基于雙紐線軌跡的凸輪小車設(shè)計(jì)

徐　柳　彭松林　劉國凱　胡　南　余五新　馬致遠(yuǎn)　廖志雄

(江漢大學(xué) 機(jī)電與建筑工程學(xué)院　湖北　武漢：430056)

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基于雙紐線軌跡的凸輪小車設(shè)計(jì)

徐柳彭松林*劉國凱胡南余五新馬致遠(yuǎn)廖志雄

(江漢大學(xué) 機(jī)電與建筑工程學(xué)院湖北武漢：430056)

摘要設(shè)計(jì)了一輛將重力勢能通過動(dòng)力轉(zhuǎn)換裝置及轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)自動(dòng)避障的‘8’字凸輪小車。小車采用伯努利雙紐線作為主動(dòng)輪的行駛軌跡，并推導(dǎo)刻畫出凸輪以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向功能。利用MATLAB仿真工具模擬主動(dòng)輪行駛的實(shí)際軌跡，并對(duì)小車關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行單因素分析，總結(jié)變化規(guī)律，降低調(diào)試難度。進(jìn)一步運(yùn)過補(bǔ)償分析，綜合調(diào)節(jié)關(guān)鍵參數(shù)來降低因零件加工誤差對(duì)軌跡的影響，合理地控制加工成本。

關(guān)鍵詞無碳小車；凸輪機(jī)構(gòu)；MATLAB；伯努利雙紐線；誤差分析

根據(jù)全國大學(xué)生工程訓(xùn)練能力大賽的命題要求，設(shè)計(jì)了一輛將重力勢能通過動(dòng)力轉(zhuǎn)換裝置及轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)自動(dòng)避障的‘8’字凸輪小車。小車?yán)脛?dòng)力轉(zhuǎn)換裝置及轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)對(duì)不同間距障礙物的自動(dòng)避障?！?’字小車更是必須在較短距離內(nèi)實(shí)現(xiàn)較大的轉(zhuǎn)向，并在一定的加工誤差及裝配誤差的條件下，盡量多地重復(fù)繞過障礙物。因此，小車結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)在于如何實(shí)現(xiàn)‘8’字軌跡并提高其重復(fù)度。

1結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1總體結(jié)構(gòu)及動(dòng)力轉(zhuǎn)換裝置的設(shè)計(jì)

小車為了實(shí)現(xiàn)‘8’字避樁，必須連續(xù)性的完成轉(zhuǎn)向過程，而小車在轉(zhuǎn)彎時(shí)因存在差速問題，會(huì)造成行駛軌跡的突變，軌跡精度嚴(yán)重下降，甚至?xí)?dǎo)致翻車等狀況。為了保證小車轉(zhuǎn)彎時(shí)的平穩(wěn)性，因而采用較慢速的單輪驅(qū)動(dòng)，即將兩輪中的一輪作為主動(dòng)輪，起提供動(dòng)力的作用，另一輪作為主要起支撐作用的從動(dòng)輪。導(dǎo)向輪在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的作用下實(shí)現(xiàn)小車的轉(zhuǎn)彎。小車結(jié)構(gòu)簡圖如圖1。

圖1　小車結(jié)構(gòu)簡圖

小車動(dòng)力轉(zhuǎn)換裝置利用定滑輪組系及繞線輪將重錘的重力轉(zhuǎn)化為繞線桿的轉(zhuǎn)矩，直接帶動(dòng)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，同時(shí)經(jīng)齒輪組將動(dòng)力傳遞到主動(dòng)輪，從而驅(qū)動(dòng)小車在水平面內(nèi)按‘8字’軌跡行駛。增設(shè)繞線輪是為了便于啟動(dòng)小車和控制小車低速平穩(wěn)行使，故繞線輪的直徑大小是保證小車勻速行駛的基礎(chǔ)。

1.2轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)[1]是由轉(zhuǎn)向裝置帶動(dòng)導(dǎo)向輪使其在任一時(shí)刻產(chǎn)生符合形成軌跡所需偏角的一組機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動(dòng)需具有周期性和連續(xù)性。采用凸輪機(jī)構(gòu)[2]可很好地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)要求。

伯努利雙紐線的方程為[3]：

(x2+y2)2=2a2xy

(1)

2a=750mm時(shí)，其函數(shù)圖像如圖2所示，以該曲線為小車主動(dòng)輪行駛軌跡，且此時(shí)2a為雙紐線的橫向總長。

圖2　伯努利雙紐線

式(1)對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為[4]：

(2)

