廣義極分解的應(yīng)用

涂媛媛

摘 要： 本文利用廣義極分解，拓展了性質(zhì)1.2，得到了關(guān)于跡的新的不等式，作為應(yīng)用，得到另外兩個(gè)新結(jié)論，并用廣義極分解進(jìn)行證明.

關(guān)鍵詞： 廣義極分解 跡不等式 應(yīng)用

矩陣的廣義極分解在許多領(lǐng)域都扮演著非常重要的角色，如數(shù)值分析，矩陣逼近，矩陣?yán)碚摰难芯康确矫?自1989年孫和陳在[1]中研究了廣義極分解在限制條件下分解唯一性并將Frobenius范數(shù)下的逼近定理推廣至任何酉不變范數(shù)情形后，許多學(xué)者對(duì)廣義極分解和其擾動(dòng)問題做了大量的研究工作并給出了一些很好的結(jié)果.例如，2008年王和衛(wèi)在[6]中利用次酉極因子的新的表達(dá)式得到了酉不變范數(shù)下新的擾動(dòng)界；2013年袁暉坪等在[5]中給出了酉對(duì)稱矩陣的極分解和廣義逆的公式，它們可極大地減少行（列）酉對(duì)稱矩陣的極分解的計(jì)算量與存儲(chǔ)量.本文主要是在性質(zhì)1.2的基礎(chǔ)上得到了跡的新的不等式，并用廣義極分解對(duì)兩個(gè)新的結(jié)論進(jìn)行證明.

本文中，C表示秩為r的m×n復(fù)矩陣的集合；U表示所有n×n酉矩陣的全體；A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；A表示矩陣A的逆；A和A分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置和Moore-Penrose逆；λ（A），σ（A）分別表示矩陣A的特征值和奇異值的全體；R（A）表示矩陣A的列空間；N（A）表示矩陣A的零空間；trA表示矩陣A的跡，即所有對(duì)角元素的和；|| ||表示向量的Euclid范數(shù)和矩陣的譜范數(shù).

定義1.1若Q∈C滿足

QQ=I

則稱Q為m×n的酉矩陣.若Q∈C滿足

||Qx||=||x||，？坌x∈R（Q）

則稱Q為m×n次酉矩陣.

顯然||Qx||=||x||？圳||Qx-Qy||=||x-y||，？坌x，y∈R（Q）=N（Q）.

定義1.2[1]設(shè)A∈C有分解

A=QH（1）

其中Q∈C是酉矩陣，H∈C為半正定陣，則這一分解叫做A的極分解.若Q∈C是次酉矩陣，H∈C為半正定陣，則這一分解叫做A的廣義極分解.

由于m×n標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣必為次酉矩陣，因此極分解必為廣義極分解，但廣義極分解遠(yuǎn)比極分解要復(fù)雜.當(dāng)r=n時(shí)，A的廣義極分解與極分解相同，但是，當(dāng)r

設(shè)A∈C，其奇異值分解為：

A=U∑ OO OV（2）

其中m≥n≥r，U=（U，U）∈C，和V=（V，V）∈C是酉陣，∑=diag（σ，...，σ），σ≥σ≥...≥σ>0.若令

Q=UV，H=V∑V，（3）

則A=QH是A的廣義極分解.

特別地，當(dāng)A∈C時(shí)，有V=V，則矩陣A的廣義極分解為A=U∑OV，其中U=（U，U）∈C和V∈C是酉陣，則（3）式為Q=UV，H=V∑V.

矩陣的廣義極分解不唯一，給問題的研究及實(shí)際應(yīng)用帶來了困難.有了下面定理的限制條件，可使廣義極分解唯一.

定理1.1設(shè)A∈C，則在

R（Q）=R（H）（4）

的限制下，A的廣義極因子Q，H唯一確定，并由（3）給出.

本文以下都假設(shè)滿足唯一性條件，因此廣義極分解總可以由（3）確定.顯然（3）中的廣義極因子H與極分解中H是相同的，即

H=（AA）（5）

下面我們給出廣義極分解另外一種分解方式：設(shè)0≠A∈C，則A=GE，這里E∈C是次酉矩陣，G∈C，這一分解也是A的廣義極分解.且E，G由R（E）=R（G）唯一確定.在此情況下，矩陣A奇異值分解有A=U∑V，則G=AA，E=UV.

下面給出證明.設(shè)矩陣A的奇異值分解A=U∑V，？坌k使得r≤k≤min{m，n}.記∑=diag（σ，...，σ），U=（U，...，U）∈C，V=（V，...，V）∈C，則A=（U *）∑ OO OV*=（U∑ O）∑O=U∑V.

令G=U∑U，E=UV，則A=GE.當(dāng)r

若G，E滿足R（E）=R（G），則

AA=GE（GE）=GEEG=GPG=GPG=G，

即G=唯一.

E=EEE=PE=PE=GCE=（GG）E=GGE=GGE=GA.

所以，E唯一.

G=AA=U∑VV∑U=U∑U.

則G=U∑U，G=U∑U，

所以，E=GA=U∑UU=∑V=UV.

