“烙餅”的數(shù)學(xué)建模和教學(xué)邏輯

吳　飛

（尤溪教師進(jìn)修學(xué)校，福建尤溪365100）

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“烙餅”的數(shù)學(xué)建模和教學(xué)邏輯

吳飛

（尤溪教師進(jìn)修學(xué)校，福建尤溪365100）

摘要：烙餅問題是統(tǒng)籌、優(yōu)化的問題，也是烙餅次數(shù)及每烙一次的時(shí)間和總時(shí)間構(gòu)成的線性關(guān)系問題。教材編排側(cè)重優(yōu)化手段得到烙餅的最省時(shí)間，對(duì)此，也有必要通過數(shù)學(xué)建模，通過設(shè)計(jì)每次最多只能烙2張餅的最省時(shí)間和餅數(shù)（面數(shù)）關(guān)系表做出數(shù)學(xué)化回應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)優(yōu)化和抽象結(jié)果，對(duì)教學(xué)邏輯做出具體安排和說明。

關(guān)鍵詞：烙餅問題；統(tǒng)籌優(yōu)化；數(shù)學(xué)建模；教學(xué)邏輯

“烙餅”問題是人教版小學(xué)四年級(jí)上冊教材第八單元“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”中的教學(xué)情境內(nèi)容。與舊版相比，新版教材將“烙餅問題”調(diào)整到了第一部分的“沏茶問題”之后。根據(jù)同版教材的教師用書介紹，這樣的調(diào)整是“基于學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平及實(shí)驗(yàn)教材的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)”，體現(xiàn)“3個(gè)例題的編排順序由淺入深，層次清晰，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和思維水平，有利于學(xué)生理解和體會(huì)數(shù)學(xué)思想”的特點(diǎn)。

優(yōu)化的前提是統(tǒng)籌，而且統(tǒng)籌過程的本質(zhì)是各種數(shù)量關(guān)系和空間形式的邏輯疏理，也是一種推理和建模過程。只是這種過程涉及到分析、預(yù)測、籌劃、運(yùn)籌（實(shí)施）和平衡（比較）等較為復(fù)雜的環(huán)節(jié)。所以，運(yùn)籌到位優(yōu)化選擇才有可能。因此，教材試圖通過沏茶、烙餅、賽馬的統(tǒng)籌推進(jìn)以使學(xué)生感受并初步理解優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想，是符合邏輯期望的。

基于此，筆者以為有必要在不少優(yōu)秀教師演繹“烙餅問題”的教學(xué)之后，對(duì)“烙餅問題”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵進(jìn)行教學(xué)的再思考。

一、烙餅問題的數(shù)學(xué)建模

為了看清烙餅問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，我們先從特殊的情況：每次只能烙一張餅，每面3分鐘開始分析。

一張一張烙的實(shí)質(zhì)就是一面一面地烙。所以，有幾個(gè)面就要烙幾次，顯然，“一張餅有2個(gè)面，每個(gè)面要烙3分鐘”是問題的本質(zhì)。由此可以得到：烙n張餅的時(shí)間就是n張×2面×3分鐘=6n（分鐘）。

現(xiàn)在來分析每次最多只能烙2張的情況。

“每次最多可以烙2張”的實(shí)際意義是每次可以烙1個(gè)面也可以同時(shí)烙2個(gè)面，而且同時(shí)烙2個(gè)面的時(shí)間和單烙1個(gè)面的時(shí)間是相同的。由此，思考怎么烙餅的問題就轉(zhuǎn)變成只要統(tǒng)籌解決“總共要烙幾個(gè)面”“每次要烙幾個(gè)面”就行了。回到具體看：1張餅要烙多少時(shí)間？因?yàn)檎?個(gè)面不能同時(shí)烙，所以只能一個(gè)面一個(gè)面地烙。此時(shí)，鍋的空間是處在自然浪費(fèi)的狀態(tài)，所費(fèi)時(shí)間是2面×3=6分鐘。2張餅?zāi)?？如果? 張1張來就是4面×3=12分鐘；如果是2張一起來就是4面÷2×3=6分鐘。3張餅?zāi)兀?張1張烙就是6面× 3=18分鐘；先烙1張后烙2張就是2面×3+4面÷2× 3=12分鐘；先烙2張后烙1張是4面÷2×3+2面×3= 12分鐘；如果是每次都烙2面——第一張和第二張餅同時(shí)烙一面，接著第一和第三張?jiān)偻瑫r(shí)烙一面，然后是第二和第三張最后再同時(shí)烙一面，所要的時(shí)間就是6面÷2×3=9分鐘。4張呢？可以一張張烙24分鐘；一張?jiān)僖粡埨雍髢蓮埨踊騼蓮埨雍笤僖粡堃粡埨?8分鐘；一張烙完再按三張的烙法或按三張烙法再烙一張15分鐘；每次烙兩面四張餅只要12分鐘。5張以后烙的方式有所不同但思維一樣。顯然，不管是1張1張來還是2張2張烙，所要花費(fèi)的時(shí)間只與“所要烙的總面數(shù)”有關(guān)。至于是單烙還是雙烙那是策略問題。