主動(dòng)輪軌跡的曲率為：

(3)

如圖3，小車有左右轉(zhuǎn)彎兩種狀態(tài)[5]，規(guī)定右轉(zhuǎn)時(shí)θ為正值，則可將左右轉(zhuǎn)彎的幾何關(guān)系統(tǒng)一為式(4)，以便于后期仿真：

(4)

圖3　小車轉(zhuǎn)彎狀態(tài)

由圖1中小車結(jié)構(gòu)簡圖可知，凸輪輪廓矢徑A，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中車身長D，推桿長L2，齒輪中心距C及凸輪距中心線橫向距離L1在中心線上的投影滿足幾何關(guān)系：

(5)

聯(lián)立(3)～(5)可得：

(6)

式(6)表明：小車主動(dòng)輪軌跡點(diǎn)坐標(biāo)與凸輪輪廓矢徑一一對(duì)應(yīng)，故用MATLAB[6]編程可將其刻畫出來，具體輪廓如圖4所示。

圖4　凸輪輪廓

2實(shí)際軌跡生成

在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中，凸輪作為實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向功能的核心部件，又是保證轉(zhuǎn)向精度的關(guān)鍵零件，因而校核凸輪輪廓的準(zhǔn)確性尤為重要?？蓪⑼馆嗇喞我庖皇笍椒赐瞥鰧?duì)應(yīng)的主動(dòng)輪與地面接觸點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用MATLAB仿真[7]，即可生成主動(dòng)輪行駛軌跡，亦即實(shí)際軌跡。

2.1前提假設(shè)

基于四點(diǎn)假設(shè)[8]：①小車運(yùn)行過程中各輪在地面上純滾動(dòng)；②地面絕對(duì)平整；③小車運(yùn)行過程中，零件的加工精度及整車的裝配精度不會(huì)變化；④小車行駛時(shí)，不考慮空氣阻力等影響，可用MATLAB仿真小車實(shí)際軌跡。

2.2實(shí)際軌跡推導(dǎo)

由圖1及式(5)可知，小車導(dǎo)向輪轉(zhuǎn)角滿足：

(7)

雙紐線的弧微分方程為：

(8)

小車在任意時(shí)間微元下，整車轉(zhuǎn)角β與實(shí)際軌跡弧長ds的關(guān)系為：

(9)

則在該任意時(shí)間微元下，實(shí)際軌跡坐標(biāo)增量為：

(10)

聯(lián)立(7)～(10)可得任意時(shí)刻主動(dòng)輪軌跡坐標(biāo)為：

(11)

試選小車各參數(shù)及關(guān)鍵參數(shù)D，L1并結(jié)合式(11)應(yīng)用MATLAB仿真得到若干個(gè)周期的主動(dòng)輪行駛的雙紐線實(shí)際軌跡如圖5所示。

圖5　小車實(shí)際軌跡

3關(guān)鍵參數(shù)單因素分析

在圖5中，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際軌跡曲線并不封閉，在每一周期的起始及結(jié)束處有較小的偏差，這說明對(duì)于試選的參數(shù)D，L1不滿足要求，需要通過對(duì)參數(shù)微調(diào)來完善仿真。

3.1D對(duì)實(shí)際軌跡的影響

運(yùn)用控制變量法保持其他參數(shù)不變，等量調(diào)節(jié)D值大小，來探求D值的變化對(duì)實(shí)際軌跡的影響規(guī)律，其結(jié)果如圖6(a)所示。由此可發(fā)現(xiàn)：D增大，實(shí)際軌跡明顯發(fā)散，且繞對(duì)稱軸逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)顯著；D減小，實(shí)際軌跡亦明顯發(fā)散，且繞對(duì)稱軸順時(shí)針偏轉(zhuǎn)顯著；不論D增大或是減小，實(shí)際軌跡左半部發(fā)散程度都遠(yuǎn)高于右半部。

3.2L1對(duì)實(shí)際軌跡的影響

同樣運(yùn)用控制變量法，保持其它參數(shù)不變，等量調(diào)節(jié)L1值，其結(jié)果如圖6(b)所示。由此可發(fā)現(xiàn)：L1增大，實(shí)際軌跡略微發(fā)散，且繞對(duì)稱軸順時(shí)針輕微偏轉(zhuǎn)；L1減小，實(shí)際軌跡亦略微發(fā)散，且繞對(duì)稱軸逆時(shí)針輕微偏轉(zhuǎn)；不論L1增大或是減小，實(shí)際軌跡左半部發(fā)散程度都略高于右半部。

