多角度探索圖形變化規(guī)律

王瑞文

探索規(guī)律是初中數(shù)學(xué)的一個知識點，探索圖形的變化規(guī)律是探索規(guī)律中的一個重要題型.下面分析在探索圖形規(guī)律問題中常用的解題思路.

例1觀察圖1，請用不同方法表示出n個梯形組成的四邊形的周長.

分析1：從上下和左右兩個方面觀察圖形.單獨看每個梯形，上底和下底的和都是3，所以n個梯形上底和下底總和為3n；從左右觀察，由梯形組成的四邊形，不管其中包含多少個梯形，左右總長都是2，所以n個梯形組成的四邊形左右的總長自然也是2.由此可知，n個梯形組成的四邊形周長為3n+2.

分析2：把四邊形分成三部分，第1個梯形，第n個梯形，中間的所有梯形.第1個梯形在四邊形的周長中的長為4，第n個梯形在四邊形的周長中的長為4，中間的梯形只有上底和下底在四邊形的邊上，去掉第1個和第n個梯形，中間還有（n-2）個梯形，每個梯形的上底和下底之和都是3，所以總長為3（n-2）.由此可知，這個四邊形的周長為3（n-2）+4×2=3n+2.

分析3：把每個梯形都看成單獨的個體，則每個梯形的周長都是5，n個梯形的周長為5n，但是在四邊形內(nèi)部的線段不能算作四邊形的周長，觀察圖形結(jié)構(gòu)不難發(fā)現(xiàn)，2個梯形組成的四邊形內(nèi)部有1條線段，3個梯形組成的四邊形內(nèi)部有2條線段，由此可推出個梯形組成的四邊形內(nèi)部有（n-1）條線段，而內(nèi)部的每條線段都是有相鄰兩個梯形的兩條腰重合而成，所以應(yīng)把內(nèi)部的每條線段長看成2，（n-1）條線段總長為2（n-1），所以這個四邊形周長為5n-2（n-1）=3n+2.

分析4：把圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字，探索數(shù)字的變化規(guī)律.因為初中數(shù)學(xué)沒有等差數(shù)列的概念，在分析數(shù)字規(guī)律時，不可直接用等差數(shù)列通項公式，可引導(dǎo)學(xué)生作相鄰兩數(shù)的差，再把數(shù)字拆成與差有關(guān)系的式子，從而找到數(shù)字的變化規(guī)律.1個梯形周長為5，2個梯形周長為8，3個梯形周長為11，8-5=3，11-8=3，所以相鄰兩個數(shù)字的差都是3，所以可把5，8，11拆成以下3個式子，①5=3×1+2，②8=3×2+2，③11=3×3+2，式子中變化數(shù)字和式子的序列號是相等的，所以第n個式子為3n+2，因此n個梯形組成的四邊形周長為3n+2.

這個圖形在探索規(guī)律時從不同角度切入，探索出不同的變化規(guī)律，而化簡后得到的代數(shù)式是相同的，從而讓學(xué)生認識到，雖然問題的切入點不同，但在本質(zhì)上是相同的，都能反映出圖形的變化規(guī)律.

例2將一些長30 cm，寬10 cm的長方形的紙，按如圖2的方法粘起來，接頭部分寬為2 cm.求n張紙粘起來后的長度為多少？

分析1：把整個圖形分成兩部分，第1個長方形和其余的個長方形.可以把第一個長方形的長看成是完整的長，即30 cm，而隨后粘上的長方形都少了2 cm，即28 cm，所以（n-1）個長方形的長為28（n-1）cm，因此，n張紙粘起來后的長度為[28（n-1）+30]=（28n+2）（ cm）.

分析2：把第1張長方形紙片分成2 cm和28 cm兩部分，把2 cm先剪下來，那么還剩下28 cm，而隨后粘上的長方形都看成28cm，所以n張紙粘在一起長度就為28n cm，再把剪下的2 cm加上，那么總長度為（28n+2） cm.

分析3：把圖形分成兩部分，即重合部分和不重合部分，不重合部分只有第1個和第n個長方形的長28 cm，而其余的（n-2）個長方形的長都是26 cm，所以不重合部分的長度之和為[26（n-2）+28×2] cm，每個重合部分的長度都是2 cm，兩個長方形粘在一起就有一個重合部分，三個長方形粘在一起就有兩個重合部分，不難發(fā)現(xiàn)n個長方形粘在一起就有（n-1）個重合部分，所以重合部分的總長為2（n-1） cm，所以n張紙粘起來后的長度為[26（n-2）+28×2+2（n-1）]=（28n+2） （cm）.

探索圖形規(guī)律主要有兩種思路，一種是觀察圖形本身的變化規(guī)律，另一種是把圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字，然后找出數(shù)字的變化規(guī)律.當(dāng)圖形本身比較簡單時，兩種思路都是可行的，但當(dāng)問題難度比較大時，就要從問題實際情況入手，尋找合適的解題方向.

總之，探索圖形規(guī)律時，不應(yīng)該為解題而解題，而是應(yīng)該從多角度分析問題，發(fā)散學(xué)生的思維，提高學(xué)生的一題多解能力，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.