《線性代數(shù)》教學(xué)中若干難點的探討

郭宏艷

摘要：在《線性代數(shù)》的教學(xué)過程中，有很多抽象的概念學(xué)生很難理解，比如線性相關(guān)、線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組、向量組的秩等等。本文從筆者個人的教學(xué)實際出發(fā)，淺談教學(xué)過程中的若干個教學(xué)難點，化抽象為具體，幫助學(xué)生理解并掌握這些難點，以提高學(xué)生對《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：線性相關(guān)；線性無關(guān)；極大線性無關(guān)組；向量組的秩

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）22-0226-02

《線性代數(shù)》是高等學(xué)校理、工、經(jīng)、管類各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程。通過對本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以獲得線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本運算技能，為后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步知識的獲得奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及自學(xué)能力，并具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學(xué)知識分析和解決問題的能力。另外，通過《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和提高學(xué)生的創(chuàng)新意識。因此，只有熟練掌握這門課程，才能較好地運用到各個專業(yè)中。由于該課程內(nèi)容抽象，教學(xué)課時短，這無疑對教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了極大的困擾。本文從筆者個人的教學(xué)實際出發(fā)，淺談教學(xué)過程中的若干個教學(xué)難點，幫助學(xué)生理解并掌握這些難點，以提高學(xué)生對《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)興趣。

一、線性相關(guān)性與線性無關(guān)性

線性方程組理論是線性代數(shù)的基本內(nèi)容之一，而向量組的線性相關(guān)性和線性無關(guān)性又是解線性方程組的基礎(chǔ)。教材第三章線性方程組開門見山，直接給出了線性相關(guān)及線性無關(guān)的定義。線性相關(guān)是指一個向量組α1，α2，…，αs，如果存在一組不全為零的數(shù)λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，則稱該向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)。如果不存在這樣一組不全為零的數(shù)，則稱該向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)。單純地稱某向量組線性相關(guān)或線性無關(guān)，對于學(xué)生來說是比較抽象的，他們對這一定義總是感覺很模糊，很難理解，如何才能更好地更形象地理解這一定義呢？如果在教學(xué)中，把這塊知識與解析幾何聯(lián)系起來，用幾何知來解釋什么是線性相關(guān)或線性無關(guān)，那么學(xué)生肯定更容易接受。例如，對于定義中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解為b=（λ1，λ2，…，λs）這樣的一個行向量。如果向量組有兩個列向量構(gòu)成，即α1，α2，則b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，則經(jīng)過變換可以得到α1=■，這說明α1和α2共線。對于有三個向量構(gòu)成的向量組，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，經(jīng)變換得到α1=■+■，這說明α1，α2，α3三個向量共面。

對于兩個向量，線性相關(guān)指兩向量平行（或者說是共線），此時只是在線上的關(guān)系，僅僅是一維，線性無關(guān)指兩向量相交，確定了一個二維平面。線性無關(guān)提供了另一種維度，使得向量所在空間增加了一維。對于三個向量，線性相關(guān)指三向量共面，研究的是二維平面，而線性無關(guān)指三向量不共面，使得向量所在空間增加了一維，即三個向量若線性無關(guān)，那么它們不共面，存在于三維立體空間中。四個向量，五個向量，…，研究方法類似。結(jié)合幾何知識，通過幾何圖像可以更直觀地呈現(xiàn)出新的概念，學(xué)生更易于接受，而且還有助于提高學(xué)生對《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)興趣。

二、極大線性無關(guān)組及向量組的秩

由于極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念比較抽象，學(xué)生較難理解，所以這一知識點也是《線性代數(shù)》教學(xué)的重點和難點。我們所用的教材是在講述了線性相關(guān)性和線性無關(guān)性之后，直接給出極大線性無關(guān)組及向量組秩的概念，學(xué)生很難理解并掌握這兩個抽象的概念。針對這一情況，在教學(xué)中可以通過一個例子提出問題，在解決該問題的過程中總結(jié)歸納出極大線性無關(guān)組和向量組秩的概念，用簡單具體的實例闡明抽象的概念。這樣一來，教師在教學(xué)過程中會輕松些，學(xué)生學(xué)起來也不那么枯燥無味。

例如：判斷向量組β1=100，β2=010，β3=121，β4= 1 0-1的線性相關(guān)性。首先我們可以根據(jù)前面所學(xué)的知識判斷出向量組β1，β2，β3，β4是線性相關(guān)的。緊接著，讓學(xué)生找出向量組β1，β2，β3，β4中線性無關(guān)的子組。通過分析，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)，在線性相關(guān)的向量組β1，β2，β3，β4中，存在線性無關(guān)的子組，且這些線性無關(guān)的子組所含向量的個數(shù)都為2。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，向量組中的線性無關(guān)子組并不是唯一的，但是所含向量的個數(shù)是相同的，都是2，并且其余向量都可以由線性無關(guān)的子組線性表示。最后總結(jié)出向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的概念。向量組β1，β2，β3，β4的線性無關(guān)的子組β1，β2；β1，β3或β3，β4等稱為向量組β1，β2，β3，β4的極大線性無關(guān)組，極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)2稱為向量組β1，β2，β3，β4的秩，記為R（β1，β2，β3，β4）=2。然后再將這兩個概念推廣到更普遍的情況，歸納總結(jié)出向量組的極大線性無關(guān)組和向量組秩的概念。

若向量組的一個子組線性無關(guān)，但將向量組中任何一個向量添加到這個線性無關(guān)子組中去，得到的都是線性相關(guān)的子組，則稱該線性無關(guān)子組為向量組的極大線性無關(guān)組。一個向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩。通過恰當(dāng)?shù)睦右鲂碌母拍?，此種方法化抽象為具體，學(xué)生更容易接受并掌握相關(guān)概念。

由此可見，在《線性代數(shù)》的教學(xué)過程中，對于一些抽象的概念，直接闡述很難達(dá)到理想的教學(xué)效果。面對這些教學(xué)難點，我們可以結(jié)合幾何知識，通過幾何圖像可以更直觀地呈現(xiàn)出新的概念；或者通過引入恰當(dāng)?shù)睦樱诮鉀Q問題的過程中把要講述的新概念歸納總結(jié)出來?？傊凇毒€性代數(shù)》的教學(xué)過程中，要靈活運用多種教學(xué)方法，才能發(fā)揮最好的教學(xué)效果，達(dá)到教學(xué)設(shè)計的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第三冊）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1990.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)，線性代數(shù)[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]王新艷，林恒強(qiáng).向量的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性在平面和空間上的幾何解釋[J].鄭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2000，16（1）：30-32.

[4]黃金城.向量組的秩的概念引入教學(xué)[J].成都師范學(xué)院學(xué)報，2013，29（1）：112-113.

[5]王章雄，曹順娟.“線性代數(shù)”概念教學(xué)芻議[J].高等理科教育，2009，（6）：41-43.