記憶規(guī)律在曲線與曲面積分教學中的應用

劉明　劉偉

[摘 要]曲線與曲面積分一直是數(shù)學分析教學中的難點。本文從學習理論的視角，結合記憶規(guī)律，來分析造成學生學習曲線與曲面積分的困難原因，并由此提出一些教學建議，從而促進教學。

[關鍵詞]記憶規(guī)律；曲線積分；曲面積分

[中圖分類號]O172.2 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2016）05 — 0168 — 02

1 引言

曲線與曲面積分是多元微積分學中的重要組成部分，也對后續(xù)課程，如常微分方程、偏微分方程、微分幾何有著重要的應用。歷來是數(shù)學分析教學中的重點內(nèi)容。但是這部分內(nèi)容也由于背景復雜，公式抽象、計算量大等原因，一直也是學生學習的難點。造成這部分內(nèi)容學習困難的原因有很多，本文主要結合學習理論中的記憶規(guī)律進行分析，并給出一些具體的教學建議。

2 記憶與數(shù)學記憶

記憶是在頭腦中積累、保存和提取個體經(jīng)驗的心理過程。數(shù)學記憶是學生學習過的數(shù)學知識、技能、經(jīng)驗、思想觀念在頭腦中的反映，是學生通過數(shù)學學習積累知識、技能、經(jīng)驗、思想觀念的功能表現(xiàn)。〔1〕記憶在數(shù)學學習中起著重要的作用，如果沒有記憶，知識就無法儲存在學生的頭腦之中，更無法用所學知識來解決問題。

依據(jù)記憶形式可以把數(shù)學記憶分為：機械記憶、理解記憶、概括記憶。機械記憶是是指學生只能按照數(shù)學事實、數(shù)據(jù)、定理、概念、法則等所表現(xiàn)的形式進行記憶。比如很多學生只是在形式上記住了牛頓-萊布尼茲公式

，會用這個公式進行計算，但是并不一定理解這個公式所具有的來龍去脈以及幾何背景。理解記憶是指根據(jù)學生對數(shù)學學習材料的理解，運用有關的知識、經(jīng)驗進行記憶。其特征之一是能夠用自己的語言、事例說明對有關數(shù)學事實的含義或關系。比如學生在學習完施密特正交化法之后，能夠結合具體的三維向量，利用幾何直觀來解釋這個定理。概括記憶是指學生能夠在理解的基礎上，把所學習的材料進行概括，對其一般模式的概括進行記憶。比如柯西不等式，有很多不同的表現(xiàn)形式，比如在歐式空間 中的形式為

上述這三種記憶是由高到低，緊密聯(lián)系的。首先，所學知識對學生而言必須是有意義的。即抽象的數(shù)學知識所代表的具體的空間形式和數(shù)量關系，能與學生原有的認知建立一定的聯(lián)系。其次，在理解所要記憶的知識的基礎上，認識所學習的知識代表什么樣的空間形式和數(shù)量關系。例如，在歐式空間教學中，要注重展示內(nèi)積這個核心知識的幾何背景，充分幫助學生從運算的角度理解內(nèi)積的特點，揭示數(shù)學知識的背景和來龍去脈，就是為了幫助學生更好的記憶。只有在理解記憶的基礎上，把所學的數(shù)學知識和原有的知識進行比較，概括為一般模式，才能上升為概括模式。

根據(jù)記憶的內(nèi)容，可以把數(shù)學記憶分為陳述性記憶和程序性記憶。陳述性記憶處理陳述性知識，比如數(shù)學公式等，在數(shù)學學習中，陳述性記憶的內(nèi)容可以用符號來表達，比如寫出兩個重要極限的公式。程序性記憶主要指如何解題，計算、證明、作圖等，通常包含一系列復雜的動作過程。比如說如何來算行列式，求解線性方程組，計算不定積分等。

3.記憶規(guī)律下曲線和曲面積分學習困難分析

3.1 記憶分類視角下的分析

曲線積分包括第一型曲線積分和第二型曲線積分。曲面積分分為第一型曲面積分和第二型曲面積分。這四種積分有四種不同的表達形當學生初學每一種積分時，往往只是在形式上記住了這些積分的表達式。雖然教材上有這些公式的背景來源（幾何和物理上的問題），教師在講課時也會提到這些，但是數(shù)學分析課堂中更多的時間可能是應用在了公式的理論證明和相關的例習題的計算上。由注意規(guī)律可以摘掉，學生在課上的注意程度是有限的，很難做到整節(jié)課都全神貫注聽老師講課。再加之教學中往往將理論證明和形式計算作為重點，沖淡了各種積分實際背景的理解。學生在剛學完一種積分后，會按照相關的公式去進行計算。但這時候，基本上是處于機械記憶階段，只是能夠識記公式并利用公式計算。對于各種積分的背景以及區(qū)別認識的并不是很清楚。尤其是在4種線面積分學完之后，由于只是機械記憶，不能運用已有認知結構中的知識對各個公式進行概括，從而產(chǎn)生了混淆。