圖6　D、L1單因素分析

綜上所述，其他參數(shù)及凸輪輪廓都處在理想情況時(shí)，D和L1在尋常加工精度及裝配精度條件下，綜合調(diào)節(jié)此兩者，可大幅提高實(shí)際軌跡精度與重復(fù)度。

4補(bǔ)償分析

在轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中，凸輪作為核心零件，其誤差敏感方向[9]是輪廓的法向方向，部分輪廓的加工誤差直接反映到推桿上，對(duì)導(dǎo)向輪轉(zhuǎn)角可能會(huì)造成嚴(yán)重偏差，影響軌跡精度。因此嘗試通過分析凸輪加工精度對(duì)實(shí)際軌跡的影響，并利用綜合調(diào)節(jié)D和L1來補(bǔ)償其對(duì)實(shí)際軌跡帶來的影響。

凸輪經(jīng)濟(jì)加工精度為IT11，表面粗糙度為Ra2.5～10。用MATLAB模擬凸輪實(shí)際輪廓矢徑，使其誤差在精度范圍內(nèi)隨機(jī)變化，運(yùn)用前述方法得到若干個(gè)周期實(shí)際軌跡如圖7(a)所示。通過綜合調(diào)節(jié)D和L1來修正實(shí)際軌跡如圖7(b)所示。由圖可知綜合調(diào)節(jié)D和L1能對(duì)實(shí)際軌跡起到顯著地補(bǔ)償作用。

圖7　凸輪補(bǔ)償分析

5實(shí)驗(yàn)

為了盡可能地節(jié)省能量、減輕重量并保持車身的穩(wěn)固性，小車多數(shù)零件采用鋁合金制造。為了保障小車在通常加工精度及裝配精度下能達(dá)到滿意的效果，在推桿及轉(zhuǎn)向桿處設(shè)計(jì)了微調(diào)機(jī)構(gòu)以便D和L1可調(diào)。通過實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了上述結(jié)論的正確性；仿真獲得調(diào)節(jié)規(guī)律及誤差可補(bǔ)償范圍，為后期小車快速調(diào)試到理想狀態(tài)提供了有力保障。

6結(jié)論

通過數(shù)學(xué)建模并運(yùn)用MATLAB，以伯努利雙紐線為主動(dòng)輪軌跡得到凸輪輪廓形狀并對(duì)其正確性進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)實(shí)際軌跡每周期間存在微小偏差。進(jìn)而深入研究了關(guān)鍵參數(shù)D和L1單因素對(duì)實(shí)際軌跡的影響規(guī)律，還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)綜合調(diào)節(jié)D和L1能對(duì)實(shí)際軌跡起到顯著地補(bǔ)償作用。也由此得出基于伯努利雙紐線‘8’字凸輪無碳小車無需進(jìn)行高精加工，只需增設(shè)D和L1微調(diào)結(jié)構(gòu)即可滿足要求的結(jié)論。

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(責(zé)任編輯：李文英)

Design of Cam Car Based on Lemniscate Trajectories

Xu LiuPeng SonglinLiu GuokaiHu NanYu WuxinMa ZhiyuanLiao Zhixiong

(School of Electromechanical and Architectural Engineering，Jianghan University， Wuhan 430056， Hubei)

Abstract:Our group designed a carbon-free car driving in 8-shaped track which achieved automatic aversion by the gravitational potential energy converting to the power and steering mechanism, using Bernoulli lemniscate as a driving wheel travel path, and deriving depicts cam to achieve steering function. Using MATLAB simulation tool to simulate actual trajectory of the capstan driving, the research makes use of single factor analysis to analyze key parameters of the car, to summarize variation and reduce debugging difficult. Further analysis by compensation, we made a comprehensive adjustment of key parameters to compensate for parts processing error caused by the impact of the track to analysis key parameters of the trolley single factor analysis, reasonably control processing costs.

Key words:carbon-free car; cam mechanism; MATLAB; Bernoulli lemniscates; error analysis

收稿日期：2016-04-15修回日期：2016-04-19

作者簡介：徐柳(1994～).男，在讀本科生*通訊作者：彭松林(1976～)，男，工學(xué)博士.E-mail：pslchb@126.com

中圖分類號(hào)：TH112.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-3524(2016)02-0009-04