數(shù)學(xué)考試成績(jī)與主要知識(shí)模塊的灰色關(guān)聯(lián)度分析及教學(xué)策略

余遠(yuǎn)澤

【摘要】本文以一次全柳州市文科數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)槔?，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的灰色關(guān)聯(lián)度分析法定量分析了文科數(shù)學(xué)科不同模塊對(duì)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的貢獻(xiàn)度，結(jié)果表明集合、向量、不等式、二項(xiàng)式定理等對(duì)單科成績(jī)的貢獻(xiàn)度最大，排第2位的是函數(shù)及導(dǎo)數(shù)，數(shù)列貢獻(xiàn)第3，立體幾何的貢獻(xiàn)度最小.對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行了分析，并制定了下一階段文科數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)考試；灰色關(guān)聯(lián)度分析；立體幾何；策略

本文以高三文科數(shù)學(xué)三模考試成績(jī)?yōu)槔?，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的灰色關(guān)聯(lián)度分析法定量分析數(shù)學(xué)科不同知識(shí)模塊對(duì)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的貢獻(xiàn)度.考察不同板塊對(duì)于數(shù)學(xué)科考試成績(jī)的關(guān)聯(lián)性、貢獻(xiàn)度，找出薄弱板塊，對(duì)研究結(jié)果進(jìn)行分析，并制定了下一階段數(shù)學(xué)教學(xué)的基本策略.

一、方法和分析

灰色系統(tǒng)中關(guān)聯(lián)度分析是對(duì)于一個(gè)發(fā)展變化系統(tǒng)進(jìn)行發(fā)展態(tài)勢(shì)的量化比較.其基本思想是根據(jù)曲線的幾何形狀的相似程度來(lái)判斷關(guān)聯(lián)程度.

本次考試我校2014屆高三全市三模數(shù)學(xué)文科考試成績(jī)，有效試卷248份，采用全市集中、統(tǒng)一電腦閱卷.本次考試單科成績(jī)可以看作一個(gè)灰色系統(tǒng)，各知識(shí)板塊即該灰色系統(tǒng)中的子系統(tǒng).如下表：

按關(guān)聯(lián)分析原則，各板塊的關(guān)聯(lián)度即其貢獻(xiàn)度，在本例中，本次高三三模數(shù)學(xué)（文科）考試，從全年級(jí)來(lái)看，對(duì)于單科總分貢獻(xiàn)最大的是其他（集合、向量、不等式、二項(xiàng)式定理），其次是函數(shù)及導(dǎo)數(shù)，再次是數(shù)列，第四位的是概率及排列、組合，第五位的是三角函數(shù)，第六位的是解析幾何，貢獻(xiàn)度最小的是立體幾何.

二、結(jié)果分析及基本策略

1.試題的分析

試題各知識(shí)板塊的分值與歷屆高考試題基本相似，只是三角函數(shù)和函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的分值有些變化，加重了函數(shù)及導(dǎo)數(shù)考察、減少了三角函數(shù)的分值，只是更注重知識(shí)的綜合應(yīng)用和能力的體現(xiàn)，是一份能體現(xiàn)現(xiàn)價(jià)段要求的試題.

2.結(jié)果分析

對(duì)本次考試的數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析之后，筆者和數(shù)學(xué)備課組的老師進(jìn)行了研究、討論，并部分學(xué)生進(jìn)行了訪問(wèn).數(shù)據(jù)的定量分析與數(shù)學(xué)備課組的定性分析結(jié)果相符.主要表現(xiàn)在：

（1）其他（集合、向量、不等式、二項(xiàng)式定理）這個(gè)板塊，一般情況下考察的難度不大，注重于考察基本的知識(shí)和基本能力，關(guān)聯(lián)度排序排第一位，說(shuō)明上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)比較有成效，為高考數(shù)學(xué)奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).

（2）數(shù)列和概率及排列、組合這兩個(gè)板塊，分值、難度都比較穩(wěn)定，關(guān)聯(lián)度排序排應(yīng)靠前列，這和分析的結(jié)果相符合，說(shuō)明這兩塊的復(fù)習(xí)比較正常.

（3）由于函數(shù)和導(dǎo)數(shù)這個(gè)板塊的概念比較抽象，涉及的數(shù)學(xué)思想和方法比較多，要求又比較高，對(duì)文科學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)難點(diǎn)，但關(guān)聯(lián)度排序排第二，是本次考試的一個(gè)亮點(diǎn)，原因是剛結(jié)束函數(shù)和導(dǎo)數(shù)這個(gè)板塊的專題復(fù)習(xí).從中得出結(jié)論，后面的專題復(fù)習(xí)要科學(xué)地設(shè)計(jì)好，它是提高學(xué)生能力和進(jìn)行程序化解題的關(guān)鍵.

（4）存在的問(wèn)題：三角函數(shù)這個(gè)板塊，是文科數(shù)學(xué)難度最低，必須拿分的板塊之一，但這個(gè)板塊關(guān)聯(lián)度排序排相對(duì)靠后，該模塊對(duì)于數(shù)學(xué)科成績(jī)的貢獻(xiàn)度上升的空間還很大，是重點(diǎn)要加強(qiáng)和突破的板塊.立體幾何重點(diǎn)考察學(xué)生的空間想象力和空間思維能力的板塊，對(duì)文科生，特別文科女生是特別困難的事，但高考數(shù)學(xué)要上一本線，這個(gè)板塊必須基本拿下，引入了空間向量法以后，為立體幾何的突破提供了可能和方法，立體幾何是本次考試中對(duì)單科成績(jī)中貢獻(xiàn)度最小的，是今后復(fù)習(xí)一定要突破的.