定理1.2[1]設(shè)A∈C有分解Q=QH，其中Q∈C是次酉矩陣，H∈C為半正定陣，則（a）與（b）等價(jià)

（a）R（Q）=R（H），

（b）rank（A）=rank（Q），σ（A）=λ（H）.

定理1.3設(shè)A∈C，矩陣A有（2）式的奇異值分解A=U∑V≠0，記U=（u，u...，u），V=（v，v...，v）分別為U，V前r列構(gòu)成的矩陣，則

（1）UU=P，UU=I.

VV=P，VV=I.

（2）E=UV則為次酉矩陣，且EE=P，EE=P.

引理1[2]設(shè)A∈C，則λ（）≤σ（A）.

性質(zhì)1.1[3]設(shè)A∈C，|λ（A）|≥...≥|λ（A）|，σ（A）≥...≥σ（A），則|λ（A）|≤σ（A）.

性質(zhì)1.2[4]設(shè)H∈C，U為n階酉矩陣.若H=H，則？坌W∈U，有trH≥R{tr（HW）}，其中R（X）表示X的實(shí)部.

定理2.1設(shè)A∈C，并設(shè)W表示秩為l的m×n復(fù)矩陣集C中次酉矩陣類，這里l=min{m，n}.那么，存在W∈W，使得AW是Hermite半正定矩陣，且

R{tr（AW）}=tr（AW）=σ（A）.

這里σ（A）（i=1，...r）為A的奇異值.

證明：不失一般性，假定m≤n.設(shè)A=GE為A的廣義極分解，其中次酉矩陣E∈W為行滿秩.那么，對(duì)于任意次酉矩陣W∈W，

tr（AW）=tr（GEW）=tr{G OO OEE（W W）}（6）

這里所取的E，W使得EE與（W W）為酉矩陣.

這樣，由于EE（W W）仍為酉矩陣，并注意G OO O是半正定陣，因此，一方面由性質(zhì)1.2的結(jié)論，我們有

R{tr（AW）}≤trG OO O=trG=σ（A）.

另一方面，取W=E，構(gòu)造酉矩陣（W，W）=（E（E）），則

（EE）（W，W）=I.

且AW=GEW=GEE=G（E為次酉行滿秩陣，所以EE=I）.

又由（6）式可得，tr（AW）=trG=σ（A）.

綜上即得所證.

定理2.2設(shè)A∈C，A=GE為A的廣義極分解，并滿足R（E）=R（G），則A是正規(guī)矩陣的充要條件是GE=EG.

證明：由于R（E）=R（G），則A=GE分解唯一.若A的奇異值分解A=U∑V，其中∑=diag（σ，...，σ），σ≥...≥σ>0.有E=UV，G=UEU，且r（E）=r（G）=r=r（A）.

當(dāng)GE=EG時(shí)，由EG=GE，有

r（E）=r=r（A）=r（（GE））=r（EG）=r（（EG））=r（GE）=r（G）.

所以，R（E）=R（EG）=R（GE）=R（G）.

故，AA=GEEG=GPG=GP=G，

AA=EGGE=GEEG=GPG=GPG=G.

即AA=AA.

反之，若AA=AA.則

v∑UU∑V=U∑VV∑V，即V∑V=U∑V.

可以推出∑VU=VU∑，進(jìn)而有∑VU=VU∑.

由于P=UU=UU，P=VV=VV，

R（V）=R（V∑V）=R（U∑U）=R（U），

因此，EG=UVU∑U=U∑VUU=U∑VP=U∑VP

=U∑VVV=U∑V=U∑UUV=GE.

當(dāng)GE=EG時(shí)，由上面證明得

EE=UVVU=UU=P=P=VV=VUUV=EE.

定理2.3設(shè)A∈W，A=GE是A的廣義極分解，并滿足R（E）=R（G），則A是次酉矩陣的充要條件是G是正交投影.

證明：設(shè)G=G=G冪等，則AA=GEEG=GPG=GPG=G=G，

所以，AAA=GGE=GE=GE=A，故A是次酉矩陣.

反之，設(shè)A是次酉矩陣，A=GE，其中R（E）=R（G），

則A的廣義極分解唯一，且AA=G，所以，G=AAAA=AA=G，注意G=G≥0，所以，G=G.即G冪等.

從而G為正交投影陣.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫繼廣，陳春暉.廣義極分解[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，1989，（11）：262-273.

[2]戴華.矩陣論[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[3]王伯英.控制不等式基礎(chǔ)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1990.

[4]A.Ben Israel，T.N.E.Greville.Generalized Inverses：Theory and Application（II）[M].New York：Springer Verlag，2003.

[5]袁暉坪，郭偉，萬波.酉對(duì)稱矩陣的極分解[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2013，（33）：740-750.

[6]王衛(wèi)國，劉新國.關(guān)于極分解和廣義極分解的一些新結(jié)果[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2008，（30）：147-156.

[7]N.J.Higham.Computing the Polar Decomposition with Applications[J].SIAM Journal Sci.Stat.Comput，1986，（7）：1160-1174.