數(shù)形結(jié)合思想在概率論教學(xué)中的應(yīng)用

李璇 王斌 魯硯青 蘭莉莉

【摘要】概率論是一門研究事情發(fā)生可能性的學(xué)科，在生活生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，但也是學(xué)生較難掌握的一門課程，如果在教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合的思想則能使很多復(fù)雜的概率問題得以直觀化清晰化，從而達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的目的.

一、引 言

概率論作為一門研究隨機(jī)性或者不確定現(xiàn)象的學(xué)科，有其廣泛的應(yīng)用性，為此很多高等院校的工科類及經(jīng)管類專業(yè)都將其作為專業(yè)基礎(chǔ)課程，但是，由于我們所研究的概率問題的抽象性使得這門課程成為很多學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙，另外由于這門學(xué)科的很多內(nèi)容都與高等數(shù)學(xué)的知識有很大的關(guān)聯(lián)性，因此對于那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生而言，概率論是他們的弱項學(xué)科.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中常用的思想之一，它貫穿于學(xué)生的小學(xué)中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使用這種方法可以起到“以行助教”的作用，可以使一些復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀化、生動化，從而使難題迎刃而解，達(dá)到事半功倍的效果.

二、數(shù)形結(jié)合方法計算幾何概型的概率

例1 甲、乙兩人相約在7點到8點之間在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就離開，如果沒人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá)，試計算兩人能夠會面的概率.

分析 根據(jù)題意，很容易看到這種概率模型應(yīng)屬于幾何概型，因此我們可以套用計算幾何概型的公式，但是由于問題的抽象性很多學(xué)生并不清楚樣本空間和兩人能夠會面所表示的區(qū)域大小，通過結(jié)合圖形講授此類題目，很多學(xué)生便能夠輕而易舉地解決.

解 記7點為計算時刻的0時，以分鐘為單位，x，y分別記為甲、乙到達(dá)指定地點的時刻.

第一步：在二維平面上做x軸，y軸，分別表示甲、乙到達(dá)指定地點的時刻，則整個空間為S={（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}.

第二步：以事件A表示“兩人能會面”，依題意，只有兩人到達(dá)的時刻差小于20時可以會面，因此A={（x，y）|（x，y）∈S，|x-y|≤20}，在圖像上作出相應(yīng)的直線.

第三步：結(jié)合圖像，我們可以看到陰影部分代表“兩人能會面”，而正方形的面積代表整個樣本空間，根據(jù)計算幾何概型概率的公式即可得到P（A）=μ（A）μ（S）=602-402602=59.

三、數(shù)形結(jié)合方法求解一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)

求解一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)一直是概率論學(xué)習(xí)中的難點問題，一部分學(xué)生喜歡套用課本中提到的概率密度公式，卻忽略了這種方法的使用條件（函數(shù)必須是嚴(yán)格單調(diào)的），另一部分學(xué)生則對于具體的計算題目不知如何處理，運用數(shù)形結(jié)合的方法則能很好地解決這些問題.

例2 設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為fX（x）=2xπ2，0四、數(shù)形結(jié)合方法求解二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)

二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)的求解方法類似于一維的情形，但是由于二維的計算上更加困難，學(xué)生通常用卷積公式來求解這類問題，實際上通過數(shù)形結(jié)合的方法可以使這類問題的求解一目了然，易懂易學(xué).

五、總 結(jié)

以上幾個例題可以看出數(shù)形結(jié)合方法在概率論教學(xué)中的重要性，通過這一方法可以將一些復(fù)雜的概率問題變得清晰化直觀化，實踐也證明，在教學(xué)過程中融入數(shù)形結(jié)合的思想，可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.