3.基本策略（以立體幾何為例）

（1）專題復(fù)習(xí)是提高學(xué)生各個(gè)板塊能力的有效途徑，要注重學(xué)科知識(shí)體系，基本能力，基本方法的梳理，從而形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).因此，要借助思維導(dǎo)圖進(jìn)行專題復(fù)習(xí)，如立體幾何可用如下思維導(dǎo)圖進(jìn)行歸納、整理；還必須要求學(xué)生自己繪制不同的思維導(dǎo)圖對(duì)知識(shí)、方法、類型進(jìn)行梳理，進(jìn)一步形成能力.

（2）要深入研究歷屆高考題，對(duì)各版塊的類型、方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行歸納、對(duì)比、提升，從而形成程序性知識(shí)，進(jìn)一步通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)，形成策略性的知識(shí)和方法.例如，立體幾何在高考文科數(shù)學(xué)（大綱卷）中重點(diǎn)考察空間的夾角和距離，傳統(tǒng)的方法是找（作）、證、求，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間思維能力，這對(duì)文科學(xué)生來(lái)說(shuō)，相當(dāng)困難，空間向量法是文科生突破這個(gè)板塊難點(diǎn)的非常有效的方法，只需解決以下兩個(gè)難點(diǎn)：

1.突破建系

（1）空間的垂直關(guān)系是建系的基礎(chǔ)，要重點(diǎn)加強(qiáng)空間垂直的復(fù)習(xí)，要注重空間線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及它們之間的相互轉(zhuǎn)換.線線垂直是基礎(chǔ)，線面垂直是核心，面面垂直是關(guān)鍵，利用線面垂直找出Z軸（或Z軸的平行線），利用面面垂直的性質(zhì)定理（在一個(gè)平面作垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面），轉(zhuǎn)化為線面垂直，從而找出Z軸.

（2）底面平面化的方法，研究底面線線垂直關(guān)系，找出X軸、Y軸.

（3）要有效地結(jié)合數(shù)學(xué)思想，如分割法、補(bǔ)形法.

例1 （2011年大綱版高考題20）如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形.AB=BC=2，CD=SD=1.

（1）證明：SD⊥平面SAB，

（2）求AB與平面SBC所成角的大小.

思路分析

難點(diǎn)：如何建系.

突破點(diǎn)：分割，面面垂直性質(zhì)定理，底面平面化.

因?yàn)榈酌嬷苯翘菪蜛BCD分割成矩形BCDE和直角三角形DEA，四棱錐S-ABCD分割成一個(gè)底面是直角的三棱錐S-DEA和一個(gè)底面是矩形的四棱錐S-BCDE，證出平面SDE⊥底面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)定理，過(guò)S作SF⊥DE于F點(diǎn)，從而SF⊥底面ABCD，得出Z軸，如圖1，把底面平面化，如圖2，找出X軸、Y軸，最后，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，剩下的問(wèn)題易解決.

思路分析

難點(diǎn)：如何建系.

突破點(diǎn)：補(bǔ)形，面面垂直性質(zhì)定理，底面平面化.

把底面四邊形ABC0D補(bǔ)成正方形ABDE和直角三角形BC0D，由第一問(wèn)易證平面COC0⊥底面ABC0D，如圖（4）.利用面面垂直的性質(zhì)定理，過(guò)C作CO⊥C0D的延長(zhǎng)線于O點(diǎn)，從而CO⊥底面ABC0D，得出Z軸，易證三角形CED為等邊三角形，把底面平面化，如圖（5），找出X軸、Y軸，最后，如圖（6）建立空間直角坐標(biāo)系，剩下的問(wèn)題易解決.

2.突破設(shè)參、求點(diǎn)坐標(biāo)

（1）底面上的點(diǎn)，底面平面化后，畫(huà)出底面平面圖形，由平面幾何的知識(shí)及圖形的性質(zhì)，求出個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）空間的點(diǎn)，找（作）出底面的垂線，能判斷垂足在底面的位置的，問(wèn)題就解決了，有些斜棱柱上的點(diǎn)，很難判斷垂足在底面的位置，可以采用平行向量，坐標(biāo)相等的方法，或用向量加法的三角形法則，求點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）對(duì)于一些存在性問(wèn)題、共線問(wèn)題，采用設(shè)參、求參的方法（根據(jù)題目給出的條件，如空間線線垂直、平行，空間線線角、線面角、面面角，空間點(diǎn)面距離列關(guān)于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)）.

總之，教學(xué)、備考是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，有其內(nèi)在的規(guī)律和特點(diǎn)，深入研究并掌握相應(yīng)的方法，將取得事倍功半的效果.運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法如灰色關(guān)聯(lián)度分析，發(fā)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題，從而針對(duì)問(wèn)題制定改進(jìn)策略，尤其是針對(duì)高中文科數(shù)學(xué)不同知識(shí)內(nèi)容采取具體、有效且獨(dú)到的教學(xué)方法來(lái)突破難點(diǎn)、瓶頸，是一個(gè)教育工作者應(yīng)盡的責(zé)任，是“在教學(xué)中科學(xué)研究，從科學(xué)研究中啟發(fā)教學(xué)”真正體現(xiàn).

【參考文獻(xiàn)】

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