也談初中數(shù)學圖形問題中教師的“導”

王長貴

摘 要：“教師為主導，學生為主體”，是全面實施素質教育的基本要求。學習講究互動，學生的學習活動與教師的課堂指導活動同樣重要。學生為主體，不是不要老師的“主導”作用。一般來說，教師的認識先于學生、高于學生。而學生心理特點又不同于成人，加上自身知識有限，單靠自學是有困難的。教師的有效指導可以讓學生學得輕松愉快，從被動學習走向主動學習，提高學習效率。

關鍵詞：初中；數(shù)學；圖形問題；“導”

初中數(shù)學的圖形問題主要來源于幾何，當然還有函數(shù)問題，初中的幾何內容是比較系統(tǒng)地學習歐幾里德平面幾何，從常見的物體抽象成數(shù)學中的體、面、線、點，要求有比較嚴謹?shù)暮锨橥评碚Z言，而函數(shù)則要求學生具備較強的數(shù)形結合能力。相當部分學生對圖形問題的恐懼來自無法用正確、嚴謹?shù)膸缀握Z言表達自己的想法以及數(shù)形結合的能力較差。雖然新課標對初中圖形問題的難度有所降低，但部分學生依然在作業(yè)與考試中言不達意，漏洞百出，甚至不知所措。為了實現(xiàn)“不同的學生在學習數(shù)學上有不同的收獲”，教師在課堂上的指導方法是至關重要的。

一、利用簡單教具、學具，化想象為直接觀察

初中幾何的許多內容的學習都要求學生進行直觀觀察，若讓學生直接進行抽象想象，大部分學生是無法完成的，導致教學目標無法實現(xiàn)。若通過簡單的教具或學具，就可把抽象想象轉化為直觀觀察，這樣既達到了教學目標，也達到了突破教學難點的作用。

比如截一個幾何體、從不同方向看、有趣的七巧板等教學內容，主要目標是培養(yǎng)學生的空間觀念，強調學生的動手操作和主動參與。我鼓勵學生借助教具學具充分地實踐、觀察、探索與交流，給學生足夠的時間去思考，取得了較好的效果。

在講授幾何體的截面時，我設計了兩個環(huán)節(jié)：第一步在課堂上教師通過實物作示范性操作，利用白蘿卜作教具，讓學生了解各種幾何體的截面；第二步把這個截切的任務布置成周末作業(yè)，學生回家后，親自動手操作，更直觀地去感受幾何體的截面，特別是正方體的多種截面情況，返校時將作業(yè)帶回檢查。不同學生有不同的創(chuàng)意，從而加深了學生對截面的理解。這樣，學生從直觀感受到動手操作，再到抽象思維，從而對各種不同的截面有了深刻的理解，收效明顯。

二、親自畫圖，加深對問題的理解

初中幾何主要是對平面圖形進行觀察，尋找點、線在位置、數(shù)量方面的一般規(guī)律。許多教師在教學時忽略讓學生親自畫圖的作用，用多媒體或小黑板一下子給出題目，學生在審題時看了許久才知道已知條件，產生極大的資源浪費，特別對于較長的題目，效率更低。而如果充分調動學生的主觀能動性，讓學生融入學習中，采用教師邊敘述，學生邊畫圖形，這樣教師敘述完題目學生已經(jīng)有了圖形，而且在畫圖同時已經(jīng)把已知條件都告訴給學生，學生對已知條件已經(jīng)了若指掌，對于簡單的題目，許多學生都能猜出要解決什么問題或借助度量工具猜出相關結論，即使學生猜不出來，長而久之也會大大提高學生的審題效率、作圖能力、猜想能力、發(fā)散能力。

例1：E、F分別是△ABC的邊AB、AC邊上的中點，G、H是BC邊上的三等分點，連結EG、FH相交于D，求證：四邊形ABDC是平行四邊形。

在這個題目中，題目不算長，但涉及的字母較多，學生一時難以認清題目中的已知條件，于是我并不將題目直接給出，而是要求學生做以下幾個步驟的工作：

①畫三角形ABC；

②分別取AB、AC的中點E、F；

③取BC的三等分點G、H；

④連結EG、FH并延長，它們相交于D，連結BD、CD；

⑤通過度量或猜測四邊形ABDC是怎樣的一個特殊四邊形。

在這個過程中，也會產生有的學生所畫的字母位置與原題目的不一致，那就需要老師及時加以點撥，許多學生得到老師的直接指導，雖然題目較難，但猜想總是成功的，對于學習較滯后的學生也能學有所獲。