從以上分析，可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：烙一次的時(shí)間（t）和烙餅的次數(shù)（c）共同構(gòu)成了烙餅總時(shí)數(shù)（s）的一個(gè)線性關(guān)系s=ct，當(dāng)烙一次的時(shí)間確定，根據(jù)自變量c（烙的次數(shù)：一面一次、兩面一次）的取值范圍：餅數(shù)≤c≤總面數(shù)（一塊餅的情況除外），因此，因變量s是可以取到最大值和最小值的。

每次最多只能烙三張的情況與此相仿，不同的只是烙的次數(shù)c可以是一面一次、兩面一次和三面一次，而要讓鍋不閑置，操作方式要實(shí)行交叉烙法而已（只要弄清楚4塊餅的情況即可：一次烙三面交替烙第三、四塊餅，只要烙三次）。在這種情況下，烙的次數(shù)c的取值范圍：餅數(shù)除以3（整除）≤c≤總面數(shù)，或者是：餅數(shù)除以3（不整除）加1≤c≤總面數(shù)。

二、烙餅問題的教材分析

教材中，烙餅的情境問題是以“怎樣才能盡快吃上餅”做為問題解決的標(biāo)準(zhǔn)。

對(duì)學(xué)生而言，無論是生活經(jīng)驗(yàn)還是知識(shí)儲(chǔ)備，解決問題的基礎(chǔ)不應(yīng)該有大的困難。從生活經(jīng)驗(yàn)講，大部分的學(xué)生是知道烙餅要一面一面地進(jìn)行；從知識(shí)角度看，學(xué)生很容易就會(huì)用乘法來計(jì)算烙餅的時(shí)間。

所以，教材的教師用書建議：一要“給學(xué)生提供探索的空間”：獨(dú)立思考、小組交流，然后是比較方案；二要“在‘悟’中明確規(guī)律”：怎么省時(shí)？省時(shí)的關(guān)鍵是什么？在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生探索烙4張，5張……

從“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”的要求看，教材提供的教學(xué)思路是可行的、明了的。

雖然，這是一節(jié)統(tǒng)籌優(yōu)化的探究課，只要引導(dǎo)學(xué)生籌劃實(shí)施每一個(gè)方案，然后再行對(duì)比和選擇（也是合情推理），就能得到“用時(shí)9分鐘是最少的”優(yōu)化結(jié)果。而且我們也知道，對(duì)優(yōu)化思想應(yīng)用的體會(huì)和感悟本身就是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一。但是，為什么用時(shí)9分鐘是最少的？有沒有可能是8分鐘甚至更少？我們會(huì)不會(huì)出現(xiàn)漏掉方案的情況？怎么才能保證結(jié)論是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、唯一的？這些問題僅僅通過動(dòng)手操作似乎總不讓人放心。對(duì)此，筆者以為有必要作出更數(shù)學(xué)化的回應(yīng)。只是這種回應(yīng)在課堂的具體教學(xué)中要實(shí)施到何種程度需要商榷。

下表就是具體回應(yīng)的數(shù)學(xué)化過程表。

每次最多只能烙2張餅的最省時(shí)間和餅數(shù)（面數(shù)）關(guān)系表

上表中一目了然的信息有：一次烙1面和一次烙2面時(shí)間一樣；每次烙2面鍋才不會(huì)閑著——這就是“盡快”的現(xiàn)實(shí)意義。但是本表更重要的信息是：烙餅所要花費(fèi)的時(shí)間只與所要烙的總面數(shù)有關(guān)。3張餅有6個(gè)面，每次烙2面，必須要烙3次才能完成任務(wù)。所以，費(fèi)時(shí)要且只要3×3=9分鐘。

到此，我們既解決了烙餅方案多樣性的問題，更解決了用時(shí)最少的確定性問題。所以，只有將統(tǒng)籌和抽象、數(shù)學(xué)建模結(jié)合在一起，這樣的優(yōu)化才是數(shù)學(xué)化視野下的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)（經(jīng)驗(yàn)）。

