小學(xué)數(shù)學(xué)“雞兔同籠”問題解法探析

莊曉銘

摘要：“雞兔同籠”是一道古代趣題，今人新創(chuàng)的解題法各不相同。本文介紹了“雞兔同籠”解題法中隱含的數(shù)學(xué)思想，分析了不同解題法的過程，挖掘“雞兔同籠”解題過程隱含的數(shù)學(xué)思想，提倡教師在教學(xué)過程中注重數(shù)學(xué)思想的滲透，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) ? 雞兔同籠 ? 解法探析

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.02.028

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四腳，問雉免各幾何？”這就是著名算術(shù)題“雞兔同籠”，這道源自古代《孫子算經(jīng)》的趣味題經(jīng)過千百年來無數(shù)算術(shù)愛好者和教育人士的研究，其解題方法得到了極大的豐富，而其內(nèi)涵也不斷地延伸。現(xiàn)代人研究“雞兔同籠”的目的已不僅僅局限于具體的解決辦法，而是通過“雞兔同籠”實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的滲透，學(xué)會以數(shù)學(xué)的眼光看待世界、解決問題。

一、“雞兔同籠”解題法中隱含的數(shù)學(xué)思想

解決“雞兔同籠”的辦法有很多，既有古代流行的抬腳法，也有現(xiàn)代人新創(chuàng)的猜想法、列表法、圖畫法、假設(shè)法、建模法、方程法等?！半u兔同籠”的多樣解題法彰顯了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教育中的重要地位。作為教師，我們需要深入研讀教材，把隱含在課本公式、習(xí)題間的數(shù)學(xué)思想準(zhǔn)確地提煉出來，在課堂教學(xué)過程中潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生感悟，促使學(xué)生嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)思想分析與解決問題。

二、“雞兔同籠”解決法分析

（一）猜想法

也可稱為湊數(shù)法，即讓學(xué)生根據(jù)題目中提供的“頭”的數(shù)量先猜雞與兔的數(shù)量，再通過題目提供的“腳”的數(shù)量予以印證。在此過程中，學(xué)生會慢慢領(lǐng)會“若雞與兔的腳數(shù)量猜測得多，則應(yīng)該增加雞的猜測數(shù)量而減少兔的數(shù)量。反之，若是腳的數(shù)量少了，就要增加兔的猜測數(shù)量而減少雞的數(shù)量。在這種不斷修正猜測結(jié)論的過程中，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性得到提高，慢慢變得大膽，思路也更加開闊。

（二）列表法

列表法可以看作是猜測法的延續(xù)，將猜測的數(shù)值按照一定順序（一般是從小到大）排列為表格，根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律“雞的數(shù)量減少一只、兔的數(shù)量增加一只的情況下，腳的數(shù)量就會增加兩只”。在現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)一些問題暫時不能找到最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型時，以列表的辦法往往能夠得到結(jié)果，這也為后面的數(shù)學(xué)建模奠定了基礎(chǔ)。

（三）畫圖法

畫圖法是最直觀形象的辦法，首先畫出35個頭與94只腳，然后先給所有的頭配上兩只腳，接著將多出來的24只腳加在其中的12個頭上，答案出現(xiàn)。通過上面畫圖的過程，新的解題法——假設(shè)法已經(jīng)初步呈現(xiàn)。畫圖在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是一個十分必要也相當(dāng)有用的辦法，學(xué)生在動手繪圖的過程中能夠逐漸領(lǐng)悟解題思路，在一定程度上拓展想象空間，從而體會的掌握其中的數(shù)學(xué)思想。

（四）假設(shè)法

新課程標(biāo)準(zhǔn)的提示內(nèi)容中有“假設(shè)籠子里全是雞，則全部的腳的數(shù)量就應(yīng)該是70只，這會多出24只腳，一只兔子比一只雞多兩條只腳，則24÷2=12，這就是兔子的數(shù)量，那么雞就有23只”。根據(jù)這種提示，學(xué)生可以反向思維：“如果籠子里全是兔子，那就應(yīng)該有140只腳，這樣就少了46只腳，一只雞比一只兔子少兩只腳，46÷2=23，這是雞的數(shù)量，那么兔子就是12只。”