三、充分進行“變式”

循序漸進，先強化條件或弱化結論，再逐步弱化條件或強化結論，從而增強學習的信心，提高學習興趣。

新課標下的數(shù)學中考，出現(xiàn)了較多的閱讀理解題目或開放性題目，這些題目給學生帶來了很大困難，怎樣才能做到大部分的學生不“感冒”呢？我就是采用“變式”策略，循序漸進，讓學生愉快輕松地完成學習內容，并從中得到解決問題的基本方法。

例2如圖，已知直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為4。

（1）求的值；

（2）若雙曲線上一點的縱坐標為8，求的面積；

（3）過原點的另一條直線交雙曲線于兩點（點在第一象限），若由點A、B、P、Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點的坐標。

講解本題時我采用給出題目后先給出問題（1）讓學生求K值，等大部分學生完成，再給出問題（2），問：點C的縱坐標為8，C大約位置在哪里？這時點C的坐標能不能確定？然后求△AOC的面積。因為不是很難，所以這兩個小題學生基本能解決。在這個基礎上，給出問題（3），要求學生過原點O作一條直線，看看產生怎樣的圖形，從中分析四邊形的特殊性，達到指導解決問題的目的。

四、從特殊到一般，形成一般規(guī)律，再從一般到特殊

數(shù)學學習中問題解決的突破口往往是依據(jù)規(guī)律性與經(jīng)驗，所以在平常教學過程中除了教會學生觀察外，還要有意引導學生進行總結與歸納，通過多次的重復應用，學生就把知識的點滴收獲升華為靈活運用的解決問題的工具，這就要求在教學過程中的設計具有一定的針對性。對于一個知識點用一系列相關又不相同的“問題串”引導學生，進行觀察、探索、總結，最后形成規(guī)律。很多中考閱讀理解題正是基于這種認識設計產生的。

教師作為課堂教學引導者就是起到架起學生與教材之間的“橋梁”作用，指導學生找到最佳的學習途徑、養(yǎng)成良好的學習習慣，誘發(fā)學生學習的主動性，引導學生掌握知識并靈活運用知識。教師的作用就是在充分肯定學生個性化處理問題方法的同時，加以及時的指導點撥，提煉共性的方法，達成共識，形成規(guī)律，從而使學生掌握解決問題的通性通法與一般規(guī)律。這一過程是一名教師對知識把握程度的體現(xiàn)，對學情的體現(xiàn)，也是一名教師駕馭課堂把握課堂節(jié)奏的體現(xiàn)，是學生對知識、方法的掌握是否到位的關鍵環(huán)節(jié)。

例3如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，根據(jù)下列條件求∠BIC的度數(shù).

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠BIC=__________；

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，則∠BIC=_____________；

（3）若∠A=56°，則∠BIC=________________________；

（4）通過以上計算，探索出您所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：∠A與∠BIC之間的數(shù)量關系是__________；

（5）若∠BIC=100°，則∠A=_________________。

例4（課本例題）已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求證：AB=AC。

本題主要考查學生應用等腰三角形判定定理的能力，學生已在七年學過平行線的性質與判定，可在這里將條件與結論對換進行變式：

1.已知∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，AD∥BC.求證：∠1=∠2。

2.已知∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，∠1=∠2.求證：AD∥BC。

讓學生試試證明兩個逆命題，從而告訴學生規(guī)律：

角平分線+平行線→等腰三角形；

等腰三角形+平行線→角平分線；

角平分線+等腰三角形→平行線。

無數(shù)的幾何題目都涉及到這個基本圖形，利用上面規(guī)律往往達到事半功倍的效果，大大提高解題效率。

五、肯定不同想法，調動學習積極性

幾何問題的解決途徑往往不止一個，有多個甚至幾百個（勾股定理的證明有300多種方法），但老師在課堂指導中不可能面面俱到，在師生互動過程中學生可能提出不同的思路，不管是不是可行，讓學生表述，如果語言表達不是很清楚，可以讓學生到黑板上板書，如果解法正確，老師再加以復述，讓其他學生也能理解，如果沒做么步步有據(jù)，指出學生的不足之處，無論結果是否正確，老師應加以肯定、鼓勵，這樣課堂上就會出現(xiàn)更多的學生獨立思考問題或討論解決問題，對學生的思維訓練或活躍課堂氣氛有不可忽視的效果，更重要的一點，讓學生喜歡上你的課堂，真正實現(xiàn)“不同的學生在學習數(shù)學上有不同的收獲”。

例5如圖，矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE于F，連結DE，求證：DF=DC.

