊論.［M］. 北京: 北京郵電學院出版社， 1994.

［2］王興貴， 焦爭昌.基于排隊論的銀行排隊問題研究［J］. 湘潭師范學院學報（社會科學版）， 2008（1）:58-60.

（責任編輯：雷 君）

中圖分類號：F224.34

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.057

文章編號：1672–7304（2016）01–0120–02

作者簡介：任娟娟（1989-）， 女，河南洛陽人 ，碩士研究生在讀，研究方向：應用數(shù)學。

Applications Of Queuing Theory In Dining Room

REN Juan-juan
（Southwest Jiao tong University， Chengdu Sichuan 611756）

Abstract:This article， through the analysis of the school cafeteria window queuing system such a examples， the application of queuing theory and corresponding quantitative model is built for the school canteen service window. Through the establishment of mathematical model， using queuing theory knowledge combined with MATLAB software was used to derive the appropriate number of windows， and then combined with the actual analysis of the canteen of interests， in between trade-off optimal number of window are obtained.

Keywords:Queuing theory；Mathematical modeling；MATLAB software；Optimal solution