假設(shè)法解題相對于之前幾種解題法而言更加快捷迅速，并且有利于促進(jìn)小學(xué)生創(chuàng)新性思考能力的發(fā)展。但假設(shè)的方向一定要正確，假設(shè)的目標(biāo)對象必須順應(yīng)題目而非自相矛盾，否則不僅得不到正確答案，反而會讓解題人陷入混亂。

（五）建模法

這種辦法是在假設(shè)法的基礎(chǔ)上得到的，在“假設(shè)”的過程中，學(xué)生可以得出以下規(guī)律：“雞的數(shù)量=（所有頭的數(shù)量×4-所有腳的數(shù)量）÷（4-2），兔的數(shù)量=（所有腳的數(shù)量-所有頭的數(shù)量×2）÷（4-2）”。這個規(guī)律就是一個數(shù)學(xué)模型。這個模型可以解決所有與“雞兔同籠”問題類似甚至有所擴(kuò)展的問題。建模法已經(jīng)是一種相對成熟的解決現(xiàn)實(shí)問題的常用數(shù)學(xué)思想方法，該法從“形”和“量”的角度分析現(xiàn)實(shí)問題，以相對簡化了的抽象形式確立解題參數(shù)與參量，結(jié)合數(shù)學(xué)定理（定義）將現(xiàn)實(shí)問題與之關(guān)聯(lián)，此時，一個數(shù)學(xué)（或現(xiàn)實(shí)）問題就成為一個極簡的數(shù)模。小學(xué)生對于建模的問題相對難以理解，但教師應(yīng)當(dāng)嘗試讓學(xué)生初步對建模產(chǎn)生大致的印象，從而為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（六）方程式解題法

方程式的應(yīng)用在四年級已有了初步的認(rèn)識，這種方法也是使用最廣泛和最便捷的數(shù)學(xué)思想方法之一，具體到“雞兔同籠”的問題，可以設(shè)兔的數(shù)量為X，雞為Y，則雞頭數(shù)量則為35-X，那么，兔子的腳就是4X，雞腳就是2（35-X），則方程式為4X+2（35-X）=94，解X=12，Y=23。

方程式作為解決現(xiàn)實(shí)問題最有效的數(shù)模，具有直接、簡便、以易解難的優(yōu)勢，其在現(xiàn)代社會各行業(yè)均有廣泛應(yīng)用，此法的應(yīng)用重點(diǎn)在于將問題中的已經(jīng)量與未知量通過列方程建立起關(guān)聯(lián)，最終通過已知量計(jì)算得到未知量，此即為方程式思想方法的由來。

三、通過分析“雞兔同籠”教會學(xué)生數(shù)學(xué)思想

從上述猜想法到方程式法不難看出，這些由淺及深的數(shù)學(xué)思想方法之間存在著層層遞進(jìn)、由具象到抽象、由低層級往高層級發(fā)展的關(guān)聯(lián)。粗看之下，“猜想、列表、畫圖”顯得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦頭和腳的數(shù)量上了百只，那么僅在畫圖表上耗費(fèi)的時間就已經(jīng)無法想象，更遑論后續(xù)的解題措施。然而，這些略顯笨拙的解題法作為小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的必然過程卻是必不可少的，正因有了這些“笨”辦法，才為后面的假設(shè)、建模與方程式奠定了基礎(chǔ)。教師需要通過這樣循序漸進(jìn)的教學(xué)方法化繁為簡，進(jìn)一步讓學(xué)生明白所謂的“笨”辦法與后面精煉簡潔的數(shù)模之間其實(shí)有著千絲萬縷的聯(lián)系，從而讓學(xué)生了解“數(shù)學(xué)思想之間并非孤立存在”的深刻內(nèi)涵。

四、結(jié)束語

分析“雞兔同籠”的目的在于讓小學(xué)生掌握不同數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，教師應(yīng)充分挖掘與延伸“雞兔同籠”的潛在價值，引導(dǎo)小學(xué)生領(lǐng)會及掌握不同數(shù)學(xué)思想方法間的聯(lián)系，為更高層級的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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