本題中的兩條線段不在同一個三角形中，很容易想到全等三角形，但兩個直角三角形的全等條件除了直角與公共邊外，另一個條件是間接給出的，回到已知條件，把AE=AD用好，得出∠DEF=∠ADE=∠DEC，再全等，這是很多同學可以理解接受的，不過有學生還想到另一種解法，在∠DEF=∠ADE=∠DEC的基礎上得到了角平分線ED，且DF⊥AE，DC⊥EC，我何不直接應用角平分線定理？另有學生想到△ABE與△AFD全等這種解法，第一種解法學生易懂，而第二種就不那么容易想到且用語言不一定講得明白，即使學生講明白了，其他學生不一定聽得明白，可讓這個學生親自上黑板給同學演示并帶頭動員全班學生為這位同學鼓掌。

六、根據(jù)實際需要，適當調整學生學習課時

我們很多老師常常根據(jù)教學用書所定的課時計劃教學，這本無可非議，教學用書里的編排肯定有它的科學性。但我卻認為不應當全按教學用書的課時安排來上課，應根據(jù)學情進行自我掌控，可根據(jù)學生掌握情況適當增加自己認為重點、難點的教學內容讓學生在各個環(huán)節(jié)都能很好地理解清楚，如果忙于完成課時，學生難免囫圇呑棗，到最后階段即使花很多時間復習，其結果很可能是事倍功半。

當然要實現(xiàn)這樣的目標，對教師的要求比較高：

①要求熟悉整個初中數(shù)學內容，對各部分內容有整合的能力；

②新課標的要求胸有成竹，并把握好整個初中數(shù)學體系的重難點及各章節(jié)內部的重難點；

③對學情要認真調查；

④近年各地中考題目的深入研究，重難點的導向性等等。

又如對勾股定理的教學，人教社教學用書中只安排兩課時，而我卻花了四個課時，原因是：是中華民族引以為豪的偉大歷史文化遺產；用面積證明定理為初接觸，不容易想到也比較難以理解但卻是勾股定理各種證法的“靈魂”；勾股定理是重要的考點，不可不掌握；勾股定理是解直角三角形不可或缺重要工具，在現(xiàn)實生活中的應用性廣等等。

第一課時①互動方式證明勾股定理；②在直角三角形中已知任意兩邊求第三邊。

第二課時①復習勾股定理證明的特殊性；②在直角三角形中已知一邊，并且另外兩邊數(shù)量上存在關系，求另外的兩條邊——方程思想；③在直角三角形中已知一邊，且有一個角為30°或45°求另外兩邊——可轉化為以上兩種情況。

第三課時總結直角三角形所有已的性質。①角的性質：兩銳角互余；②邊的性質：斜邊最長、兩邊之和大于第三邊、勾股定理；③邊與角的性質：?。?30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；ⅱ）.含30°角的直角三角形三邊之比為1：：2；ⅲ）.含45°角的直角三角形三邊之比為1：1：.

第四課時講解勾股定理在實際生活中的應用。

教師教學功在“導”，沒有教師合理科學的課堂指導，學生僅僅按部就班，那么學生的思維能力和合作交流、自主探究等能力就得不到鍛煉，就無法真正實現(xiàn)“不同的學生在學習數(shù)學上有不同的收獲”！

參考文獻：

[1]全日制義務教育數(shù)學課程標準2011版（實驗稿）[M].人民教育出版社，2012，1.

[2]義務教育數(shù)學課程標準2011版解讀（實驗稿）[M].北京師范大學出版社，2012，2.

[3]全日制義務教育數(shù)學教科書2013版[M].人民教育出版社，2013，5.

[4]全日制義務教育數(shù)學教學用書2013版[M].人民教育出版社，2013，5.

（作者單位：福建省福清市濱江初級中學）