黃金分割發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

王浩成（河北省易縣中學(xué)，河北 易縣 074200）

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黃金分割發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

王浩成
（河北省易縣中學(xué)，河北 易縣 074200）

摘 要：黃金分割被認為是一種具有非常嚴格的和諧性、比例性、藝術(shù)性的數(shù)字，并且其中蘊藏著非常豐富的美學(xué)價值。這一比值能夠引發(fā)人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例。本文介紹并討論了黃金分割的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展過程以及其在各領(lǐng)域的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：黃金分割；黃金比例；應(yīng)用

一、黃金分割簡介

（一）發(fā)現(xiàn)歷史

黃金分割或稱黃金比例的第一次詳細描述是在2300年前歐幾里得的《幾何原本》（elements）中，其定義為：將整體一分為二，其中較大部分與整體部分的比值等于其較小部分與較大部分的比值，這一比值為（5-1）：2是一個無限不循環(huán)小數(shù)，其值約為0.618。這個比例后來被公認為是最能夠引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。

（二）數(shù)學(xué)關(guān)系

比較著名的斐波那契數(shù)列，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……通過研究不難發(fā)現(xiàn)，對于菲波那切數(shù)列的各項來說，相鄰兩項的商越靠后就越接近0.618，而通過通項公式去求相鄰兩項商的極限其結(jié)果正是黃金比例，因此菲波那切數(shù)列又稱之為黃金比數(shù)列。

另外，黃金分割在幾何角度方面的數(shù)值為2sin18°，其定義由黃金分割三角形確定。黃金分割三角形，即一個正五邊形的所有對角線所組成的全部三角形均為黃金分割三角形。其共同的特性為：黃金分割三角形是唯一的一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來組成與其本身相似的三角形的三角形。而除此之外的所有三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成一個與其本身相似的三角形。

二、黃金分割的應(yīng)用

（一）在科學(xué)研究上的應(yīng)用

黃金分割的比例0.618這一數(shù)字最為數(shù)學(xué)家所關(guān)注，通過研究黃金比例，人們解決了許多數(shù)學(xué)界尤其是在幾何方面的難題，比如：求18°、36°角的正、余弦值，圓周的十等分、五等分等。

另外，可通過對黃金分割比例的應(yīng)用而將優(yōu)選法變?yōu)榭赡堋?/p>

比如，在某種試驗中，某數(shù)值取值的變化范圍在0～10之間，要尋找實驗效果最佳在哪個數(shù)值時，最常用的方法被稱為對分法，即每次取數(shù)值的中點進行區(qū)分考察，但這種方法并不是最快的實驗方法。其實可以先找出實驗的數(shù)值變化范圍的黃金分割點，即10×0.618，進而去觀察實驗取值為10×0.618=6.18時的試驗效果，然后再觀察實驗取值為10× （1-0.618）=3.82時的試驗效果，通過對兩者的比較，選優(yōu)去劣，減小數(shù)值取值范圍。然后就可以在縮小后的變化范圍內(nèi)重復(fù)上述過程，直至選出最佳的數(shù)值，應(yīng)用優(yōu)選法后實驗的次數(shù)將會大大減少。現(xiàn)在稱這種通過取區(qū)間的0.618處作為試驗點的方法為一維的優(yōu)選法（0.618法）。通過實踐可以證明，對于一個其他因素都相同的問題，用優(yōu)選法做16次試驗的效果等價于“對分法”做2500次試驗才能達到的效果。

（二）藝術(shù)與黃金分割

在繪畫方面，黃金分割率以及黃金矩形能夠給畫面布局帶來美感。因此在很多藝術(shù)品中都能找到它。達?芬奇的《維特魯威人》《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》等名畫中都應(yīng)用到了黃金分割的比例進行布局。

在雕塑藝術(shù)上，雕塑人體的身材最優(yōu)美的比例是按照0.618:1來設(shè)計腿長與身高的比例。因此，無論維納斯女神塑像還是太陽神阿波羅的形象都是通過故意延長雕塑人體的雙腿，使其與身高的比值接近0.618，進而創(chuàng)造出藝術(shù)的美感。

（三）黃金分割在建筑學(xué)里的應(yīng)用

“黃金分割比”的應(yīng)用幾乎遍及世界上最著名的古老建筑物。無論古埃及的金字塔，還是古印度的泰姬陵，或者古希臘的帕特農(nóng)神殿，甚至中國建設(shè)的故宮、法國的巴黎圣母院，黃金分割在古建筑里的應(yīng)用不勝枚舉。另外，除了人所共知的著名古代建筑，現(xiàn)當代各種優(yōu)秀建筑中，雖然其建筑風格的變化多端，在構(gòu)圖布局或設(shè)計方面都有意無意地運用了黃金分割的比例，進而給人帶來建筑整體上的和諧和悅目之美。比如勒?柯布西耶的朗香教堂，被譽為其驚世之作，他在設(shè)計上很多細節(jié)都大量使用了黃金比例，最后因其帶有表現(xiàn)主義傾向的造型震動了當時整個建筑界。

（四）黃金分割在生活中的應(yīng)用

在日常生活中，很多小細節(jié)也充滿著黃金分割的影子。A4紙、各種顯示屏的長寬比，人體感覺最適應(yīng)的溫度和體溫的比值，這些都符合黃金分割的比例。在自然界中，很多動植物的生長都遵從黃金分割的規(guī)律。一些植物的萼片、花瓣、果實數(shù)目以及排列的方式上，都非常符合黃金分割的規(guī)律，如菠蘿、松子等。

三、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

黃金分割就好像一個代表著藝術(shù)美學(xué)數(shù)字，通過黃金分割的應(yīng)用與研究不僅幫助人們解決了不少數(shù)學(xué)上的難題，更加滲透到其他各個學(xué)科之中，并發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

只有通過對數(shù)學(xué)不斷的深入學(xué)習和理解，才能逐漸在學(xué)習過程中領(lǐng)略到數(shù)學(xué)之美，才能應(yīng)用數(shù)學(xué)在生活中能解決越來越多的難題，才能更多地發(fā)現(xiàn)生活中需要解決的問題。這同樣需要在生活中善于觀察，積極思考，將學(xué)到的知識與實際生活結(jié)合起來。

參考文獻：

［1］司志本.黃金分割——神圣的分割［J］.湖南第一師范學(xué)報，2003（1）.

［2］張雄.黃金分割的美學(xué)意義及其應(yīng)用［J］.自然辯證法研究，1999（11）.

［責任編輯 房曉偉］

The Beauty of Mathematics Hidden in the Golden Section Method

WANG Hao-cheng
（Yi County Middle School，Yi County Hebei，072400，China）

Abstract:The golden section is regarded as a very strict harmony，proportionality，artistic figure，in which there is a very rich aesthetic value.This ratio can arouse people's aesthetic feeling.It is the ideal ratio in architecture and art.This paper introduces and discusses the discovery and development of the golden section.At the same time its applications in various fields are also mentioned.

Key words:golden section； the golden ratio； application

中圖分類號：G62

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9132（2016）20-0017-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.20.008