有些同學雖然能夠識記各種曲線曲面積分公式，但是在利用公式做題時往往產(chǎn)生各種錯誤。對于這個困難可以從陳述性記憶和程序性記憶來進行分析。對于公式的識記而言，往往屬于陳述性記憶，但是如何利用公式進行各種積分運算，在運算中如何利用各種積分的技巧，則屬于程序性記憶。曲線和曲面積分的求解過程往往伴隨著復雜的計算，需要根據(jù)題意選擇不同的計算方法，如果學生的程序性記憶不是很好的話，就不能夠選擇恰當?shù)挠嬎惴椒?，從而對于題目無從下手或計算錯誤，從而造成學習上的困難。

3.2 遺忘規(guī)律視角下的分析

對識記過的材料不能再認和再現(xiàn)，或出現(xiàn)錯誤的再認和再現(xiàn)，稱為遺忘〔2〕。遺忘的產(chǎn)生有兩種原因，“消退說”和“干擾說”。在學習曲線和曲面積分時，由于課上容量大，理論證明較多，導致學生注意力分散，往往對相關的知識認識的不深刻，加之大學生不像中學生，課下很少花時間去復習，很容易產(chǎn)生遺忘，這就是知識的“消退”。而曲線曲面積分的4個公式具有相似性，相關的題目之間也有很多相似之處，在學習的過程中，新舊知識相互之間容易造成干擾，導致學生無法分清楚這些公式以及計算的方法，這種遺忘就是由相關知識間的“干擾”造成的。

4.教學建議

結合上述分析，從記憶分類和遺忘規(guī)律兩個方面提出相關的教學建議。

4.1 加強知識背景的教學

由于數(shù)學分析教科書上呈現(xiàn)的更多的是嚴謹?shù)臄?shù)學公式，對于知識的背景來源雖有所介紹，但是限于教科書篇幅的限制，往往不是很詳細。因此教師在教學中要強調(diào)知識的背景介紹，對于知識的來龍去脈要花足夠的時間去講解。曲線積分和曲面積分的數(shù)學公式雖然簡潔抽象，但是背后卻有著豐富的現(xiàn)實背景，同時也是一個很好的數(shù)學模型。比如二重積分是計算曲頂柱體的模型，曲線積分是計算曲線形構件質(zhì)量的數(shù)學模型。這些數(shù)學模型建立的過程，正是對這個問題進行深入分析的過程，這個建模過程講清楚后，學生們就會明白為何不同的公式有不同的表達形式，明白不同公式背后所針對的實際背景。這樣學生在遇到實際問題時，才能夠選擇恰當?shù)墓饺ソ鉀Q問題。當學生能夠理解到這種程度后，才能達到理解記憶。當學完四種積分之后，如果能夠在和定積分一起，再一次去體會各種積分的本質(zhì)是“分割、近似、求和、取極限”那么對于線面積分的理解就會上到一個更高的層次，從而達到概括記憶。在學完這些積分后，教師要引導學生對上述積分進行總結，在習題課或復習課上，要總結各種積分的特點，揭示出這些積分的共同的特點。

4.2 教學中要引導學生及時復習

有德國心理學家艾賓浩斯的遺忘曲線的知識可以知道，遺忘的規(guī)律是“先快后慢”。這就告訴我們學習一定要先快后慢。數(shù)學分析一般是一周三次課，往往是周一周三周五排課，那么每次課上，教師應該先引導學生復習上節(jié)課所學的知識，加深之前所學的印象。另外要引導學生平時多復習。

4.3 選擇有代表性的題目

曲線和曲面積分往往伴隨著復雜的的計算過程。而對具體的計算的記憶屬于程序性記憶。教師要選擇典型的題目，重點演示，使學生清楚每一步的計算過程，這樣才能幫助學生更好的去記憶。同時課下多布置一些容易混淆的題目讓學生練習辨析，以加強學生對于各種積分的掌握。

總之，曲線和曲面積分雖然是教學的重難點，但是如果教師能夠結合數(shù)學理論和學習理論進行分析，進行合理的教學設計，能在一定程度上提高學生的學習效果。

〔參 考 文 獻〕

〔1〕孔凡哲，曾崢.數(shù)學學習心理學〔M〕.北京：北京大學出版社，2009：118.

〔2〕郭玉峰，劉春艷，程國紅.數(shù)學學習論〔M〕.北京：北京師范大學出版社，2015：118.

〔責任編輯：楊 赫〕