淺談數(shù)列是函數(shù)

遼寧省錦州市太和區(qū)高級中學(xué) 王曙光

我們在講授人教B版必修五第二章第一節(jié)數(shù)列基本概念時，教材上是這樣敘述的：從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集 ( 或它的有限子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。實(shí)際上就是告訴我們，數(shù)列的實(shí)質(zhì)是函數(shù)，理解好這一點(diǎn)，對于我們更好的把握數(shù)列這一概念，以及掌握解決數(shù)列有關(guān)問題的基本方法，會有很大幫助，現(xiàn)分析如下。

一、從數(shù)列定義看

按照一定的次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列。對于數(shù)列{an}每一項(xiàng)的序號n，在數(shù)列中都有唯一的一項(xiàng)an與之對應(yīng)，序號n與這一項(xiàng)an的對應(yīng)關(guān)系，符合映射的定義，實(shí)際上，可以看成序號集合到另一個數(shù)的集合的映射，因?yàn)槭莾蓚€非空數(shù)集之間的映射，所以也是函數(shù)，因此從數(shù)列定義能夠看出數(shù)列是函數(shù)。

二、從數(shù)列的表示方法看

數(shù)列的表示方法有三種，列表法、圖像法、解析式法。例如，數(shù)列分別可以表示如下：

只是在用圖像法表示數(shù)列時，注意數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn)，這是數(shù)列這一函數(shù)的定義域決定的。另外用解析法表示數(shù)列時，不但可以用通項(xiàng)公式表示(就是函數(shù)的解析式)，也可以用遞推公式來表示數(shù)列。

三、從數(shù)列性質(zhì)看

在討論數(shù)列性質(zhì)時，常?？疾鞌?shù)列的最大（小）項(xiàng)是，數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的周期性，數(shù)列項(xiàng)的符號的變化規(guī)律等等，這些性質(zhì)都和函數(shù)的性質(zhì)是一致的。

從以上幾點(diǎn)，我們很清楚地感受到數(shù)列是函數(shù)，是一種特殊的函數(shù)這一事實(shí)。如果能從函數(shù)這一角度去看待數(shù)列，解決數(shù)列的有關(guān)問題，許多問題迎刃而解，很多方法就就會很容易想到和接受。

（一）函數(shù)中已知函數(shù)解析式，可實(shí)現(xiàn)自變量與函數(shù)值的互求，類似的數(shù)列中，已知通項(xiàng)公式，序號和項(xiàng)互求

例1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-4，那么3n-1是數(shù)列的第幾項(xiàng)？該數(shù)列的第2n項(xiàng)是什么？

分析:此題相當(dāng)于函數(shù)中的已知解析式，然后函數(shù)值與自變量互求。

解:設(shè)am=3n?1 Qan=3n?4

∴ 3m?4=3n?1m=n+1

∴3n-1是數(shù)列的第n+1項(xiàng) a2n=6n-4

例2.設(shè)數(shù)列{an}的第n+1項(xiàng)是n(n+1)，求該數(shù)列的首相及通項(xiàng)公式。

分析:此題目相當(dāng)于已知f(x+1)=x(x+1),求f(x). 可用換元法,也可以利用構(gòu)造法。

解：法(1)：(換元法)設(shè)m=n+1，則n=m-1, ∴am=n(n+1)=(m-1)m,∴an=n(n-1)∴a1=0

法(2)：(構(gòu)造法)∵an+1=n(n+1)=［(+1)-1］(n+1) ∴am=n(n-1) ∴a1=0（二）函數(shù)中已知解析式還可以討論函數(shù)的單調(diào)性、周期性及求最值。類似的數(shù)列也談?wù)撨@些性質(zhì)，而且方法與函數(shù)一致

例3.數(shù)列的通項(xiàng)公式為它的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是第幾項(xiàng)？最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

分析：此題可直接考查函數(shù)在（0，∞）上的單調(diào)性即可，方法完全是函數(shù)的方法。

解：

又∵n∈N+∴n≤9時 {an}遞減，且an<1,當(dāng)n≥10時，{an}遞增，且an>1

∴當(dāng)n=9時 an最小，當(dāng)n=10時，an最大。

四、從等差和等比這兩個特殊數(shù)列來看

等差數(shù)列若d≠0，則它的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)，前n項(xiàng)和公式是沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，等比數(shù)列若q>0且q≠1，則它的通項(xiàng)公式及求和公式與指數(shù)函數(shù)有關(guān)系，解題時?？衫眠@個。

例4.等差數(shù)列{an}{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且

分析因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項(xiàng)，所以可分別把兩個數(shù)列的前n項(xiàng)和設(shè)出，進(jìn)而求解，當(dāng)然也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來解。

此法利用等差數(shù)列的性質(zhì)。

五、數(shù)列是函數(shù)，函數(shù)的問題也可借鑒數(shù)列的方法解決。

例5.已知函數(shù)f(x)=│x-1│+│x-2│+│x-3│+…+│x-20│，x

(1)分別計(jì)算f(1)，f(5)，f(20)的值。

(2)當(dāng)x為何值時，f(x)取得最小值？最小值是多少？

因?yàn)樽宰兞?,所以考慮到可把看作 ，即可求解。

解：(1)

f(1)=│1-1│+│1-2│+…│1-20│=1+2+…+19=190

f(5)=│5-1│+│5-2│+…│5-20│=4+3+2+1+1…+15=130

f(20)=│20-1│+│20-2│+…│20-20│=19+18+…+1=190

(2)∵1≤9時，2x-20>0,當(dāng)x=10時，2x-20=0,當(dāng)x≥11時，2x-20>0時。

∴f(1)>f(2)>…>f(10)=f(11)

∴當(dāng)x=1 0或1 1時，f(x)取得最小值，最小值為f(10)=f(11)=│10-1│+│10-2│+…│10-20│=9+8+7+…+1+1+2+…+10=100

綜上所述，數(shù)列是函數(shù)，從這一角度去分析解決數(shù)列問題，很多問題都能自然的找到解決問題的途徑和辦法，因此在教學(xué)過程中，不要忽略對數(shù)列實(shí)質(zhì)的挖掘，要重視數(shù)列就是函數(shù)這一事實(shí)的教學(xué)，以便拓寬我們的思路，把握問題實(shí)質(zhì)。