從數(shù)學問題的編擬看三國數(shù)學教育的不同理念

謝俊峰 方悟

[摘 要] 不同的國家有著不同的數(shù)學教育要求和理念，從數(shù)學問題的編擬可以看到他們的區(qū)別. 俄羅斯是數(shù)學大國，試題命題旨在考查學生的數(shù)學功底，對學生的理解能力要求較高. 日本的數(shù)學命題對學生的創(chuàng)新要求較高，要求學生善于轉化，通過轉化達到溝通不同部分數(shù)學知識的聯(lián)系. 加拿大的數(shù)學凸顯了大眾教育目標，它的選題易被大眾接受，同時具有探索性和啟發(fā)性. 雖然這三個國家的數(shù)學問題的編擬有諸多不同，但培養(yǎng)學生的思維、提高學生的創(chuàng)新能力卻是相同的.

[關鍵詞] 數(shù)學問題；數(shù)學教育；理念；創(chuàng)新

經過改革、溝通，各國的數(shù)學教材包含的內容相差不大.但是，從數(shù)學問題的編擬可以看出不同國家不同的數(shù)學教育要求和理念. 本文以俄羅斯、日本、加拿大三國為例說明區(qū)別的明顯程度.

俄羅斯一直是數(shù)學大國，莫斯科大學每年的入學試題都一直是中學生追求的目標. 題少，層次明顯，考試時間長，這是大的特點，深入研究試題命題意圖，發(fā)現(xiàn)編者在考查學生的數(shù)學功底，理解能力要求較高，思考性很強.

例1 已知平行四邊形ABCD中AB與圓BCD相切于點B，AD交圓BCD于點E，又CD=4，CE=5，求AE. （國立莫斯科大學入學考題）

分析與解答：平幾問題是每年莫斯科大學各個系科數(shù)學試題中不可或缺的問題. 這道題只用了初中的幾個知識，不難看到，因為BC∥AD，所以，因而BE=CD=4，在等腰梯形BEDC中，BD=CE=5.

為了得到AE，用公式AB2=AE·AD，但求出AD是解題的關鍵. 這需要對公式AB2=AE·AD再認識，公式是怎么來的？它是由于∠ABE=∠ADB（AB是切線）得到△ABE∽△ADB.

注意到AB=CD=4=BE，所以BD=AD=5，從而得到AE=.

在我們通常的教學中比較重視公式的記憶和應用，往往對概念的來由重視不夠.

例2 兩圓外切于點A，經過點A的一條直線交第一圓于點B，交第二圓于點C. 第一圓過點B的切線交第二圓于點D與E（D在B與E之間）. 已知AB=5，AC=4，求線段CE的長，并求從點A到一圓圓心的距離. 此圓與線段AD相切，且跟線段ED與EA分別向點D與A外的延長線相切. （2002年莫斯科大學入學試題）

分析與解答：平幾問題是每年莫斯科大學各個系科數(shù)學試題中不可或缺的問題.本題可以用相似三角形的比例關系求CE，但進一步的工作比較難. 這時我們就要考慮其他的方法，如果你考慮到解析法，坐標系建立得好，難度就不太大了.

以A點為原點，AB為x軸的正半軸建立直角坐標系，只要你用點E在圓上，又在另一圓在B點處的切線上，設出圓心坐標（-2，4a）及（2.5，-5a），不難求出CE=6.同時由于D與E在同一個圓上，又同在一條直線上，因此CD=6.

你用圓周角的性質，不難得到y(tǒng)軸就是∠EAD的平分線，因此，第三個圓的圓心就在AB上，又利用角平分線的性質可得到第三個圓的圓心坐標為（2，0），即A點到這個圓的圓心距離為2.

從此題可以看出，題目的思考性很強，即使是教師去做也會有一定的難度，反映了解題過程中對創(chuàng)新能力的要求.

例3 解方程7lgx=98-xlg7. （莫斯科物理技術學院入學試題）

分析與解答：這是常規(guī)的解方程問題，但是與我們通常的對數(shù)方程、指數(shù)方程不同，形式簡單而明快，但解起來似乎無從下手. 對一些“明眼”人來說，從形式上看可以猜出x=100，也就是說x=100代進去“適合”，但這就要求7lgx=xlg7，一般來說要證明algb=blga，證不出來就不會給分，這就是這道試題的理論要求.

為了證明algb=blga，可以有三個途徑：

（1）設algb=A，B=blga，

因為lgA=lgb·lga，lgB=lgb·lga，

所以lgA=lgB，由y=lgx，在（0，+∞）上的單調性知A=B.

（2）用對數(shù)恒等b=alogab，

所以algb=alogalogab=alogab·lga=blga.

（3）指數(shù)上乘以1=logab·logba，

所以algb·logab·logba=（alogab）lgb·logba=blgb·logba=blgb·=blga.

不難看出algb=blga是alogab=b的一個重要的推論，認識水平又提高了一步.證明起來還是比較困難的.

與我們國家的高考相比，我們的試題強調覆蓋面，強調熟練程度，而俄羅斯的大學入學試題往往題目比較少，難易程度區(qū)別比較明顯，坡度大，思考性很強，更加能考查學生數(shù)學思維的品質.

日本的數(shù)學命題通常要求不低，特點是創(chuàng)新要求高，要求學生善于轉化，而轉化的途徑要有創(chuàng)新，通過轉化達到溝通不同部分數(shù)學知識的聯(lián)系，這種問題在競賽模擬題中經常出現(xiàn).

每年1月15日左右，日本為了選拔優(yōu)秀選手參加國際數(shù)學奧林匹克（IMO）競賽進行預賽，相當于我國國家數(shù)學競賽的初賽，要求學生在3小時內做12題，2月上旬，進行復試，要求學生在4小時內做5道題. 不管是初試還是復試，對選手的要求都比較高，注重考查學生的創(chuàng)新能力.

俄羅斯、日本、加拿大這三個國家編擬的題目各有特色，反映了各自對學生數(shù)學學習的不同期望與要求，也反映了各國不同的數(shù)學教育理念. 但是，它們共同的目的是培養(yǎng)創(chuàng)新人才.