利用Matlab優(yōu)化多元函數(shù)微積分教學(xué)的研究與實踐

吳興杰，解大鵬，劉　洋，許和乾

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

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利用Matlab優(yōu)化多元函數(shù)微積分教學(xué)的研究與實踐

吳興杰，解大鵬，劉洋，許和乾

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

[摘要]在多元函數(shù)微積分教學(xué)中融入Matlab數(shù)學(xué)軟件，可為抽象的數(shù)學(xué)思維提供直觀模型，幾個相關(guān)的教學(xué)實例表明，這不但有利于提高學(xué)生分析和解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)造性，而且能有效的提高多元函數(shù)微積分的教學(xué)質(zhì)量和效率。

[關(guān)鍵詞]Matlab；多元函數(shù)微積分；探究式教學(xué)

1引言

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)理工科各專業(yè)的一門非常重要的基礎(chǔ)課，是學(xué)生學(xué)好其它基礎(chǔ)課和專業(yè)課程的基礎(chǔ)，它為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程和解決實際問題提供了必不可少的知識，此外，高等數(shù)學(xué)還是理工科學(xué)生攻讀研究生所必須參加的一門考試課[1]。然而，由于該課程十分抽象，尤其是有關(guān)多元函數(shù)微積分的教學(xué)，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往缺乏生動性和直觀性，很難做到教學(xué)互動，學(xué)生學(xué)習(xí)普遍感到非常困難，教學(xué)效率低，不利于人才的培養(yǎng)，這些都反映出高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的迫切性[2]，因此，如何提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果以及怎樣將數(shù)學(xué)知識與專業(yè)背景進行有機結(jié)合，就成為亟待解決的問題[3]。

多媒體現(xiàn)代技術(shù)在高校中的普及，也越來越使得教學(xué)工作更加簡潔便利，其對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究創(chuàng)新和數(shù)學(xué)實踐能力有著不可替代的重要作[4，5]。近年來，國外很多知名高校都將數(shù)學(xué)軟件引入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，Matlab具有典型的圖形可視化功能，在進行多元函數(shù)的性質(zhì)、曲面和空間立體圖形的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系、多元函數(shù)的極值、重積分的幾何意義以及多元函數(shù)微積分在幾何和物理上的應(yīng)用等方面的教學(xué)中[6-8]，適當(dāng)利用Matlab軟件進行數(shù)學(xué)實驗，應(yīng)用數(shù)值表格或直觀圖像來分析復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通過先直觀、后抽象，先觀察、歸納、總結(jié)，后演繹推理、分析證明，把知識的傳授過程變成更符合認(rèn)知規(guī)律的以引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的探究知識的過程，這能很好彌補傳統(tǒng)教學(xué)的不足，提高教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，進而提高學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力[6，9]。

2偏導(dǎo)數(shù)、全微分的幾何意義與應(yīng)用

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)(這里僅以對x的偏導(dǎo)數(shù)為例)，過曲面z=f(x,y)上一點M0(x0,y0,f(x0,y0))作平面y=y0，截此曲面于曲線z=f(x,y0)，由于偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)為一元函數(shù)f(x,y0)的導(dǎo)數(shù)f′(x,y0)|x=x0，故由一元函數(shù)的幾何意義可知，fx(x0,y0)表示曲線z=f(x,y0)在M0處切線對x軸的斜率，即z=f(x,y)在(x0,y0)處沿平行于x軸的變化率。

例1討論函數(shù)z=2-2x2-y2在(0.5,0.5)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

分析二元函數(shù)表示的曲面、曲面被平面y=0.5所截的平面曲線z=1.75-2x2以及曲線在x=0.5處的切線z=2.25-2x如圖1。

然而，偏導(dǎo)數(shù)的存在只能保證點(x,y)沿平行于x和y軸的特殊方式趨于(x0,y0)時，函數(shù)值f(x,y)趨于f(x0,y0)，或者說在(x0,y0)處沿x和y軸方向是連續(xù)的，但不能保證點(x,y)沿任何路徑趨于(x0,y0)時，f(x,y)均趨于f(x0,y0)，因此對多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)存在也不能保證函數(shù)連續(xù)。

例2[1]討論二元函數(shù)

在(0，0)處的連續(xù)性。

在一元函數(shù)中，可微函數(shù)的幾何意義是：可以用切線段近似代替弧段。對于二元函數(shù)來說，其全微分也有類似的意義。

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處可微，則在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有f(x,y)-f(x0,y0)≈fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)，即f(x,y)≈f(x0,y0)

+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)，記上式左端為z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)

+fy(x0,y0)(y-y0)，其表示過P0(x0,y0,f(x0,y0))，曲面z=f(x,y)的切平面，因此曲面在P0近旁的小部分可用切平面代替，即以平面代替曲面，這樣全微分df|(x0,y0)就表示曲面z=f(x,y)在點P0處切平面上點的豎坐標(biāo)的增量。

例3討論二元函數(shù)z=20-x2-y2在(-0.5,-0.5)處的全微分。

分析zx|(-0.5-0.5)=zy|(-0.5,-0.5)=1，這樣dz|(-0.5,-0.5)=dx+dy。在區(qū)域[-1,0]×[-1,0]內(nèi)曲面及其在點(-0.5,-0.5)處的切平面如圖3。

3多元函數(shù)極值點的應(yīng)用分析

多元函數(shù)極值的定義及其數(shù)學(xué)意義成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點內(nèi)容。通過Matlab的繪圖功能，能將多元函數(shù)極值求解的基本思路和方法實現(xiàn)圖形化表示，更清楚地揭示多元函數(shù)極值的數(shù)學(xué)意義，從而促進學(xué)生對多元函數(shù)極值問題的理解和掌握。

