一類非線性分數(shù)階差分方程邊值問題解的存在性及Ulam穩(wěn)定性*

王金華，向紅軍, 趙育林

(1.湘南學院數(shù)學與金融學院，湖南 郴州 423000；2.中山大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 廣州 510275)

一類非線性分數(shù)階差分方程邊值問題解的存在性及Ulam穩(wěn)定性*

王金華1，向紅軍1, 趙育林2

(1.湘南學院數(shù)學與金融學院，湖南 郴州 423000；2.中山大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 廣州 510275)

討論了一類非線性分數(shù)階差分方程解的存在性及Ulam穩(wěn)定性。應用Schaefer不動點定理及不等式技巧獲得了方程解的存在性結果，同時得到了方程的解具有Ulam穩(wěn)定性的新判據(jù)，并舉例說明了所得主要結果的有效性。

分數(shù)階差分方程；不動點；存在性；Ulam穩(wěn)定性

隨著分數(shù)階微積分的發(fā)展，分數(shù)階微分方程理論也得到了廣泛研究并在很多領域有較好的應用。有大量的文獻研究分數(shù)階微分方程解的存在性、穩(wěn)定性等，見參考文獻[1-6]及所引參考文獻。而分數(shù)階差分方程的相關理論較少，分數(shù)階差分方程的相關研究目前仍是一個很新的研究領域，但這門學科最近也取得了一些非常可喜的開拓和發(fā)展，尤其在2010-2011年左右，一些先行者如國內學者程金發(fā)和美國學者Atici F M，Eloe P W等，取得很多系統(tǒng)的研究成果。因此，分數(shù)階差分方程邊值問題的研究在近幾年也成為了研究熱點，參見文獻[7-15]。如程金發(fā)教授在文獻[7]中首次獨立提出了一種新的分數(shù)階差分、分數(shù)階和分以及分數(shù)階差分方程的定義，該文獻是國內外第一本有關該學科的著作，對該學科的發(fā)展和普及起到一定的推動作用。

Atici等在文獻[8]中討論了下列分數(shù)階差分方程解的存在性

獲得了方程存在正解的充分條件。

Goodrich在文獻[9]中研究了分數(shù)階差分方程邊值問題：

得到了該邊值問題至少存在一個正解的條件。

文獻[10]的作者探討了以下分數(shù)階邊值問題解的存在性：

據(jù)了解，目前極少文獻研究分數(shù)階差分方程邊值問題的穩(wěn)定性，僅文獻[11]中的作者對分數(shù)差分方程的Ulam穩(wěn)定性有所探討，但文中討論的是Caputo分數(shù)差分算子且文中第3頁(13)式有誤，式中求和的上限應該是t-(α-1)而不是t-α，這一錯誤將導致定理證明在細節(jié)上不準確。

本文將討論以下非線性分數(shù)階差分方程邊值問題解的存在性：

(1)

同時，分析方程

(2)

1 定義及引理

本節(jié)將介紹分數(shù)階差分、分數(shù)階和分的定義及文章中要用到的相關引理。

定義2[12]對于v>0定義函數(shù)f的v階分數(shù)和如下：

(3)

其中t∈{a+v,a+v+1,…}Νa+v，對于N∈Ν,0≤N-10)分數(shù)差分為：Δvf(t)ΔNΔv-Nf(t),t∈Νa+v。

引理1[12]設N∈Ν,0≤N-1

(4)

其中ci∈R,1≤i≤N。

引理3 (Banach壓縮映射原理)設(Χ,d)是一個完備度量空間，T是Χ上的一個壓縮映射，則T有唯一的不動點。

引理4[14](Schaeter不動點定理)設E是一個模線性空間，Φ:E→E是一個緊算子。若集合S={x∈E|x=λΦx,λ∈(0,1)}有界，則Φ在E中有一個不動點。

引理5 對b∈Ν1,v>0，有：

證明 由文獻[11]中的引理2.4可得

(5)

因此也有

(6)

令t-v=b,則有：t=v+b，代入(5)式有

2 解的存在性

本節(jié)將利用不動點原理討論離散分數(shù)階邊值問題(1)的解的存在性。為方便起見，先證明以下引理：

引理6 設h:[v-1,v+b-1]Νv-1→R連續(xù)，則離散分數(shù)階邊值問題(1)的唯一解是

(7)

證明 設定義在[v-3,v+b]Νv-3上的函數(shù)y(t)是分數(shù)階差分邊值問題(1)的一個解，由引理1知

(8)

其中c1,c2,c3∈R。

由邊值條件y(v-3)=0可得c3=0。因此，(8)式化為

(9)

[15]的引理2.4，對(9)式兩邊求差分得

(10)

根據(jù)邊值條件y(v+b)=0，Δy(v-3)+Δy(v+b-1)=0得到以下方程組

即得方程組

(11)

