普高學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性、極值等問題的誤區(qū)探究

陶志鋒

【摘要】導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)最緊密的內(nèi)容，備受高考命題者的青睞，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)主要體現(xiàn)在如下幾方面：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程、研究函數(shù)的單調(diào)性、處理函數(shù)的極值和最值問題等.從實(shí)際教學(xué)和檢測中，有些學(xué)生由于對概念的理解不夠準(zhǔn)確或受到某些知識或方法的負(fù)遷移，在解答有關(guān)問題時，常會陷入誤區(qū)，從而導(dǎo)致會而不對、對而不全.本文筆者就日常教學(xué)中學(xué)生解題中出現(xiàn)的幾類典型錯誤進(jìn)行扼要分析.

【關(guān)鍵詞】普高；導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；極值

導(dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)的研究與應(yīng)用提供了有效的工具，把對函數(shù)的學(xué)習(xí)提高到一個新的層次.近年來，對應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的考查已成為高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).就近幾年江蘇高考而言，對導(dǎo)數(shù)的考查十分重視，難度保持在中等以上，考試中有時甚至?xí)婕耙恍┪淖中蛻?yīng)用題，在數(shù)學(xué)思想上也有很強(qiáng)的體現(xiàn)，涉及的知識點(diǎn)和分值也頗多，如2012年第18題考查數(shù)學(xué)建模后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，2013年第20題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，2014年第11、19題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，這類問題看似簡單，但從實(shí)際教學(xué)和檢測中，有些學(xué)生由于對概念的理解不夠準(zhǔn)確或受到某些知識或方法的負(fù)遷移，在解答有關(guān)問題時，常會陷入誤區(qū)，從而導(dǎo)致會而不對、對而不全.本文筆者就日常教學(xué)中學(xué)生解題中出現(xiàn)的幾類典型錯誤進(jìn)行扼要分析.

一、 混淆兩類切線的概念

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理曲線的切線問題是考查導(dǎo)數(shù)時常見題型，在此類問題中的重點(diǎn)和關(guān)鍵是抓住“切點(diǎn)”，充分利用“切點(diǎn)”的三個作用：①切點(diǎn)在曲線上；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率.在此類問題中有一個易錯點(diǎn)即“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)處的切線”的區(qū)別，其實(shí)質(zhì)就是已知點(diǎn)是否一定為切點(diǎn).

例1 求過點(diǎn)（1，-1）且與曲線y=x3-2x相切的直線方程.

錯解 因?yàn)辄c(diǎn)（1，-1）在曲線上，所以切點(diǎn)為（1，-1），又y′=3x2-2，故切線的斜率為k=1，因此切線方程為x-y-2=0.很顯然學(xué)生誤認(rèn)為過某點(diǎn)的切線即為在該點(diǎn)的切線.曲線在“點(diǎn)P處的切線”意味著“P為切點(diǎn)且P在曲線上”，而“過點(diǎn)P的切線”僅能說明“點(diǎn)P在曲線的切線上”.

正解 在處理這類問題時往往會出現(xiàn)兩個關(guān)鍵詞“在”與“過”，很容易區(qū)別不清，從而陷入誤區(qū)，實(shí)際上兩者形似而質(zhì)異，處理切線問題一定要緊緊抓住“切點(diǎn)”，充分利用“切點(diǎn)”的作用解題，這是一個基本的原則.本題正解應(yīng)為：設(shè)切點(diǎn)為（x0，x03-2x0），因?yàn)閥′=3x2-2，所以切線的斜率為k=3x20-2，進(jìn)而寫出切線方程，利用點(diǎn)（1，-1）在曲線上，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，切線方程也不難得出為x-y-2=0或5x+4y-1=0.

二、誤用單調(diào)函數(shù)的充要條件

例2 若f（x）=ax+1x+2在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，則a的范圍是.

錯解 因?yàn)閒（x）=ax+1x+2在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，故應(yīng)有f′（x）=ax+1x+2′=2a-1（x+2）2>0，即a>12，所以a的范圍是12，+∞.

正解 很顯然上述解題過程因?yàn)楦拍钅：?，錯把f（x）在某個區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的充分條件當(dāng)成充要條件，事實(shí)上本題由已知條件知函數(shù)在區(qū)間（-2，+∞）上是增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可轉(zhuǎn)化為：f′（x）=ax+1x+2′=2a-1（x+2）2≥0，所以 a≥12，但到此題目并沒有完全結(jié)束，要對a=12進(jìn)行單獨(dú)考慮，即可發(fā)現(xiàn)f（x）=ax+1x+2=12x+1x+2=12（x>-2）為（-2，+∞）上的常數(shù)函數(shù)，不滿足題意.

三、忽視極值存在條件

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，已成為現(xiàn)在高考的熱點(diǎn)，解決此類問題分為三步：①求定義域及導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②求方程f′（x）=0的根；③檢驗(yàn)f′（x0）在方程f′（x）=0的根的左右兩邊的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）=0在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）=0在這個根處取得極小值.

例3 已知函數(shù)f（x）=13x3+a2x2+ax+b，當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）的極值為-712，求f（2）.

錯解 f′（x）=x2+2a2x+a，∴f（-1）=-712，f′（-1）=0，即1-2a2+a=0，a2-a+b+14=0，解得a=1，b=-14，或a=-12，b=-1.當(dāng)a=1，b=-14時，f（2）=10112；當(dāng)a=-12b=-1時，f（2）=53.故答案為10112或53.

正確 上述求解過程貌似沒有問題，但我們細(xì)想不難發(fā)現(xiàn) “導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)”，所以一定要代回去檢驗(yàn)該點(diǎn)左右兩邊導(dǎo)數(shù)的符號是否相異，這是本題的一個難點(diǎn)，也是一個關(guān)鍵之處.經(jīng)檢驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1，b=-14時，函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)，所以本題正確答案為f（2）=53.

結(jié)束語

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點(diǎn)，是聯(lián)系多個章節(jié)內(nèi)容及解決相關(guān)問題的重要工具，它常與方程、不等式等內(nèi)容交叉滲透、自然交匯，方法貌似固定，但學(xué)生常會陷入誤區(qū)，從而導(dǎo)致會而不對、對而不全，本文僅列舉了幾類典型錯誤，有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題型千變?nèi)f化，日常教學(xué)和復(fù)習(xí)中，我們要強(qiáng)化學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，領(lǐng)會應(yīng)用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)解決具體問題的思想方法，并將知識融會貫通.

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