非線性奇攝動反應擴散問題的廣義漸近解*

史娟榮，陳賢峰，莫嘉琪

(1. 安徽機電技術(shù)學院，安徽 蕪湖 241002；2. 上海交通大學數(shù)學系，上海 200240；3. 安徽師范大學數(shù)學系，安徽 蕪湖 241003)

非線性奇攝動反應擴散問題的廣義漸近解*

史娟榮1,2，陳賢峰2，莫嘉琪3

(1. 安徽機電技術(shù)學院，安徽 蕪湖 241002；2. 上海交通大學數(shù)學系，上海 200240；3. 安徽師范大學數(shù)學系，安徽 蕪湖 241003)

研究了具有內(nèi)部激波的非線性反應擴散方程奇攝動廣義初始邊值問題。在適當?shù)臈l件下， 討論了退化問題的廣義外部解并引入伸長變量，構(gòu)造了原問題具有內(nèi)部激波和初始層校正項的廣義解的形式漸近展開式。最后，利用泛函分析不動點理論得到了原初始邊值問題廣義解的存在性和一致有效的內(nèi)部激波廣義漸近解。

非線性；激波；漸近解

非線性奇異攝動激波問題是目前在數(shù)學界十分重視的一個課題[1-2]。近來許多學者的研究中涉及到這一方面的工作[3-7]。作者等也討論了一類奇攝動非線性激波、孤立子、沖擊層等問題[8-22]。本文用特殊的方法來考慮一類廣義反應擴散奇攝動激波問題。

考慮如下問題：

εut-uxx=f(t,x,u),

(t,x)∈(0,T0)×(-1,1)

(1)

u=g(t,x),x∈±1

(2)

u=h(x),t=0

(3)

其中ε為正的小參數(shù)，T0為一個足夠大的正常數(shù)。

假設：

[H1]f除了在x0∈(-1,1)以外和g,h關于其自變量在對應的區(qū)域內(nèi)為充分光滑的函數(shù)，g(0,x)=h(x),x∈(-1,1)；

[H2] 存在常數(shù)δ>0，使得

代替問題(1)-(3)，我們考慮如下廣義反應擴散初始邊值問題：

(4)

(5)

(6)

其中

我們還假設:

[H3]退化問題

有一個廣義解U0(t,x)，但在x0∈(-1,1)處

1 外部解

設問題(4)-(6)的廣義外部解U為

(7)

將(7)式代入(4)式, (5)式, 按ε展開非線性項，合并ε的同次冪項，并令其系數(shù)為零。對于εi,i=0,1,…，可得

B1[φ,U0]=-(φ,f(t,x,U0)),

(t,x)∈(0,T0)×(0,1)),

(8)

(φ,U0)=(φ,g(t,x)),x=±1,

(9)

B1[φ,Ui]=-(φ,fu(t,x,U0)Ui+Fi)-(φ,DUi-1),

(t,x)∈(0,T0)×(-1,1),

i=1,2,…

(10)

(φ,Ui)=0,x=±1,

(11)

其中Fi(i=1,2,…)為依次已知的函數(shù)，其結(jié)構(gòu)從略。

由假設[H3]，廣義初值問題(8)-(9)存在廣義解U0(t,x)，再由線性問題(10)-(11)，可依次得到廣義解Ui(t,x),i=1,2,…。將它們代入(7)式便得到問題(4)-(6)的廣義外部解U。但外部解U在(t,x0)∈(0,T0)×(-1,1)處間斷，而且未必滿足條件(6)。為此我們尚需在(t,x0)∈(0,T0)×(-1,1)附近構(gòu)造廣義內(nèi)部激波層校正項V和在t=0附近構(gòu)造廣義初始層校正項W。

2 廣義內(nèi)部激波層校正項

(12)

(13)

其中

設

u=U+V

(14)

這里

(15)

將(14)-(15)式代入(12)-(13)式，按ε展開非線性項，合并ε的同次冪項，并令其系數(shù)為零。對于εi,i=0,1,…，可得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

由(16)-(18)式和(19)-(21)式，依次地得到vi(t,σ)(i=0,1,…)，并且由假設知vi(t,σ)具有內(nèi)部激波層性態(tài)：

(22)

這里ki(i=0,1,…)為正常數(shù)。

將vi(i=0,1,…)代入(15)式，便得到奇攝動反應擴散問題(4)-(6)廣義解u的內(nèi)部激波層校正項V。

3 廣義初始層校正項

作伸長變量的變換

(23)

并設

u=U+W

(24)

其中

(25)

考慮到(23)式，將(24)-(25)式代入(4)-(6)式，并把各項按ε的冪進行展開。取εi,i=0,1,2的系數(shù)的代數(shù)和為零?？傻?/p>

f(0,x,U0+w0)-(φ,f(0,x,U0),

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

再令

因此，wi為具有初始層校正項性態(tài)的函數(shù)。將所得的結(jié)果代入(25)式，我們便得到奇攝動反應擴散初始邊值問題(4)-(6)解u的廣義初始層校正項W。

于是我們便構(gòu)造了反應擴散奇攝動問題(4)-(6)廣義解u的如下形式漸近展開式：

(33)

4 廣義解的一致有效性

設

由(22) 式，(32)式，對于充分小的ε，使得

故由假設和泛函分析不動點理論[1-2]，可得

于是有如下定理：

定理1 在假設[H1]-[H3]下，對于充分小的ε，奇攝動反應擴散廣義初始邊值問題(4)-(6)在H1((0,T0)×(-1,1)意義下存在一個廣義解u，且解u具有形如(33)式的一致有效的漸近展開式，成立

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The generalized asymptotic solution for nonlinear singular perturbation reaction diffusion problem

SHIJuanrong1,2,CHENXianfeng2,MOJiaqi3

(1. Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China;2. Department of Mathematics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China;3. Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

The nonlinear singular perturbation interior layer initial boundary value problem for the reaction diffusion equation is considered. Under suitable conditions, the reduced problem generalized outer solution is discussed. By introducing a stretched variable, the formal asymptotic expansion for the generalized solution with interior layer and initial layer corrective terms is constructed. Finally, using the fixed point theory of functional analysis, the existence and uniformly valid interior shock asymptotic solution for the original initial boundary value problems are proved.

nonlinear; shock; asymptotic solution

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.005

2015-04-08

國家自然科學基金資助項目(11371248)；安徽省高等學校省級自然科學研究資助項目(KJ2015A418)

史娟榮(1981年生)，女；研究方向：應用數(shù)學;E-mail:ahjdshjr@126.com

O

A

0529-6579(2016)02-0023-05