定義1[1]若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，且對該鄰域內(nèi)的所有點(x,y)有f(x,y)?f(x0,y0)或f(x,y)≥f(x0,y0)，則稱函數(shù)在(x0,y0)處取得極大值或極小值。

從定義上說，對二元函數(shù)在(x0,y0)處取得極值，學(xué)生不十分清楚是什么樣的情形，尤其對在(x0,y0)處不取極值，雖然可文字解釋為不存在(x0,y0)的鄰域使得定義1中的不等式成立，或說(x0,y0)的任何鄰域中即有使得f(x,y)?f(x0,y0)的點，又有使得f(x,y)≥f(x0,y0)的點，但學(xué)生還是渴望能更直觀地展示這一含義。

例4[1]討論函數(shù)f(x,y)=x3-y3+3x2+2y2-9x的極值。

分析易求f(x,y)的四個駐點(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)。雖然可利用極值的充分條件[1](大部分高等數(shù)學(xué)教材不予證明)來判斷f(x,y)在(1,0)處取得極小值，在(-3,2)處取得極大值，在(1,2),(-3,0)處均不取極值，但是大部分學(xué)生對這些結(jié)果產(chǎn)生疑惑，極大值、極小值在曲面上表現(xiàn)如何？在(1,2),(-3,0)處不取極值的直觀圖形是什么？下面通過Matlab將結(jié)果可視化，更直觀、更深刻地解釋多元函數(shù)的極值問題。利用Matlab作出f(x,y)的三維曲面(如圖4)和等高線(如圖5)。

從圖5可清楚地看出，函數(shù)f(x,y)具有兩個極值點，根據(jù)梯度與等高線的關(guān)系，梯度的方向是等高線的法線方向且指向函數(shù)增長的方向，由此可知，極值點應(yīng)該有等高線環(huán)繞，圖5顯示，這里的極值點包括極大值點(-3,2)和極小值點(1,0)。由圖5可見，點(1,2),(-3,0)的周圍沒有等高線環(huán)繞，故不是極值點，在圖4表現(xiàn)為鞍點，這就解釋了定義中(x0,y0)的任何鄰域中即有使得f(x,y)?f(x0,y0)的點，又有使得f(x,y)≥f(x0,y0)的點了，這些與利用極值的充分條件分析的結(jié)果一致。

4重積分的計算分析

例5[1]求球體x2+y2+z2?4a2被圓柱面x2+y2=2ax, (a>0)所截得的立體體積。

分析這其實就是著名的維維安尼(Viviani)體，通過Matlab展現(xiàn)出截得的立體圖形，如圖6(這里以a=2為例)。

由所求立體的對稱性，這里僅求第一卦限內(nèi)的部分體積后乘以4即得所求立體的體積。第一卦限內(nèi)的立體是一個曲頂柱體，如圖7。

三重積分的計算是高等數(shù)學(xué)的一個教學(xué)難點，要求學(xué)生具有較強的幾何直觀能力。利用Matlab將積分區(qū)域清晰地展現(xiàn)出來，不僅使重積分的計算簡潔、準(zhǔn)確，而且可增強學(xué)生的空間想象和應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實際問題的能力，提高教學(xué)效果。

分析首先，利用Matlab作出積分區(qū)域V及其在xoy面上的投影區(qū)域Dx,y如圖8。

圖8顯示積分區(qū)域中曲面z=18-0.5(x2+y2)在曲面z=5+x2+y2上方，兩曲面方程聯(lián)立可得其交線為x2+y2=9, (z=14)，其在xoy平面上的投影為以原點為心，半徑為3的圓，此圓圍成的區(qū)域(即V在xoy平面上的投影區(qū)域Dx,y)為x2+y2?9，根據(jù)柱面坐標(biāo)變換可得所求三重積分

5結(jié)束語

總之，Matlab在高等數(shù)學(xué)尤其是在具有代表性的多元函數(shù)微積分的教學(xué)中起著重要的輔助作用，利用Matlab數(shù)學(xué)軟件，結(jié)合多媒體技術(shù)，對多元函數(shù)微積分進行輔助教學(xué)，不僅豐富了教學(xué)資源，充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)造性，促進信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合，而且對傳統(tǒng)教學(xué)起到有益的補充作用，對進一步提高教學(xué)質(zhì)量和效果具有實踐性和重要的實際意義。

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Research and Practice of Multiple-variable Calculus Teaching Based on Matlab Software

WU Xingjie, XIE Dapeng, LIU Yang， XU Heqian

(SchoolofMathematicsandStatistics,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

Abstract：Matlab software can be used in the teaching of multiple-variable calculus, providing intuitive model for abstracted mathematical thinking. Several related teaching examples show that this approach will be not only helpful to improve students' ability to analyze and solve problems and stimulate the students' enthusiasm, but improve the quality and efficiency of multiple-variable calculus teaching as well.

Key words：Matlab; Multiple-variable calculus; Inquiry teaching

[收稿日期]2015-09-02

[基金項目]安徽省高等學(xué)校省級質(zhì)量工程項目(2013jyxm173)；合肥師范學(xué)院重點教學(xué)研究項目(2012yj04)；合肥師范學(xué)院自然科學(xué)青年基金(2015QN18)；安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究重點項目(KJ2015A196)；合肥師范學(xué)院“136人才項目工程”

[第一作者簡介]吳興杰(1981-)，男，安徽太和縣人，博士，講師，研究方向：微分動力系統(tǒng)，網(wǎng)絡(luò)化智能體控制。

[中圖分類號]G642.0

[文獻標(biāo)識碼]B

[文章編號]1674-2273(2016)03-0059-04