對稱多項式的應(yīng)用

湖北省咸寧市崇陽縣金塘中學(xué) 李優(yōu)優(yōu)

一、對稱多項式的定義

定義1：n元多項式，如果對于任意的i,j, 1 ≤i

那么這個多項式稱為對稱多項式。

這就是說，如果任意對換兩個文字的地位，恒不變，它就是一個對稱多項式。

例如，就是一個三元對稱多項式。特別的，

中的都是n元對稱多項式，它們稱為初等對稱多項式

二、對稱多項式的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩個對稱多項式的和、差、積仍然是對稱多項式。

性質(zhì)2：對稱多項式的多項式仍然是對稱多項式

性質(zhì)3（基本定理）：任一對稱多項式可以唯一地表示為初等對稱多項式的多項式。

即：設(shè)是幾個變量的對稱多項式，則有且僅有一個多項式存在，使得

性質(zhì)4：一個m次對稱多項式乘以一個n次對稱多項式，其積比為一個m+n次對稱多項式。

我們常常遇到下述形式的對稱多項式：

根據(jù)基本定理，Sk可以唯一表示成初等對稱多項式的多項式。

當(dāng)n=2時，有：

當(dāng)n=3時，有：

對稱多項式的理論在初等代數(shù)中有許多應(yīng)用，它能使我們簡單而方便地解決某些問題。

三、對稱多項式的應(yīng)用

（一）解對稱方程組

它的解法就是先把表示為的多項式，原方程組就變成為的方程組，新方程組往往較原方程組易于求解。如能解出就是一元n次方程的n個根，即是原方程組的一組解。由對稱性，任意對換可得原方程組的n個解。

（二）分解對稱因式

初等代數(shù)中經(jīng)常會有一些關(guān)于多項式因式分解的問題，對于多元高次的多項式很多學(xué)生通常無從下手。但對于對稱多項式，我們可以應(yīng)用對稱多項式的性質(zhì)對對稱多項式進行因式分解。

設(shè)的元對稱多項式，將其分解因式的方法就是先應(yīng)用公式(2)將表示成關(guān)于的多項式新的多項式通?？梢灾苯臃纸庖蚴?，因此，將分解因式然后將替換成即可。

（三）證明對稱恒等式

對于對稱的恒等式要證明其左右相等，只用將等式右邊移到左邊變成一個對稱方程，然后根據(jù)3.1的方法解出方程即可。

（四）簡算對稱多項式之積

對于對稱多項式若直接根據(jù)中學(xué)所學(xué)知識各項相乘則相當(dāng)繁瑣，然而根據(jù)對稱多項式的性質(zhì)1，兩個對稱多項式的積仍然是對稱多項式，我們只用把第一個因式的第一個單項式乘以第二個因式，然后根據(jù)輪換的規(guī)律寫出其余各項即可。

（五）利用對稱多項式性質(zhì)化簡求值

在化簡求值問題中，如果遇到題目中所給的條件中的多項式以及所要求的多項式都是對稱多項式時我們可以利用對稱多項式的性質(zhì)進行化簡，然后得出結(jié)果。具體過程如下：

首先根據(jù)性質(zhì)3，將題目中的條件用初等對稱多項式來表示，列出初等對稱多項式方程組并解之，得出的值，然后根據(jù)題目問題需要靈活運用這些值即可。

（六）應(yīng)用對稱多項式計算初等概率

在初等概率計算之中經(jīng)常會出現(xiàn)對稱多項式，例如，

如果為個相互獨立的事件。令要求下列事件的概率：

1.此n個事件全不發(fā)生；

2.此n個事件中至少發(fā)生一件；

3.此n個事件恰好發(fā)生一件。

可以利用對稱多項式的性質(zhì)來進行計算。

四、小結(jié)

綜上所述，初等對稱多項式在初等代數(shù)中總共有六種應(yīng)用，分別是解對稱方程組、證明對稱的恒等式、分解對稱多項式、利用對稱多項式的性質(zhì)化簡求值、簡算含有對稱性質(zhì)的多項式乘法、利用對稱多項式的性質(zhì)進行初等概率計算。而這六種應(yīng)用都可以用于中學(xué)生解題，特別是解競賽題。于此同時，還可以縮短解解題步驟以達到簡算的目的。