將“權”關在規(guī)定明晰的“籠子”里

朱豐勝

【基金項目】江蘇省立項課題——構建農村初中數學生“動”課堂教學模式

學生在第二學段首先接觸平均數概念，初步了解平均數的實際意義.在此基礎上，蘇科版教材九上第三章“數據的集中趨勢和離散程度”里在研究數據集中趨勢的大背景下，安排學習加權平均數，讓學生進一步體會平均數是刻畫一組數據集中趨勢的重要的統計量，并且理解“權”的意義與作用，通過運用加權平均數解決實際問題，讓學生感受數學與自然及人類社會的密切聯系.但對權的內涵與外延的表述都不甚明晰.

一、教材解讀

在日常的生活中，一組數據里的各個數據的“重要程度”未必相同，因而很多的“平均”現象并非簡單的算術平均.在計算這組數據的平均數時，往往根據其重要程度，分別給每個數據一個“權”，由此求出的平均數叫作加權平均數.“權”的差異性對平均數有著重要的影響，通常我們討論一組數據的平均數，總是假定每一個數據都是同等重要的，即“權”相等.但是，在實際問題中，有些數據比其他數據更重要，在這種情況下我們需要根據具體的目的通過增加權重來計算平均數，使得到的結果更為合理，更為科學.

一般地，如果在一組數據中，x1出現f1次，x2出現f2次，…，xk重復出現fk次，（f1，f2，…，fk為正整數），則這組數據的平均數：

=

在這個計算平均數的公式中，相同數據x1的個數叫作權，這個“權”含有所占分量輕重的意思，因此也叫作“權重”.

教材在此處安排學習加權平均數，體會權的差異對結果的影響，探索算術平均數和加權平均數的聯系和區(qū)別，不僅發(fā)展了學生的求同和求異的思維，而且通過利用平均數解決實際問題，發(fā)展了學生的數學應用能力.

二、一點困惑

《辭海》中關于權的表述為：在統計中，計算平均數等指標時，對各個變量值具有權衡輕重作用的數值叫作“權”. 但對權衡輕重的這個數值是頻數還是頻率沒做具體的說明.

教材99頁中一會說“問題1”中的人數10、30、60、50、50分別是天數2、3、4、5、6的“權”，教材100頁一會又說“問題2”中的 、 、 分別是采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設計成績的“權”，問題1中的權是某數據出現的次數，即該數據的頻數，問題2的權是數據出現的次數占數據總數的比，即該數據的頻率. 讓人莫衷一是，增加了學生理解和教學的難度. 比如教材101頁練習第一題：

小明統計了15天同一時段通過某路口的汽車流量如下 （單位：輛）

求這15天在這個時段通過該路口的汽車平均流量.

在解決這個問題時有學生認為天數2、2、5、6是汽車流量142、145、157、156的權，有學生認為 、 、 、 是汽車流量142、145、157、156的權. 多數教師在教學中要么回避，要么含糊其辭.

加權平均數不同于簡單的算術平均數，簡單的算術平均數只與數據的大小有關，而加權平均數則還與該組數據的權相關，學生對權的意義和作用的理解會有困難，尤其問題1中的權是該數據的頻數，還容易造成學生對數據與權的混淆. 三、我的建議

筆者以為，加權平均數是數學來源于生活、服務生活的具體體現，但何謂“權”，則是一個規(guī)定. 作為數學文化傳播最重要的渠道——教材，很有必要給“權”一個明晰的規(guī)定. 而且在同一問題情境下頻數的大小確實可以反映數據的“重要程度”，但在不同背景中，頻數相同的數據“重要程度”可能不同，頻數不同的數據“重要程度”可能相同，頻數大的數據未必就比頻數小的數據“重要”. 如數據1，2，2，2，3，3中的數據2的頻數是3，數據1，2，2，2，中的數據2的頻數也是3，雖然頻數相同，但“重要程度”顯然不一樣. 所以以頻數形式規(guī)定“權”適用范圍狹窄，不具一般性，也不嚴謹. 若以頻率形式規(guī)定“權”，前者的權是 ，后者的權是 ，重要程度一目了然，所以頻率規(guī)定形式具有一般性，因而更為科學.

教材所需做的變動僅是將101頁，一組數據的平均數，不僅與這組數據中各個數據的值有關，而且與各個數據的“重要程度”有關，我們把衡量各個數據“重要程度”的數值叫作“權”. 例如：“問題1”中的人數10、30、60、50、50分別是天數2、3、4、5、6的“權”；

問題2中的 、 、 分別是采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設計成績的“權”.

一組數據的平均數，不僅與這組數據中各個數據的值有關，而且與各個數據的“重要程度”有關，我們把衡量各個數據“重要程度”的數值叫作“權”. 例如：“問題1”中的

分別是天數2、3、4、5、6的“權”；

問題2中的 、 、 分別是采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設計成績的“權”. 一個簡單的變動既明確了一個概念，又減輕了學生的負擔，何樂而不為！