解方程組(11)得到

將所求得的c1,c2代入(9)式即得(7)式。

另一方面，可以通過直接計算驗證由(7)式給出的y(t)滿足(1)。證畢。

(12)

那么，定義在[v-3,v+b]Νv-3上的函數(shù)y(t)是分數(shù)階邊值問題(1)的解當且僅當y(t)是E上的算子T的不動點。

下面給出本文中針對分數(shù)階邊值問題(1)所用到的相關假設條件：

(H1)f:[v-1,v+b-1]Νv-1×R→R是連續(xù)函數(shù)。

(H2) 對任意t∈[v-1,v+b-1]Νv-1及任意x,y∈E，存在常數(shù)K使得

(H4) 設g:[v-1,v+b-1]Νv-1→R+是增函數(shù)，對任意ε>0存在常數(shù)η>0使得

定理1 令

證明 設x,y∈E，對任意t∈[v-3,b+v]Nv-3，由引理5，則有

從而T是壓縮映射，由引理3，T有唯一的不動點，它就是離散分數(shù)邊值問題(1)的唯一解。證畢。

定理2 令

證明 注意到f的連續(xù)性，易知T是等度連續(xù)的，且T將有界集映到有界集，由Arzela-Ascoli定理，可知T是一個緊算子。

3 Ulam 穩(wěn)定性

本節(jié)我們將討論分數(shù)差分方程(2)的Ulam穩(wěn)定性。

考慮差分方程(2)和下列不等式

(13)

(14)

我們引入分數(shù)差分方程Ulam穩(wěn)定的定義如下：

定義3[5,11]如果存在一個實數(shù)cf>0，對任意的ε>0和不等式(13)的每一個解x∈E，有差分方程(2)的一個解y∈E，使得

(15)

則差分方程(2)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的。

若用函數(shù)θf(ε)∈C(R+,R+)替換不等式(15)中的常量cfε,這里θf(0)=0，則稱方程(2)是廣義Ulam-Hyers穩(wěn)定的。

定義4[5,11]如果存在一個實數(shù)cf,g>0，對任意的ε>0和不等式(14)的每一個解x∈E，有差分方程(2)的一個解y∈E，使得

|x(t)-y(t)|≤cf,gεg(t),

t∈[v-3,b+v]Νv-3

(16)

則差分方程(2)關于g是Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定的。

若用函數(shù)g(t)替換不等式(14)和(16)中的函數(shù)εg(t),則稱方程(2)是廣義Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定的。

注1 在定義4中，若g(t)是常值函數(shù)，則差分方程(2)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的。

注2 函數(shù)x∈E是不等式(13)的一個解，當且僅當存在一個函數(shù)g:[v-1,b+v-1]Νv-1→R，使得(i)|g(t+v-1)|≤ε,t∈[0,b]Ν0；(ii)Δvx(t)=f(t+v-1,x(t+v-1))+g(t+v-1),t∈[0,b]Ν0。從不等式(14)，易得類似的注解，這里略去。

(17)

的一個解，則差分方程(2)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的。

證明 類似于引理6的計算，易得分數(shù)差分方程(17)的邊值問題的解為

(18)

若x是不等式(13)的一個解，由注2，則x滿足

Δvx(t)=f(t+v-1,x(t+v-1))+

g(t+v-1),t∈[0,b]Ν0

由引理1，通過計算可得

因此,可得

(19)

對t∈[v-3,b+v]Νv-3，由(18)式和(19)式，有

f(s+v-1,x(s+v-1))-

因此

從而

由于

類似地我們可以證明下列定理。

定理4 設(H1),(H2)和(H4)成立，令x∈E是不等式(14)的一個解，而y∈E是離散分數(shù)邊值問題(17)的一個解，則差分方程(2)是Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定的。

證明 略。

4 應用舉例

例1 考慮以下離散分數(shù)邊值問題

(20)

例2 考慮以下離散分數(shù)邊值問題

(21)

參考文獻：

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Existence and Ulam stability of solutions for a boundary value problem of nonlinear fractional difference equation

WANGJinhua1,XIANGHongjun1,ZHAOYulin2

(1.College of Mathematics and Finance, Xiangnan University, Chenzhou 423000, China；2. School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

The existence and Ulam stability of solutions of a discrete nonlinear fractional boundary value problem are studied. The existence results are established based on Schaefer fixed point theorem and inequality analysis technique. Meanwhile, new criteria for Ulam stability of solutions to the nonlinear fractional difference equation are provided and examples are presented to illustrate the effectiveness of the main results.

fractional difference equation; fixed point; existence; Ulam stability

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.001

2015-12-10

國家自然科學基金資助項目(11471278); 湖南省自然科學基金資助項目(14JJ2133)；湖南省重點建設學科資助項目

王金華(1968年生), 女；研究方向：微分差分方程；通訊作者：向紅軍;E-mail:hunxhjxhj67@126.com

O175.8

A

0529-6579(2016)02-0001-07