論“數(shù)形結合”思想在高中解題中的應用

甄琪琪

【摘要】“數(shù)形結合”思想是目前高中數(shù)學學習過程中經(jīng)常用到的一種數(shù)學思想方法，筆者在高中三年學習期間，發(fā)現(xiàn)集合、排列組合以及函數(shù)部分屬于這一思想應用較多的領域，故而在老師的指導下，將這些利用到“數(shù)形結合”思想的部分做了較為完整的總結.本文以“數(shù)形結合”思想在高中解題中的應用為主要話題，筆者通過總結高中數(shù)學學習過程中利用到這一思想進行解題的類型，提出了一些自己的看法，希望能對處于高中學習階段、對于數(shù)學學習有些困難的同學提供一定的幫助.

【關鍵詞】數(shù)形結合思想；高中數(shù)學學習；數(shù)學解題

一、數(shù)形結合思想之我見

筆者認為所謂的“數(shù)形結合”思想就是利用幾何圖形與數(shù)值之間的關系，來進行數(shù)學題目的解答.幾何圖形和數(shù)值是構成數(shù)學的兩個重要元素，而且二者之間并不是完全獨立的關系.可以說，每一個幾何圖形當中都蘊含著一定的數(shù)值關系（比如面積、周長的計算都屬于數(shù)值關系的內容），而數(shù)值關系又可以通過幾何圖形來進行形象的描述和表達（比如數(shù)軸、矢量等等）因此，將二者結合起來，將較為復雜的數(shù)學計算問題參考“數(shù)”和“形”兩個方面的維度來進行解決，是非常有效、也有助于將復雜問題簡單化的方法.

二、數(shù)形結合思想在高中解題中的應用

（一）集合中的應用

筆者在復習集合類的題目時，發(fā)現(xiàn)集合部分對于數(shù)形結合思想運用較多的主要有以數(shù)軸和韋恩圖為主，這對于處理結合部分的子、交、并、補問題具有直觀性和便利性的特點.以這樣一道題目為例：A={x∈N，03或x<1}，求A∩B.在解答這類題目時，筆者首先會在數(shù)軸上標出相應的點（這道題中相應的點分別是0，7，3，1），然后根據(jù)不等式所表示的方向，在數(shù)軸上畫出相應集合所表示的區(qū)域，而區(qū)域重疊的地方，就是所謂的交集，因為N意味著整數(shù)，因此可以得出這道題目的結論A∩B={4，5，6}.筆者認為，基本集合類題目的模型都可以利用數(shù)軸的方法來求解，只要能順利分解出數(shù)學題目當中的集合模型，實現(xiàn)其與數(shù)軸之間的直接轉化，就能夠快速、高效地解決題目，還能保證較高的準確率.

（二）排列組合中的應用

排列組合類利用“數(shù)形結合”思想來解決問題的題目，其共同點在于問題的本身就具有一定的圖像性和畫面感.例如這道題目：在圓周上一共8個點，以這8個點做弦，那么圓的內部最多會出現(xiàn)多少個交點？

通過隨意繪圖我們可以發(fā)現(xiàn)，一條弦需要兩個圓上的點；三個點最多可以畫出三條弦，但是不會在圓內有交點；四個點最多可以畫出六條弦，圓內只能有一個交點.因此要想使這些弦在圓內造成的交點達到最大值，我們可以將這道題目構建成這樣一個模型，即將四個點分為一組，那么8個點中一共可以劃分出多少個四點組合，那么這就是一道非常普通的排列組合問題，即C48=8×7×6×5/4×3×2×1=70，也就是最多可以有70個交點.這類題目在求解計算的時候其難點在于能否利用數(shù)形結合思想將題目構建出排列組合的模型，換言之“數(shù)形結合”思想在這類排列組合題目當中的運用目的在于構建模型，而不是解題.

（三）函數(shù)極值中的應用

函數(shù)當中極值的運用，筆者打算借用一道函數(shù)和數(shù)列相組合的題目來進行說明.通常意義上，數(shù)列當中對于“數(shù)形結合”思想的運用，其情況較為復雜，只有先將數(shù)列整合成函數(shù)的模型，才能進一步地引入圖形來進行題目的求解.而這一類題目中最為常見的就是所謂的求極值.

以這樣一道題目為例：等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a3=15，S13>0，S14<0，請問S1、S2……S13當中究竟哪一項最大？請說出具體原因.這道題目乍一看較為普通的想法是利用a3的值以及等差數(shù)列的屬性求出S1～S13的值，但是羅列出相關數(shù)據(jù)之后就會發(fā)現(xiàn)這個方法行不通，換言之就是給出的具體數(shù)值有限，沒有辦法求出具體數(shù)值來比較大小.在這樣一種情況下，我們可以將這個等差數(shù)列的求和公式看作是一個一元二次函數(shù)，y=Ax2+Bx（x只取自然數(shù)），那么這個函數(shù)上就會有兩個點（13，S13）、（14、S14），因為S13>0，S14<0，我們可以確定這個二次函數(shù)的圖像必然是開口向下的.我們假設這個函數(shù)圖像與x軸的交點分別是（0，0）、（m，0），那么這個二次函數(shù)的對稱軸就是m[]2，如果m[]2是整數(shù)，那么這個點就是該數(shù)列求和的最大值.我們可以確認的是13