三、烙餅問題的教學(xué)邏輯

鑒于以上分析，烙餅的教學(xué)過程可以遵循以下活動(dòng)邏輯。

1.理解問題情境，明白需要解決的問題

教師在這個(gè)環(huán)節(jié)的基本任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生讀圖并弄清以下信息：要烙幾塊餅、每張餅2面都要烙、每面要烙3分鐘、每次最多只能烙2張。與此同時(shí)，提出問題并板書：怎樣才能盡快吃上餅？在此環(huán)節(jié)中教師最好做個(gè)“會(huì)不會(huì)烙餅”的經(jīng)驗(yàn)調(diào)查，防止沒有生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生出現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)性思維障礙而影響后續(xù)思維活動(dòng)。

2.動(dòng)手操作，獨(dú)立思考

讓學(xué)生自主地去理解“盡快”的含義，獨(dú)立地去經(jīng)歷烙餅的過程（程序），主動(dòng)地去設(shè)計(jì)烙餅的方案并計(jì)算出每個(gè)方案需要的時(shí)間。給夠時(shí)間和空間讓學(xué)生盡情地去體會(huì)求異、求優(yōu)的優(yōu)化思想，體驗(yàn)問題解決策略的多樣性，以積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.小組交流，相互完善

帶著以下問題開展小組討論：（1）烙好一張餅要烙幾個(gè)面？（2）三張餅有幾種不同的烙法，請(qǐng)列出具體步驟。（3）每次烙1張餅和烙2張餅所花費(fèi)的時(shí)間一樣嗎？（4）要盡快烙好3張餅最重要的問題是什么？（5）你能把自己認(rèn)為最省時(shí)的烙法演示給同伴嗎？（6）你能計(jì)算出每一種烙法的時(shí)間嗎？

4.小組匯報(bào)展示，教師追問

請(qǐng)不同的小組分別匯報(bào)以上6個(gè)問題。在每個(gè)小組匯報(bào)時(shí)教師要適時(shí)地刨根問底。例如：你說四種哪四種？能夠再具體點(diǎn)嗎？為什么一張一張烙最慢？一次烙1張和一次烙2張為什么時(shí)間一樣？要烙的快最重要的是什么？你是怎么計(jì)算出時(shí)間的？通過追問引導(dǎo)學(xué)生疏理自己的思維過程，初步實(shí)現(xiàn)思維從發(fā)散到收斂再到優(yōu)化。

5.思維碰撞，探究關(guān)系

提出問題：（1）有人超過18分鐘嗎？為什么？（總共只有6個(gè)面，要超的話準(zhǔn)燒焦。）（2）烙1張餅最少是6分鐘，為什么？那么烙2張餅最少烙幾次？（3）4張餅有幾個(gè)面？每次烙2面要烙幾次？（4）3張餅幾個(gè)面？每次可以烙2個(gè)面嗎？可以的話至少要烙幾次？

列出每次最多只能烙2張餅的最省時(shí)間和餅數(shù)（面數(shù)）關(guān)系表。之后請(qǐng)學(xué)生寫出烙5張和7張的最省時(shí)的烙法并列出計(jì)算式。

“烙餅問題”“打電話問題”和“找次品問題”都是統(tǒng)籌、優(yōu)化問題。烙餅的關(guān)鍵是不讓鍋閑著，打電話的關(guān)鍵是不讓已接電話的人閑著，找次品的關(guān)鍵是讓天平的每一次使用發(fā)揮最大效果［2］。從某一問題出發(fā)而能夠觸及同類問題的思想是教學(xué)的永恒追求。優(yōu)化思想的思維本質(zhì)是求異、求優(yōu)，求異的前提要多樣化（正如烙餅的方式多樣），求優(yōu)的前提則是比較；沒有多樣化不可能有層次，沒有比較不可能優(yōu)化。在教學(xué)中，相對(duì)于結(jié)論而言我們更重視對(duì)獲得結(jié)論的理解，對(duì)結(jié)論的發(fā)展和深化,更重視對(duì)目標(biāo)內(nèi)涵中所蘊(yùn)含條件和標(biāo)準(zhǔn)的理解。所以，只有對(duì)“烙餅問題”作出數(shù)學(xué)化回應(yīng)并建模，才能讓同類問題的表現(xiàn)形式更加簡明，教學(xué)更加有效。

參考文獻(xiàn):

［1］鄭毓信.“優(yōu)化問題”與“優(yōu)化思想”［J］.教學(xué)月刊（小學(xué)版），2013（7，8）.

［2］張衛(wèi)星.研讀數(shù)學(xué)教材的四個(gè)維度——以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊“烙餅問題”為例［J］.教學(xué)與管理，2015（14）.

［3］張小燕.讓學(xué)生觸摸問題的本質(zhì)——“烙餅問題”的教學(xué)重構(gòu)與思考［J］.教育科研論壇，2011（03）.

中圖分類號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-9884（2016）02-0061-03

收稿日期：2015 - 11 - 15

作者簡介：吳飛（1963-）男，福建尤溪人，尤溪教師進(jìn)修學(xué)校高級(jí)教師。